整套课件-概率论与数理统计.ppt

1、通通 知知1.1.请同学们以原班级为单位统计购买请同学们以原班级为单位统计购买概率十年考题概率十年考题每本每本5元以及元以及概率统计学习指导概率统计学习指导每本每本2020元的人数，元的人数，2.2.答疑安排答疑安排：1212周周1818周的周二下午周的周二下午7、8节，教节，教1C3001C3003.3.请同学们按分组情况于每周四按规定请同学们按分组情况于每周四按规定上交作业上交作业。（班长在哪个教学班就在哪个教学班登记人数）。班长在哪个教学班就在哪个教学班登记人数）。4.通知学生浏览理学院数学系的通知学生浏览理学院数学系的“概率统计概率统计”网站，网站，那上面有很多学习资料。那上面有很多学

2、习资料。引引 言言概率论的发展简介概率论的发展简介概率统计概率统计是一门是一门研究研究随机现象随机现象统计规律性统计规律性的科学。的科学。例如：全球经济的波动；例如：全球经济的波动；一个公司的业绩的好坏；一个公司的业绩的好坏；一种股票的升跌等等。一种股票的升跌等等。猜测猜测：概率论的起源？：概率论的起源？(1)研究随机现象的统计规律性；研究随机现象的统计规律性；(2)与其它数学分支紧密相连，是近代数学的重要组成部分；与其它数学分支紧密相连，是近代数学的重要组成部分；(3)应用性很强，遍及各科学研究领域，如气象，水文，地震预报等。应用性很强，遍及各科学研究领域，如气象，水文，地震预报等。本课程的

3、特点本课程的特点1.浙江大学概率统计及其配套参考资料浙江大学概率统计及其配套参考资料4.概率统计及数理统计（内容、方法和技巧）概率统计及数理统计（内容、方法和技巧）,华中科技大学出版社华中科技大学出版社参考书参考书3.概率统计及数理统计概率统计及数理统计,中山大学中山大学2.概率统计及数理统计概率统计及数理统计,陈希孺陈希孺5.概率统计与数理统计学习方法指导，周圣武，周长新，李金玉，煤炭工业出概率统计与数理统计学习方法指导，周圣武，周长新，李金玉，煤炭工业出版社版社第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维

4、随机变量及其分布第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第六章第六章 样本与抽样分布样本与抽样分布第七章第七章 参数估计参数估计第八章第八章 假设检验假设检验(16学时学时)数理统计数理统计(28学时学时)概概 率率 论论内容与学时（共内容与学时（共4848学时）学时）1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算1.2 频率与概率频率与概率1.3 等可能概型等可能概型1.4 条件概率条件概率1.5 事件的相互独立性事件的相互独立性（8学时）学时）第一章第一章 四、四、事件的关系及其运算事件的关系及其运算1.1 随机事件及其运算随机

5、事件及其运算 第一章第一章 第一讲第一讲 一、随机现象一、随机现象二、随机试验及样本空间二、随机试验及样本空间三、随机事件三、随机事件1.随机现象随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果，但又有一定统计规律的现象称为在一定条件下，并不总是出现相同结果，但又有一定统计规律的现象称为随机现象随机现象。例如：例如：抛硬币；掷骰子；考试成绩；人的寿命；抛硬币；掷骰子；考试成绩；人的寿命；观察某网站某时点的访问人数等等。观察某网站某时点的访问人数等等。自然界中的现象分为两大类：自然界中的现象分为两大类：将来可以预知，将来可以预知，条件一定、结果一定条件一定、结果一定将来不可以预知，将来不可以预知，条件

6、一定、结果不定条件一定、结果不定（1 1）确定现象确定现象：（2 2）不确定现象不确定现象：2.随机试验及样本空间随机试验及样本空间随机试验应该广义理解，是对随机现象的一次观察、随机试验应该广义理解，是对随机现象的一次观察、一次测量、一次统计等等，简称一次测量、一次统计等等，简称试验试验，记作，记作E。HT抛一枚硬币，观察正面抛一枚硬币，观察正面H 和反面和反面T 出现的情况。出现的情况。1:EE2:将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次,观察正面观察正面H和反面和反面T出现的情况出现的情况TTTHHHHTTTHTTTHHHTHTHTHH5:E在一批灯泡中任意抽取一支在一批灯泡中任意抽取一支,测

