环境系统分析第三章课件.pptx

1、第三章环境质量基本模型1污染物在环境介质中的运动一、基本概念 环境介质：能帮助传递物质、能量的物质，传递过程中物质与能量有可能有耗散。三大类介质：流体(又可分为液体与气体)，固体，混合体(如土壤)。运动:事物状态的变化(广义)。物质状态的变化(位置、速度、密度、形态、质量、温度、带电量、组成成分)的变化。如：机械运动、物理运动、化学运动、生物运动、政治运动。污染物：对环境生态系统(特别是人体健康)有不良影响的物质、能量，一般为过量的有害物质。二、污染物在介质中各种运动（重要概念）1、推流迁移运动：指污染物在气流或者水流作用下产生的位置移动。污染物迁移量(质量通量)：（单位：物质量/单位时间*单

2、位面积，如g/m2s）X轴方向：fx=uxC Y轴方向：fy=uyC，Z轴方向：fz=uzC。SLuxQtxzyuy这段河道中的总水量2扩散(稀释)运动：物质质量在空间分散化、均匀化，使物质浓度随时间不断变小。物质浓度总从高处向低处扩散。1）分子扩散：由于分子随机运动引起的扩散溶解，其速度与“热”有关。浓度梯度：在某个方向上的浓度变化率 Fick第一定律（通量）X上某点浓度梯度单位：物质量/单位时间*单位面积Em为分子扩散系数，且各向同性；2)湍流扩散：由于流体的湍流运动造成污染团内部质点强烈的随机运动撕裂Fick第一定律（通量）：xcExCEImmx1yCEImy1zCEImz1xCEIxx

3、2yCEIyy2zCEIzz2*xc=c2-c1xc1c2xyzI1XI1ZI1Y单位：物质量/单位时间*单位面积Ex,Ey,Ez为x,y,z三个方向的湍流扩散系数，各向异性，一般x,y 方向的扩散系数大于z方向的扩散系数。3)弥散扩散：由于介质宏观运动(流速)分布不均匀，造成流体形变引起的扩散。为断面平均值,单位：物质量/单位时间*单位面积 xCDIxx3yCDIyy3zCDIzz3C*1C2C12cccxc1c21C2Cx弥散湍流扩散分子扩散大气无z方向10-2210-1(m2/s)x,y方向101105很大1.510-5(m2/s)海洋：无z方向10-510-2x,y方向102104很大

4、河流：101104(m2/s)很大10-2100中等 10-5104很小须考虑须考虑 3裒减、转化运动：由于生物或化学的作用，由一种物质变化为另一种物质，对原物质是裒减了，而对于新生物质而言则是增生了。以上数学模型是一阶一次常系数微分方程。描述的是某物质“浓度”变化速率，是该物质“浓度”本身的常系数一次函数，又称一级动力学模型。当物质量为增生时：c2c1时，当物质量为衰减时：c1c2时衰减速度常数kCdtdC单位时间、单位体积内的物质增量*tt2t1c1c21212ttcctcdtdC0tcdtdCkCdtdC0tcdtdCkCdtdC浓度变化速度 4（综合三种作用）的图像理解只有推流迁移推流

5、迁移+扩散推流迁移+扩散+裒减推流迁移+裒减无推流迁移无推流迁移仅有扩散有扩散+裒减 2基本模型的推导 1.质量守恒原理初始存量为：存量1，一段时间后：存量2对于输入端：物质总量=存量1+进入量 （1）对于输出端：物质总量=存量2+出去量 （2）存量1+进入量=存量2+出去量 存量2-存量1=进入量-出去量存量的变化量（增量）=进入量-出去量存量进入量出去量 2.零维模型推导(完全混合）（重要）在 t1 t2的 t时段内 浓度 c1 c2 c=c2-c1 物质量 vc1 vc2 m=v(c2-c1)=v c 单位时间的物质变化量：kVQ,C0SQ,Cdtdcvtcvttcvtm时，取极限得：当

