2019年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第九节 圆锥曲线的综合问题 考纲传真 (教师用书独具 )1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法； 2.了解圆锥曲线的简单应用； 3.理解数形结合的思想 (对应学生用书第 148 页 ) 基础知识填充 1直线与圆锥曲线的位置关系 设直线 l： Ax By C 0，圆锥曲线 C： F(x， y) 0， 由? Ax By C 0，F(x， y) 0 消去 y 得到关于 x 的方程 ax2 bx c 0. (1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2 bx c 0 的判别式为 ，则 0?直线 l与圆锥曲线 C 有 两 个公共点； 0?直线 l 与圆锥曲线 C

2、 有 一 个公共点； 0?直线 l 与圆锥曲线 C 有 零 个公共点 (2)当 a 0， b0 时，即得到一个一元一次方程 当 C 为双曲线时， l 与双曲线的渐近线 平行或重合 ，它们的公共点有 1 个或 0 个 当 C 为抛物线时， l 与抛物线的对称轴 平行或重合 ，它们的公共点有 1 个 2圆锥曲线的弦长公式 设斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A， B 两点， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 |AB| (x1 x2)2 (y1 y2)2 1 k2 |x1 x2| 1 k2 (x1 x2)2 4x1x2 1 k2 |a|. 知识拓展 过一点的直线与圆锥曲线的

3、位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交 (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切 线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是直线 l 与椭圆 C 只

4、有一个公共点 ( ) (2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点 ( ) (3)过抛物线 y2 2px(p0)焦点的弦中最短弦的弦长是 2p.( ) (4)若抛物线上存在关于直线 l 对称的两点，则 l 与抛物线有两个交点 ( ) 解析 (1)对椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切 (2)错当直线 l 与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切 (3)对可转化为到准线的距离来证明 (3)正确 (4)错当直线 l 为对称轴时， l 与抛物线有一个交点 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )直线 y k(x 1)

5、 1 与椭圆 x29y24 1 的位置关系是 ( ) A相交 B相切 C相离 D不确定 A 直线 y k(x 1) 1 恒过定点 (1,1)，又点 (1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交 3过点 (0,1)作直线，使它与抛物线 y2 4x 仅有一个公共点，这样的直线有 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：一条过点 (0,1)且平行于 x 轴的直线，两条过点 (0,1)且与抛物线相切的直线 4直线 y bax 3 与双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的交点个数是 ( ) A 1 B 2 C 1 或 2 D 0 A

6、 因为直线 y bax 3 与双曲线的渐近线 y bax 平行，所以它与双曲线只有 1 个交点 5过抛物线 y2 8x 的焦点 F 作倾斜角为 135 的直线，交抛物线于 A， B 两点，则弦 AB 的长为 _ 16 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，因为抛物线 y2 8x 的焦点为 F(2,0)，直线 AB 的倾斜角为 135 ，故直线 AB 的方程为 y x 2，代入抛物线方程 y2 8x，得 x2 12x 4 0，则 x1 x2 12， x1x2 4，则 |AB| x1 x2 4 12 4 16. 第 1 课时 直线与圆锥曲线的位置关系 =【 ;精品教育资源文库 】 = (对

7、应学生用书第 149 页 ) 直线与圆锥曲线的位置关系 (2017 全国卷 ) 设 A， B 为曲线 C： y x24上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4. (1)求直线 AB 的斜率； (2)设 M 为曲线 C 上一点， C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线 AB 的方程 解 (1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2， y1 x214， y2x224， x1 x2 4， 于是直线 AB 的斜率 k y1 y2x1 x2 x1 x24 1. (2)由 y x24，得 y x2. 设 M(x3， y3)，由题设知 x32 1，解得 x3

8、2，于是 M(2,1) 设直线 AB 的方程为 y x m， 故线段 AB 的中点为 N(2,2 m)， |MN| |m 1|. 将 y x m 代入 y x24得 x2 4x 4m 0. 当 16(m 1)0，即 m 1 时， x1,2 22 m 1. 从而 |AB| 2|x1 x2| 4 2(m 1). 由题设知 |AB| 2|MN|，即 4 2(m 1) 2(m 1)，解得 m 7. 所以直线 AB 的方程为 y x 7. 规律方法 1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x 或 y ，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点 .但应