7、试它的寿命。测试它的寿命。抛一颗骰子，观察出现的点数。抛一颗骰子，观察出现的点数。3:E记录一段时间内进入某商场的人数。记录一段时间内进入某商场的人数。4:E 观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次,H出现的次数。出现的次数。6:E上述随机试验具有以下三个特点：上述随机试验具有以下三个特点：(可重复性可重复性）(1)可以在相同情况下重复进行；可以在相同情况下重复进行；(2)每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性，每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性，(3)每次试验前不能确定会出现哪种结果。每次试验前不能确定会出现哪种结果。但能事先知道试验的所有可能结果；但能事先知道试验的所

8、有可能结果；(随机性随机性）具有上述三个特点的试验称为具有上述三个特点的试验称为随机试验随机试验。(多样性多样性）我们就是通过研究随机试验来研究随机现象的。我们就是通过研究随机试验来研究随机现象的。定义定义1 将将随机试验随机试验E的所有可能结果组成的集合，的所有可能结果组成的集合，称为称为E 的的样本空间样本空间，记作，记作。样本空间的每个元素，即样本空间的每个元素，即E的每个结果，称为的每个结果，称为样本点样本点。E1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H和反面和反面T出现的情况。出现的情况。1,H T 30 L，1，2,3 31 12 2E3：观察一段时间内进入某商场的顾客人数。

9、：观察一段时间内进入某商场的顾客人数。E2：记录一只灯泡的使用寿命。记录一只灯泡的使用寿命。20t t 3 3 样本空间的元素是由试验目的决定的。样本空间的元素是由试验目的决定的。50,1,2,3 观察正面观察正面H出现的次数。出现的次数。：将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次,5EE4：将一枚硬币抛掷三次，观察正面：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H和反面和反面T出现出现 的情况。的情况。4,HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 2 2定义定义2 一般地，我们称试验一般地，我们称试验E的样本空间的样本空间的子集为的子集为随机事件随机事件，简称为简称为事件事件，可，可用用

10、A,B,C,D等表示。等表示。3.随机事件随机事件如：如：掷骰子试验中点数是偶数、奇数、大于掷骰子试验中点数是偶数、奇数、大于3等都是事件。等都是事件。事件的表示方法：事件的表示方法：语言定性描述，用集合描述。语言定性描述，用集合描述。如：掷骰子试验中，掷出的点数为偶数可表示为：如：掷骰子试验中，掷出的点数为偶数可表示为：A=2，4，6=“点数为偶数点数为偶数”。样本空间是客观的，样本空间是客观的，事件是人为设定的事件是人为设定的。在试验中在试验中,事件事件A中的某个样本点出现中的某个样本点出现,则称则称事件事件A发生发生。（1）事件的发生事件的发生在掷骰子试验中，在掷骰子试验中，如果掷出数字

11、如果掷出数字4，则，则A2、A3发生。发生。=1,2,3,4,5,61=1,2,3,A2=2,4,6,A3=4,5,6A定义定义3个事件：个事件：基本事件基本事件只含有一个样本点的事件，称为只含有一个样本点的事件，称为基本事件。基本事件。（2）特殊事件（特殊事件（4种）种）11,A 22,A LL为为6个基本事件。个基本事件。例如例如：在掷骰子试验中：在掷骰子试验中 66A 必然事件必然事件在每次试验中一定会发生的事件，称为在每次试验中一定会发生的事件，称为必然事件。必然事件。由于样本空间由于样本空间包含所有的样本点，每次试验中它总是发生的，因此包含所有的样本点，每次试验中它总是发生的，因此样

12、本空间样本空间是必然事件。是必然事件。不可能事件不可能事件在每次试验中一定不发生的事件称为在每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件，不可能事件，记为记为，即为空集即为空集，其中不包含任何样本点。其中不包含任何样本点。例如：例如：掷一枚骰子掷一枚骰子1次，则次，则点数点数1为必然事件为必然事件 点数点数 6为不可能事件。为不可能事件。复合事件复合事件由若干个基本事件组合而成的事件称为由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件复合事件。例如例如：。掷出偶数点掷出偶数点，在掷骰子试验中，在掷骰子试验中，53221B,B4.事件的关系及其运算事件的关系及其运算由于事件是一个集合，因而事件间的关系和运