6、0 根据质量平衡原理,单位时间的物质变化量也可表示为 Q*c0+S-(kc)*v-QC 所以：vkcSQCQCdtdcv)(0m3/smg/m3mg/smg/s*m3m3进入量出去量衰减项其中，V为反应器容积，Q为流入与流出反应器的介质流量C为输出反应器的污染物浓度，C0为输入反应器的污染物浓度，K为污染物衰减速度系数，S为污染物的源与汇零维模型主要应用于箱式空气质量模型和湖泊、水库水质模型。一维模型推导（了解）推流：fx=uxC 扩散：立方体体积:迎水面面积：图3-3 体积元的质量平衡分析ZYXzxyx)(xfx)(xIx)(xxfx)(xxIxxCEIxxzySzyxVst1t2c1c2图

7、3-3 体积元的质量平衡分析xxCDxxCDxCuxCuxxxx)()(xCDCuxxZYXzyx在x方向上立方体内污染物在t1t2时段内的变化量：在单位时间内的变化量：单位时间内，流经端面的物质总量应为物质通量与面积的乘积，故单位时间内输入量为:(设任意点推流通量函数为f(x),扩散通量I(x)f(x)=uxC,x0X0+xxCExIm)(cvccvvcvcmvcm)(2121tcvttcvtm时，取极限左式当0,k根据泰勒公式，可将任意函数f(x)在某点x=x0处用级数展开：将推流函数f(x)在x=x0展开：所以在x=x0+x处：因为微元很小,x也很小，可将所有含大于2阶得导数项省略，得：

8、将扩散函数I(x)在x=x0展开:nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)(.)(!2)()()()(00)(200 000nnxxxxxxncuxxcuxxcucuxf)(!)(.)(!2)()()()(0)(20 0nnxxxxnnxxxxxncuxcuxcucuxxxncuxxxcuxxxcucuxxf)(!)(.)(!2)()()()(!)(.)(!2)()()()()(2 00)(200 000)()()()(0 xxcucuxcucuxxfxxxxnnxxxxxxnxcExxxcExxxcExcExI)(!)(.)(!2)()()()(0)(20 0 所以在x=x0+x处，将

9、所有含大于2阶得导数项省略，得：单位时间输入量：断面面积单位时间输出量：单位时间，该体积元的物质变化量为（2）-（3）)()()(000 xxxxcExcExxIxx)()()(0 xxxcExcExxIxx zyxCECuzyIfxxxx)(zyxxCExxCExCuxCuxxxx)()(zyxxxcExxcuzyxtcxx)()(（2）（3）推流增量扩散增量约去相同项：当ux,Ex,为常数时，如果考虑衰减作用：体积元内污染物按一级反应式衰减,衰减量为xxcExcutcxx)(22)(xCExcuxxcExcutcxxxxzyxKC-单位时间单位体积内的衰减量kcxcExcutczyxkcz

10、yxxxcExxcuzyxtcxxxx22)()(单位时间浓度变化推流增量扩散增量衰减变化量(源汇项）局地项推流项扩散项衰减项 二维模型推导 与一维基本模型的推导相似，当在 x 方向和 y 方向存在浓度梯度时，可建立起二维基本模型 Y方向扩散项 Y方向推流项 式中，Ey y 坐标方向的弥散系数；uy y方向的流速分量；三维模型推导如果在x、y、z 三个方向上都存在浓度梯度，可以用类似方法推导出三维基本模型：式中，Ex、Ey、Ez x、y、z 坐标方向的湍流扩散系数；uz z方向的流速分量。KCyCuxCuyCExCEtCyxyx2222KCzCuyCuxCuzCEyCExCEtCzyxzyx2

11、22222 模型使用范围（重要）零维模型：（假定内部无浓度梯度，浓度均匀化）-适合于箱体，湖泊环境 一维模型（在一个方向上有浓度梯度变化）-适合于细、长、浅河流环境 二维模型（在二个方向上有浓度梯度变化）-适合于宽、长、浅大型河流，河口、海湾、浅湖 三维模型（在三个方向上有浓度梯度变化）-适合于宽、长、深环境，如大气、海洋、深湖3数值解与解析解一、概述 由于环境问题涉及因素复杂(一些模式参数常是变数)，数学上能求得解析解的微分方程(又称控制方程)又不多，常需把问题简化(对运动作约束)后才能求得解析解，因此解析解的使用条件很严，不能乱用。控制方程简化过程中涉及的数学分析问题有：1.化简控制方程（

