2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件（文科）.ppt

1、第七节正弦定理和余弦定理,总纲目录,教材研读,1.正弦定理和余弦定理,考点突破,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,3.三角形面积,考点二充分条件、必要条件的判断,考点一四种命题的相互关系及真假判断,考点三充要条件的应用,1.正弦定理和余弦定理,教材研读,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,上表中,若A为锐角,当absin A时无解;若A为钝角或直角,当ab时无解.,3.三角形面积设ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S.(1)S=?ah(h为BC边上的高).(2)S=?absin C=?acsin B=?bcsin A.,1.在ABC中,a=3,b=5,si

2、n A=?,则sin B=()A.?B.?C.?D.1,B,答案B根据?=?,有?=?,得sin B=?.故选B.,2.在ABC中,若a=2,c=4,B=60,则b等于?()A.2?B.12C.2?D.28,答案A由b2=a2+c2-2accos B,得b2=4+16-8=12,所以b=2?.,A,3.在ABC中,化简bcos C+ccos B的结果为?()A.aB.bC.cD.?b,答案Abcos C+ccos B=b?+c?=?+?=?=a.,A,4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=?,b=3,c=2,则A=?()A.?B.?C.?D.,答案C易知cos A=?=?

3、=?,又A(0,),A=?.故选C.,C,5.在非钝角ABC中,2bsin A=?a,则B=.,答案,解析由正弦定理得bsin A=asin B,所以2bsin A=2asin B=?a,即sin B=?,又B非钝角,所以B=?.,6.在ABC中,a=3?,b=2?,cos C=?,则ABC的面积为.,答案4,解析cos C=?,sin C=?.SABC=?absin C=?3?2?=4?.,典例1(1)(2017课标全国,11,5分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=?,则C=?()A.?B.?C.?D.?(2

4、)(2017课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=?,c=3,则A=.(3)(2017课标全国,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.,考点一利用正、余弦定理解三角形,考点突破,答案(1)B(2)75(3)60,解析(1)因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0,所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,整理得sin C(sin A+c

5、os A)=0,因为sin C0,所以sin A+cos A=0,所以tan A=-1,因为A(0,),所以A=?,由正弦定理得sin C=?=?=?,又0Cb,B=45,A=75.(3)解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2b?=a?+c?,即b?=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=?,又0B180,所以B=60.,方法技巧应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边:利用公式a=?,b=?,c=?或其他相应变形公式求解.(2)

6、求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A=?,sin B=?,sin C=?或其他相应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化.如出现a2+b2-c2=ab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.,1-1(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=?,c=2,cos A=?,则b=?()A.?B.?C.2D.3,答案D由余弦定理,得4+b2-22bcos A=5,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-?(舍去),故选D.,D,1-2(2016课标全国,15,5分)A

7、BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=?,cos C=?,a=1,则b=.,答案,解析由cos C=?,0C,得sin C=?.由cos A=?,0A,得sin A=?.所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ccos A=?,根据正弦定理得b=?=?.,典例2在ABC中,若a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,试判断ABC的形状.,考点二判断三角形的形状,解析解法一:利用边的关系来判断.由正弦定理得?=?,由2cos Asin B=sin C,有cos A=?=?.又由余弦定理得cos A=?,所以?=?

8、,即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.又因为a2+b2-c2=ab.所以2b2-c2=b2,所以b2=c2,所以b=c,所以a=b=c.所以ABC为等边三角形.,解法二:利用角的关系来判断.因为A+B+C=180,所以sin C=sin(A+B),又因为2cos Asin B=sin C,所以2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin(A-B)=0.又因为A与B均为ABC的内角,所以A=B,因为a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cos C=?=?=?,又0C180,所以C=60,所以ABC为等边三角形.,易错警示判定三角形形状的两种常用

9、途径?提醒“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.,2-1设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos A=bcos B,则ABC的形状为?()A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形,答案D由条件及正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B?sin 2A=sin 2B,又A、B均为ABC的内角,所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=?.所以ABC为等腰三角形或直角三角形.,D,典例3(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的

10、对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2?.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.,考点三与三角形面积有关的问题,方法技巧(1)对于面积公式S=?absin C=?acsin B=?bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,同类练在ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=acos C.(1)求角A的大小;(2)若a=3,b=2c,求ABC的面积.,解析(1)由(2b-c)cos A=acos C,得2sin Bcos A=sin Acos

11、 C+sin Ccos A,得2sin Bcos A=sin(A+C),所以2sin Bcos A=sin B,因为0B,所以sin B0,所以cos A=?,因为0A,所以A=?.(2)因为a=3,b=2c,由(1)知A=?,所以cos A=?=?=?,解得c=?,变式练(2018河北石家庄质检)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=?,ABC的面积为?,求ABC的周长.,深化练在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c(asin B-bcos A)=a2-b2.(1)求B;(2)若b=3,求ABC面积的最大值.,