13、算由于事件是一个集合，因而事件间的关系和运算可以按照集合论中可以按照集合论中集合集合之间的关系和运算来处理。之间的关系和运算来处理。下面给出这些关系和运算及在概率论中的提法，下面给出这些关系和运算及在概率论中的提法，从从“事件发生事件发生”的角度来理解它们在概率论中的含义。的角度来理解它们在概率论中的含义。注意与代数运算中的和、差、积等运算的区分。注意与代数运算中的和、差、积等运算的区分。S事件的包含与相等事件的包含与相等BA若事件若事件A 发生发生必必导致事件导致事件定义：定义：B发生发生，则则称称 B包含包含A 。（A的每一个样本点都是的每一个样本点都是B 的样本点）的样本点）记为记为BA

14、或或.AB AxBx即即定义定义：若：若BA且且,BA则称则称A与与B相等。相等。记为记为 A=B。（1 1）事件间的关系（）事件间的关系（6种）种）例如：例如：编号为编号为1到到10的球放入袋中进行摸球，定义的球放入袋中进行摸球，定义则有则有,BAAC，.DAD，A=取到的球号取到的球号2，B=取到的球号取到的球号4，C=取到的球号取到的球号1，D=取到的球号取到的球号是偶数是偶数，S事件的和事件的和ABBA例如例如,Aa b c d,Bc d e f,.ABa b c d e f定义定义事件事件A和和B至少有一个发生至少有一个发生所所BxAxBA或或称为称为A与与B的和事件的和事件。构成的

15、事件，构成的事件，AB 即即记为记为12,nAAA1niiA12,AA1iiA可列并可列并有限并有限并简记为简记为简记为简记为类似地，称事件类似地，称事件 12,nA AAL12,nA AAL中至少有一个发生所中至少有一个发生所构成的事件为构成的事件为的和事件。记为的和事件。记为称事件称事件12,A A L12,A A L中至少有一个发生所构成的事件为中至少有一个发生所构成的事件为的和事件。记为的和事件。记为例如例如A1 1=开关开关K1合上合上 A2 2=开关开关K2 合上合上 A3 3=开关开关K3合上合上 B=灯亮灯亮 123BAAA三个开关至少有一个合上。三个开关至少有一个合上。1K2

16、K3KB事件的积事件的积SABABBA事件事件A 和和B同时发生同时发生所构成的所构成的或或.AB定义定义记为记为例如例如 电路图，电路图，B表示灯亮表示灯亮12BA A1K2KBA1 1=开关开关K1 合上合上 A2=开关开关 K2 合上合上事件，称为事件，称为事件事件A与与B的积的积，即即BxAxBA且且可列交可列交有限交有限交12,nAAA1niiA 简记为简记为1iiA 简记为简记为同时发生所构成的事同时发生所构成的事类似地，称事件类似地，称事件12,nA AAL12,nA AAL件为件为的积事件。记为的积事件。记为12,AA称事件称事件12,A A L12,A A L同时发生所构成的

17、事件为同时发生所构成的事件为的积事件。记为的积事件。记为事件的差事件的差SBABA例如例如,Aa b c d,Bc e f,ABa b d定义定义成的事件称为成的事件称为事件事件A与与B的差的差。事件事件A发生且事件发生且事件B不发生不发生构构记为记为A-B。BxAxBA且且即即S相容和互不相容事件相容和互不相容事件AB注注1：A 与与B互不相容互不相容表示表示事件事件A 与与B 不能同时发生不能同时发生。定义定义注注2：基本事件是两两基本事件是两两互不相容互不相容的的(互斥互斥)。如：如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。若若AB ，则称

18、事件则称事件A与与B相容。相容。若若AB=，则称，则称A与与B为互不相容。为互不相容。S对立事件对立事件BA则称则称 A 与与 B为为对立事件对立事件(互逆互逆)。AB 且且AB 即：事件即：事件A、B 有且仅有一个发生。有且仅有一个发生。定义定义事件事件 A,B 满足满足记为记为.,BAAB可见：若可见：若E只有两个互不相容的结果，那么这两个只有两个互不相容的结果，那么这两个结果构成对立事件。结果构成对立事件。nAAA,21L表示毕业班某一位学生的表示毕业班某一位学生的以以C表示学生拿不到毕业证书，则表示学生拿不到毕业证书，则nAAABL21例如：例如：设以设以12nCAAA LL 表示至少