12、重要）1）物质运动性质分析，常涉及微分方程(控制方程)的阶数。平流问题，控制方程是一阶微分方程：扩散问题，控制方程是二阶微分方程：zCwyCvxCutC222222zCEyCExCEtCzyx 2）物质运动在几维空间内进行，含几个空间变量。在一维空间内运动，只含一个空间变量：即 在二维空间内运动，含二个空间变量：在三维空间内运动，含三个空间变量：3）运动是否随时间而变化，方程含不含时间t这个变量。对于瞬时排放，污染物浓度随时间而变化 22xCEtCx0,0 xzy2222yCExCEtCyx0z222222zCEyCExCEtCzyxkCyCExCEtCyx2222对于稳定排放，浓度不随时间变

13、化 4）运动中是否质量、能量守恒的分析，常涉及是否存在“外力”作用，控制方程中有否强迫项(源、汇)。无源、汇项存在，守恒物质方程：非守恒物质，有源、汇存在，方程非齐次 2.模型解析解(重要）解析解：通解：定解：定解条件（初、边值条件）：0,02222tCkCyCExCEyx222222zCEyCExCEtCzyxpkCzCEyCExCEtCzyx222222源汇项 例题：求 的通解、定解(了解）代入初边值条件求积分常数：x=0时，c=c0ukxcukxcecxCeceexCcxukcdxukCdC*1)(得,令)(两边取对数得：ln两边积分得：11ukxecxccCeCc00*0*0)(定解：

14、积分常数通解：CukdxdC积分常数cc 1）瞬时排放的解析解（浓度随时间变化）(1)一维流场、无弥散、有推流、有裒减，（重要）（推流作用扩散作用）控制方程为：根据条件化简上面方程得：解：图像表示KCzCuyCuxCuzCEyCExCEtCzyxzyx222222KCzCuyCuxCuzCEyCExCEtCzyxzyx222222kCxCutC t=0 t=1 t=2 X=ut初始条件：t=0时,c=C0，则其浓度为:x =u t 污染物正好到达：=0 当x u t 污染物已过或未到显然只有x=ut处有污染物。(2)一维流场，有弥散、有推流、有裒减，（弥散、推流、裒减作用相当）控制方程为：（重

15、要）求得通解，代入以下初边值条件初值：t=0,c=c0;边值：x=0，c=c0；x=，c=0ukxkteCeCtxC/00),(kCxCuxCEtCx22tDutxxktxetDxAeMtxC4)(02)4(),(污染源坐标tDutxxktxetDAeMtxC4)(024),(0 x时，当0 x0DtDutxxktxetDAeMtxC4)(24),(复习随机变量的正态分布函数随着时间的t的变化有：水团长度x21atDutxxktxetDAeMtxC4)(24),(tDAeMxkt4uttDtDxx2422令kxey222)(21)(axexxc4 例题 3-1瞬时向河流中投放示踪剂，含若丹明染

16、料5kg,在起始断面处充分缓和，假定河流平均宽度10m，平均水深0.5m,平均流速0.5m/s,纵向弥散系数为0.5m2/s,试求距投放点500m处的若丹明浓度分布的时间过程线。假定断面面积为矩形，则面积A宽深10*0.5=5m2,u=0.5 m/s,D=0.5m2/s,M=5kg=5*106mgT(min)10 12.C(mg/l)5*10-14 1.8*10-5.tDutxxktxetDAeMtxC4)(24),(ttttDutxktetemgetDAeMtCx5.04)5.0500(064)500(225.045)(1054),500(cttDtuytDtuxxykttDtuytDtux