9、注意两点： 消元后需要讨论含 x2 或 y2 项的系数是否为 0. 重视 “ 判别式 ” 起 的限制作用 . 2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 已知直线 l： y 2x m，椭圆 C： x24y22 1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点 解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组? y 2x m， x24y22 1， 将 代入 ， 整 理得 9x2 8mx 2m2 4 0. 方程 根的判别式 (8m)2 49(2

10、m2 4) 8m2 144. (1)当 0，即 3 2 m 3 2时，方程 有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点 (2)当 0，即 m 3 2时，方程 有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C有且只有一个公共点 弦长问题 (2018 广州综合测试 (二 )已知双曲线 x25 y2 1 的焦点是椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数 . 【导学号： 79140304】 (1)设椭圆 C 的方程； (2)设动点 M，

11、 N 在椭圆 C 上，且 |MN| 4 33 ，记直线 MN 在 y 轴上的截距为 m，求 m的最大值 解 (1)双曲线 x25 y2 1 的焦点坐标为 ( 6， 0)，离心率为 305 . 因为双曲线 x25 y2 1 的焦点是椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数， 所以 a 6，且 a2 b2a 306 ，解得 b 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故椭圆 C 的方程为 x26 y2 1. (2)因为 |MN| 4 33 2，所以直线 MN 的斜率存在 因为直线 MN 在 y 轴上的截距为 m， 所以可设直线 MN 的 方程为 y kx

12、 m. 代入椭圆的方程 x26 y2 1 中， 得 (1 6k2)x2 12kmx 6(m2 1) 0. 因为 (12km)2 24(1 6k2)(m2 1) 24(1 6k2 m2) 0， 所以 m2 1 6k2. 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 根据根与系数的关系得 x1 x2 12km1 6k2， x1x2 6(m2 1)1 6k2 则 |MN| 1 k2|x1 x2| 1 k2 (x1 x2)2 4x1x2 1 k2 ? ? 12km1 6k22 24(m2 1)1 6k2 . 因为 |MN| 4 33 ， 则 1 k2 ? ? 12km1 6k22 24(m2 1)1

13、 6k2 4 33 . 整理得 m2 18k4 39k2 79(1 k2) . 令 k2 1 t1 ，则 k2 t 1. 所以 m2 18t2 75t 509t 19?75?18t 50t 75 2309 53. 等号成立的条件是 t 53，此时 k2 23， m2 53满足 m2 1 6k2，符合题意 故 m 的最大值为 153 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 规律方法 弦长的三种常用计算方法 定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题 . 点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长 . 弦长公式法：它体现了解析几何中

14、设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的 . 易错警示：直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特 殊情况 . 跟踪训练 (2017 宜春中学与新余一中联考 )设椭圆 M： y2a2x2b2 1(a b 0)的离心率与双曲线 x2 y2 1 的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为 4. (1)求椭圆 M 的方程； (2)若直线 y 2x 1 交椭圆 M 于 A， B 两点， P(1， 2)为椭圆 M 上一点，求 PAB的面积 解 (1)由题可知，双曲线的离心率为 2，则椭圆的离心率 e ca 22 ， 由 2a 4， ca 22 ， b2 a2 c2，得 a 2

15、， c 2， b 2， 故椭圆 M 的方程为 y24x22 1. (2)联立方程? y 2x 1x22y24 1，得 4x2 2 2x 3 0， 且? x1 x2 22x1x2 34，所以 |AB| 1 2|x1 x2| 3 (x1 x2)2 4x1x23 12 3 422 .又 P 到直线 AB 的距离为 d 13，所以 S PAB 12|AB| d12422 13144 . 中点弦问题 (1)在椭圆 x216y24 1内，通过点 M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 【导学号： 79140305】 A x 4y 5 0 B x 4y 5 0 C 4x y 5 0 D 4x y 5 0 (2)如图 891，已知椭圆 x22 y2 1 上两个不同的点