19、有一门课程不及格。表示至少有一门课程不及格。以以B表示该学生可以拿到毕业证书，则表示该学生可以拿到毕业证书，则各科的学习为成绩合格。各科的学习为成绩合格。表示每门课程都合格了。表示每门课程都合格了。CB(2)事件的运算规律（事件的运算规律（6条）条）交换律交换律,ABBAABBA结合律结合律)(CBACBA)()(CBACBA)(分配律分配律)(CBA)()(CABA)(CBA)()(CABA德德.摩根律摩根律BABAABAB1111,nnnniiiiiiiiAAAA1111,iiiiiiiiAAAA AAABABAAB德德.摩根律推广摩根律推广事件事件A,B,C 表示下列事件表示下列事件(3

20、)(3)A发生发生,B与与C不发生不发生(2)(2)A与与B发生发生,C不发生不发生(1)(1)A，B，C都发生都发生(4)(4)A，B，C至少有一个发生至少有一个发生(5)(5)A，B，C全不发生全不发生(6)(6)A，B，C至少有两个发生至少有两个发生()ABC()ABC()ABC()ABC()ABC(ABC )ABCABCABC例例1某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分 城市城市甲甲乙乙1 12 23 3解解:123BAAA 123BAAA 123A AA 321,AAA表示表示 。,B B 表示城市能正常供水，表示城市能正常供水，表示城市断水

21、。试用表示城市断水。试用BBkA水。设事件水。设事件表示第表示第k号管道正常工作号管道正常工作k=1,2,3。管道管道 1，2，3 组成。每个水源都可以供应城市的用组成。每个水源都可以供应城市的用例例2从一批从一批100件的产品中每次取出一个（取后不放件的产品中每次取出一个（取后不放回），假设回），假设100件产品中有件产品中有5件是次品件是次品，用事件用事件Ak表示表示第第k 次取到次品次取到次品,试用试用123A,A,A表示下列事件。表示下列事件。(1)三次全取到次品。三次全取到次品。123A A A(2)只有第一次取到次品只有第一次取到次品123A A A(3)三次中至少有一次取到次品三

22、次中至少有一次取到次品123AAA(4)三次中恰有两次取到次品三次中恰有两次取到次品123123123 A A AA A AA A A (5)三次中至多有一次取到次品三次中至多有一次取到次品123123123123A A AA A AA A AA A A 或或121323A AA AA A 例例3试证明下列等式试证明下列等式(1)ABABA(2)ABAB A(3)BAABAB方法方法：定义定义利用关系运算利用关系运算作文氏图作文氏图证：证：(1)ABABAA ABB例例4(2)右右ABAAABAB BAAB AAB(3)右右 ABABABABABABABABBA 左左思考题思考题以以A表示表示

23、“甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则，则A的对立事件表示：的对立事件表示：(a)甲滞销，乙畅销；甲滞销，乙畅销；(b)甲乙两种产品均畅销；甲乙两种产品均畅销；(c)甲畅销；甲畅销；(d)甲滞销或乙畅销。甲滞销或乙畅销。小小 结结(1)随机现象随机现象（了解概念）（了解概念）(2)随机试验随机试验(理解概念，三个特点理解概念，三个特点)；样本空间样本空间(能写出给定试验的样本空间能写出给定试验的样本空间)；(3)随机事件随机事件(能用已知事件表示未知事件能用已知事件表示未知事件)；(4)事件运算及关系事件运算及关系(掌握并会应用，主要用于化简掌握并会应用，主要用于化简和证

24、明和证明)。作作 业业 1P5:2 P26:2(1)1.2 频率与概率一、频率 第一章 第二讲 三、概率的性质二、概率的公理化定义 对于一个事件来说，它在一次试验中可能发对于一个事件来说，它在一次试验中可能发生也可能不发生，人们不仅关心试验中会发生哪生也可能不发生，人们不仅关心试验中会发生哪些事件，更重要的是想知道某事件出现的可能性些事件，更重要的是想知道某事件出现的可能性大小，也就是大小，也就是事件的概率事件的概率。概率是随机事件发生可能性大小的度量。事件发生的可能性越大，概率就越大！例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意

25、义呢？了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.1.频率 .AnnfAn即 ,Afn记为 Ann为事件A在n次试验中出现的频率，An为事件A 在n次试验中出现的频数，比值则称An频率：设在 n 次重复试验中，事件A 出现了次，1212 nknnnkfAAAfAfAfA频率的性质：()1;nf（2）01;nfA（1）12,kA AA（3）设两两互不相容，那么有试验者试验者抛币次数抛币次数n“正面向上正面向上”次次数数 频率频率De Morgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson12