17、yxktyyxxyyxxeetDDhMetyxCeetDtDhMetyxCyx4)(4)(24)(4)(0022224),(44),(）0，0为（,时，当污污染源位于坐标原 图像：(4)二维流场，有推流、扩散、裒减，控制方程为 其解为:kCyCDxCDyCuxCutCyxyx2222tDtuytDtuxyxktyyxxeetDytDxhMetyxC4)(4)(0022)4)(4()，,(tX方向分布y方向分布点（0，0），t）图形：utxccycyxuytxy(3)三维流场，有推流、扩散、裒减，控制方程为：控制方程：其解为：当污染源坐标（x0,y0,z0)位于三维坐标的原点（0，0，0）时，有

18、：kCzCEyCExCEzCwyCvxCutCzyx222222tEwtztEvtytEutxzyxktzyxeeetEztEytExeMtzyxC4)(4)(4)(000222)4)(4)(4(),(tEwtztEvtytEutxzyxkttEwtztEvtytEutxzyxktzyxzyxeeeEEEteMeeetEtEtEeMtzyxC4)(4)(4)(34)(4)(4)(222222)(8444),(令 上式=tEtEtEzzyyxx2,2,2tEwtztEvtytEutxzyxktzyxeeeEEEteMtzyxC4)(4)(4)(3222)(8),(X方向分布Y方向分布Z方向分布C

19、XutCyvtCzwt 2）稳定排放的解析解 稳定排放定义：排放强度变化很小(变化率在10%以内)；排放时间长(T X/u)。稳定排放问题没有初值，只有边值。(1)0维(箱模式)：有一股流量为Q的污水，流经容积为V的水箱，污水流入水箱后与箱内水体充分混合，并与箱内微生物反应、造成污染物以k的速率裒减控制方程：解析解当t无穷大时：K,v,cQ,C0Q,CkCVQCQCdtdCV01)/(1)()/(0)/(0tVQktvQkeQVkCeCtC)/(1)(0QVkCtC 当t足够长时，解为：(2)一维稳态、无弥散、推流、裒减模式：设置控制方程，此时已不是扩散问题，而是推流问题。控制方程为:边值条件

20、为:x=0处C=C0 求解过程：0dtdC)/(10QVkCCCkVQQCkCVQCQCdtdCV）（000022tckCxCuxcDxCukxCCukxC 得：代入边值条件：问题：在什么情况下，可以忽略扩散的影响？由于一般河流中|u|Dx|，所以考虑不考虑弥散并不重要复习常微分方程解法ukxaukxaecxCeceexCaxukcdxukCdC*)(,)(ln得令两边取对数得：两边积分得：ukxecxccCeCc00*0*0)(定解：变量xc积分常数（3）一维稳态、有弥散、推流、裒减模式，控制方程为：代入边值：x=0,C=C0,x=,C=0。可以推断解析解形式：C=f(x)导数形式而当解析解

21、为：c=f(x,y,z,)导数形式：控制方程变为：课后作业：1 求上述常微分方程的定解 2 说明一维稳态方程与动态方程的区别022kCxCuxCDxdxdc,.,ycxc022kCdxdCudxCdDx其特征方程为：Dx2-u-k=0 由此求出特征根：其通解为：代入边值：x=0,C=C0,x=,C=0。得A=0，B=C0，故解为 (6)二维稳态、有弥散、推流、裒减模式二维河道中可以忽略X方向的扩散 Dx,y方向的推流作用，)411(222,1ukDDuxxxxBeAeC21)141(202ukDDuxxxeCCKCzCuyCuxCuzCEyCExCEtCzyxzyx222222kCyCExCE

22、yCuxCuyxyx22220kCyCDxCuyx220化简：cxe-kt重要0)411(2)411(200,00,0,02221CBABeAecxBAcccxBeAeCuKDDxuuKDDxuxx所以当时，当)411(222,1ukDDuxx 此控制方程(排放口在坐标原点：x=0,y=0)求解较复杂，其解为:uxkuxDyyeeuxDuhQyxCy/42/4),(uxDuxDyyyy2422uxkyyuxkyyeeuhQeeuhQyxCyy222222222),(y方向的分布xyy4 二维问题实际应用中的复杂性(1)污染源在河中（重要）A河道无界(湖泊、海湾）B.河道有界：1 污染源在河中x