26、00060190.5016Pearson24000120120.5005)(Afn抛掷钱币试验记录抛掷钱币试验记录频率有什么规律呢？可见,在大量重复的试验中，随机事件出现的频率具有稳定性，即通常所说的统计规律性。,P Ap这就是概率的统计定义。从上表可以看出，出现“正面向上”的频率()nfA虽然随n 的不同而变动，但总的趋势是随着试验次数的增加而逐渐稳定在0.5这个数值上。定义:在相同的条件下进行大量的重复试验，随机Ann的附近摆动，我们称这个稳定值 p 为随机事件A的会稳定地在某个固定的数值p事件A 出现的频率概率，即2.概率的公理化定义概率的公理化定义 0；P A =1；P12LLiniP

27、A =P A+P A+P A+设随机试验E的样本空间为，对于E中的每一个事件A 赋予一个实数 P(A)，称为事件A 的概率,如果集合函数P(.)满足以下三个公理:（1）非负性（2）规范性（3）可列可加性若可列个事件 两两互不相容，则12LLnA,A,A,0P LL LLPP PPP LL3.概率的性质(6条)性质1证明：由概率的非负性和可列可加性，得由概率的非负性，得 0P 性质2 （有限可加性）LL12n12nP AAA=P A+P A+P A性质3 如果 ，则ABA,PAP BP B-A=P B-PA性质401.P A若 两两互不相容，则nAAA,21L性质5 性质6 ,A P ABP A

28、P BP AB 1.P AP A,A B,A B C P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC推广：加法公式解：)(CBAP)()()(CPBPAP)()()(BCPACPABP)(ABCPABABC()()0P ABCP AB0)(ABCP)(CBAP125.075.0625.0已知,25.0)()()(CPBPAP125.0)(ACP,0)()(BCPABP求A,B,C 中至少有一个发生的概率。例1证：P ABP A B1P AP BP AB1P AP B解：ABABBBABP ABP ABP B0.3ASBP AB1P AB证明1P ABP A BP AP B例20

29、.6,0.3PABPB，求PA B例3解：SAB)()()()(ABPAPABAPBAP3.02.05.0)(ABP即即)(1)(_ABPABP7.03.01例4).(2.0)(,5.0)(_ABPBAPAP，求，求已知已知小 结共包括3部分内容，主要是：3个定义：(1)频率的定义；(2)概率的统计定义；(3)概率的公理化定义。3组等式：和事件；差事件；对立事件和事件和事件)(BPAPBAP差事件)()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP一般情况)(ABPAPBAPA,B互不相容一般情况A包含B对立事件 APAP1作 业 2 P9：2，3P26:3(1)第一章 一、等可能概

30、型二、几何概型设是随机试验 E 的样本空间，若满足以下两个条件：(a)有限性 试验的样本空间中样本点总数有限；(b)等可能性 每个样本点出现的可能性相同，例如：E1：抛硬币,观察哪面朝上=H,T称随机试验E为等可能概型或古典概型。1.等可能概型(1)定义(2)计算公式若事件A包含k个基本事件，则.)(nkAAP中样本点数中样本点数中样本点数中样本点数将两封信随机的投入四个邮筒,求:1)前两个邮筒中没有信的概率,2)第一个邮筒中只有一封信的概率。例1解:设 A=“前两个邮筒中没有信”B=“第一个邮筒中只有一封信”)(AP1)4422412)(BP4412C8313C掷两枚骰子，点数之和为奇数的概

31、率。答：1/2例2(3)计算方法（a）构造A 和的样本点(当样本空间S 的元素较少时，先一一列出和A 中的元素，直接利用下面的公式求解kP An（b）用排列组合方法求A 和的样本点个数，再利用公式求解kP An预备知识.加法原理：完成一项工作m类方法，第i类方法有in种(i=1,2,m)，则完成这项工作共有：12mnnn 种方法。.乘法原理：完成一项工作有m个步骤，第i步有in，则完成该项工作一共有：12mn nn种方法。种方法（i=1,2,m).排列：从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，称为从n个元素里取出r 个元素的排列。(n,r 均为整数)(rn)进行排列，共有(无放回选取)从