23、yBuxkuxDyyeeuxDuhQyxCy/42/4),(*(x,y)xyB*(x,y)B/2B/2-yB/2*N=1N=1uxkuxDyByeeuxDuhQCy/4)(12/4上uxkuxDyByeeuxDuhQCy/4)(12/4下N=2实源虚源虚源x 加和后总浓度：(2)污染源在河边(重要）A.河道无界总浓度uxknuxDynBnuxDynBuxDyyeeeeuxDuhQyxCyyy/4),(1/4)(1/4)(/4222总*(x,y)uxkuxDyyeeuxDuhQyxCy/42/4),(实源虚源uxkuxDyyeeuxDuhQyxCy/42/42),(xy B.河道有界 总和为：*

24、(x,y)B-yyXBB2B-yN=0,1N=2，3N=1,22By2B+yuxknuxDynBnuxDynBuxDyyeeeeuxDuhQyxCyyy/42),(1/4)2(1/4)2(/4222uxkuxDyByeeuxDuhQyxCy/4)2(2/42),(下uxkuxDyByeeuxDuhQyxCy/4)2(2/42),(上实源虚源虚源(7)三维模式：大气环境中高烟囱稳定排放，其控制方程为 其解为：kCzCEyCExCuzy2222KCzCuyCuxCuzCEyCExCEtCzyxzyx222222uxkuxEzuxEyzyeeeEExQyxCzy/4/4224),(例题:狭长河流中稳

25、定排放污水，污水量q=0.15mg/m3,BOD=30mg/m3,流量Q=5.5m3/s,平均流速为0.3m/s,河道BOD本底浓度为0.5mg/m3,BOD的衰减速度常数K=0.2d-1,弥散系数D=10 m2/s,求下游10km处的BOD浓度。Qqc030/28.15.515.05.05.53015.0mmgC总水量排放污水污染物河道污染物32)141(20/1879.13.010)86400/2.0(411(102)(100003.0exp28.1)(2mmgmeCxCukDDuxxx10km连续点源排放，源强为50g/s,河流水深h=1.5m,ux=0.3m/s,横向弥散系数DY=5m

26、2/s,污染物衰减速度常数为0，求（1）无边界情况，（2000，10）坐标处的浓度（2）边界排放，宽度无限大，该处的污染物浓度（3）边界排放，宽度B=100M时，该处的污染物浓度 三.污染物在均匀流场中的分布特征（复习）（1）一维流场中的分布特征（动态）控制方程为 解 上式变为：上式也可变为 令：kCxCuxCEtCx22tDutxxktxetDAeMtxC4)(24),(222)()(2),(xutxxktetAeMtxCcx常数2224)(4)(44),(utDuxtxkttDuxtuxktxxetDAeMetDAeMtxCut222222242utDutDutDxtxtxtctx/u常数

27、扩展知识x/u（2）一维流场中的分布特征（稳态）控制方程为 解（3）二维流场中的污染物分布特征（动态见前）稳态：022kCxCuxCDx)141(202ukDDuxxxeCCkCyCDxCuy22xc 解：问题1：污染物到达对岸(或地面)所需的距离：污染物到达河边：岸边浓度达到平均浓度的5%距排放口距离x(m)的污染物平均浓度为：排放口在河中，任意点浓度（带反射）：)(2/22)(2),(xyyukxyexhueQyxC排放口ukxehuBQC/uxknuxDynBnuxDynBuxDyyeeeeuxDuhQBxCyyy/4)2/,(1/4)(1/4)(/4222总到达岸边完全混合xyB根据定义：排放口在岸边：问题2；污染物完全混合所需的距离污染物完全混合：断面任意一点浓度达到平均浓度的95%。河中排放 岸边排放 作业：p54(1)(2)?05.0 xCCuxknuxDynBnuxDynBuxDyyeeeeuxDuhQyxCyyy/42),(1/4)2(1/4)2(/4222?05.0 xCCyDuBx0137.0yDuBx1.0yDuBx055.0yDuBx4.0