32、n个不同元素中无放回的取出r个)!(!)1).(1(rnnrnnnPrn种方法。(有放回选取)从n 个不同元素中有放回地抽取r 个，依次排成一列，称为可重复排列，一共有 种方法。rn.组合从n个元素中无放回取出r个元素，不考虑其顺序，组合数为 rn或!rrnnPnCrnrrrnrnnCC,例：袋中有三个球，标号1,2,3 任取两次,无放回，考虑顺序12,13,21,23,31,32623P 无放回，不考虑顺序12,13,23323C 有放回，考虑顺序11,12,13,21,22,23,31,32,3391313 CC一口袋中装有10只球,其中6只蓝球,4只红球,现从袋中取球两次,每次随机的取一

33、只,分别按有放回和无放回两种方式取球,就以上两种情况求:1)取到的两只都是蓝球的概率;2)取到两只球颜色相同的概率;3)取到的两只球中至少有一只是蓝球的概率。例310只球,其中6只蓝球,4只红球，取球2次91(),25P A）=4(),25P B()0;P AB)(BAP2)()()(ABPBPAP13;25)(1BP3)(BP21.25a)有放回的抽样A=两只球都是蓝球,B=两只球都是红球)(APb)无放回抽样)(BP91056910341)1,32;15)(BAP2)()()(ABPBPAP7;15)(1BP)(CP3)(BP13.1510只球,其中6只蓝球,4只红球，取球2次 袋中有a只

34、白球，b 只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m 个球（),求其中恰有k 个（）白球的概率。例4mkak,bam解:(1)不放回情形E1:不考虑顺序，一次取 m 个球，记下颜色mbaCn11:记事件 A 为m个球中有k个白球，则kmbkaACCn因此mbakmbkaCCCAP)(mkak,超几何分布(2)有放回情形E2:球编号,任取一球,记下颜色,放回去,重复 m 次mban)(22:记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球,则mkmkkmbabaCBP)()(kmkkmbabbaaCbaap记),min(,2,1)1()(makppCBPkmkkmL二项分布2.几何概型十字路口红绿灯，周

35、期是60秒，红灯亮15秒，求一辆汽车恰好遇红灯的概率。一片面积为S的树林有一块面积为S0的空地，一飞机随机的往树林空投一包裹，求包裹落在空地上的概率。例5例6几何概率模型考虑的是无限多个等可能结果的随机试验.首先看下面几个例子:已知在10ml的自来水中有一大肠杆菌，随机取2ml放在显微镜下观察发现大肠杆菌的机率。上述三个例题中，样本空间分别是一维、二维、三维空间，它们分别用长度、面积、体积来度量大小，其共同点是样本空间的样本点有无限多个且出现是等可能的。A是样本空间的一个子集，P(A)与A的位置、形状无关，而只与A长度、面积、体积成正比。例7 设某个区域D，面积为SD,随机试验E为向区域D投点

36、，如果点落入D的任意子区域A的可能性大小与A的面积SA成正比，与A的位置和形状没有关系，称这一类型的试验为几何概型。().ADSP AS=（1）几何概型的定义（2）计算公式注意：一般地，某个区域D可以是线段,平面区域，空间区域，对应的SD分别为长度，面积，体积。(会面问题）甲乙二人约定在7点到12点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响，求二人能会面的概率。解：以X，Y分别表示甲，乙二人到达的时刻，8点记为0，则12点记为5，有.50 ,50 YX 0 1 2 3 4 5 y54321.M(X,Y)x即点M落在图中的阴影部分。所有的点构

37、成一个正方形，即有无限多个结果，且各点是等可能的。例8二人会面的条件是：|,XY10 1 2 3 4 5yx54321y-x=1y-x=-1P=阴影部分的面积正方形的面积.259254212-252 小 结1.等可能概型2.几何概型(1)定义(2)计算公式(3)计算方法作 业 3P14:2P26:7,10四、贝叶斯公式 第一章 第三讲 一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式 在对随机现象的研究中，常遇到这样一类概率计算问题，例如NBA火箭湖人比赛，问题：开始比赛时预测一下火箭获胜的机率有多大？若已知上半场火箭队胜，问火箭最终获胜的可能性多大？1.条件概率1.条件概率核心引例:取一副牌，随机的抽

38、取一张，求:(1)抽中的是K的概率;(2)若已知抽中的是红桃，问抽中的是K的概率。解：设A 表示抽中的是红桃，B表示抽中的是K，则(1)(BP(2)|(ABP13154/1354/1)()(APABP上述式子具有普遍性吗?在古典概型中,)|(ABP)()(APABP;544设 A，B为两事件，且,0)(AP则称)|(ABP)()(APABP为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。(1)条件概率的定义注：P(A)与P(A/B)的区别 P(A)是无条件概率，P(A/B)是条件概率；样本空间不同，P(A)定义在整个样本空间上，而P(A/B)的样本空间为B。一般的，)/()(BAPAP()|0;a

39、 P BA(c)设12,B B 是两两互不相容的事件,ijB Bij ii=1PB|A=则ii=1P B|A条件概率|P BA满足概率公理化定义中的三个公理:()(|)1b PA性质：条件概率满足概率的6条性质。P7非负性规范性可列可加性(2)条件概率的性质 在B发生后的缩减样本空间中计算。(3)条件概率的计算 用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 掷骰子例：A=掷出2点，B=掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1)()()|(BPAB

40、PBAP解法2 2163)|(BAP解：设A=掷出点数之和不小于10，B=第一颗掷出6点，则应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算3 3611 62例1设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4，问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A=能活到20年以上，B=能活到25年以上，依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4，则故所求概率为P(B/A)。)()()|(APABPABP5.08.04.0)()(APBP例2由条件概率的定义：即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)()()|(BPABPBAP而 P(AB)=P(

41、BA)2.乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB)。将A、B的位置对调，有故若P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若 P(A)0，则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可以计算A,B积事件的概率。.|APABPABCPABCP 1210,nP A AA 2-2111-2121|nnnnnAAAAPAAAAPAAAP 112213|APAAPAAAP推广:0 P AB 设A，B，C为三个事件，且，则12,2,nA AAn一般地，设有n个事件且有则有条件概率的定义可得设一个班30名学生采用抓阄的办法分一张音乐会入场券,问各人获

42、得此票入场券的机会是否均等？解：设iA“第 名学生抓到入场券”ii=1,2,30)(1AP301)(2AP)(21AAP)(12AAP)(1AP2913029301同理，第i 个人要抓到此入场券，必须是他前面的 i-1个人都没抓到此入场券。显然有，例3iP A=L12i-1iP A AAALi12i-1P A|A AALi-112i-2P A|A AA L121=P AP A|A2928=302930-(-2)-130-(-2)Lii130-1i1=30解：设A=第一次没有摸到白球B=第二次没有摸到白球，C=第三次摸到白球，则所求事件可表示为ABC，有 AP,108 ABP|,108 ABCP

43、|,102 APABPABCPABCP/设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按(1)有放回抽样；(2)不放回抽样两种方式摸球三次，每次摸得一球，求第三次才摸到白球的概率。(1)有放回抽样 例4 APABPABCPABCP|108108102 .12516 AP,108 ABP|,97 ABCP|,82 APABPABCPABCP|1089782 .457(2)不放回抽样 有三个箱子，分别编号为1,2,3。在1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球，求取得红球的概率。解：记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球B发

44、生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，123其中A1，A2，A3两两互不相容。例:3.全概率公式 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入数据计算得：P(B)=8/15.运用加法公式得到即且 A1B、A2B、A3B 两两互不相容。123 BA BA BA B,(1)ijB Bij12(2)nBBB一个事件发生。定义 设是随机试验E 的样本空间，B1,B2,Bn是 E的一组事件，如果：为样本空间的一个划分。则称12,nBBBL为完备事件组，

45、或称12,nBBBL注意：12,nB BBL则对每次试验，事件组中有且仅有若为样本空间的一个划分，12,nB BBL定理1 设为随机试验E的样本空间，B1,B2,Bn为的一个划分，且P(Bi)0,i=1,2,n，则对样本空间中的任意事件A，有 niiiB|APBPAP1全概率公式基本思想:把一个未知的复杂事件A分解为若干个已知的简单事件再求解，而这组简单事件为的一个划分，故在应用全概率公式时，关键是要找到一个合适的样本空间的划分。某一事件A的发生有多种可能的原因所引起，全概率公式。我们还可以从另一个角度去理解全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生都有一定的作用。17红3黄25蓝

46、5白3 8蓝2白现从三个盒子取球,先在第一个盒子中任取1球,若取到红球,则在第二个盒子中任取2个球;若在第一个盒子中取到黄球，则在第三个盒子中任取2个球，求第二次取到的两球都是蓝球的概率。解:设1B=“从第一盒子取红球”2B=“从第一盒子取黄球”，A=“第二次取两只蓝球”，则107)(1BP103)(2BP)|(1BAP)|(2BAP21025CC21028CC452892)()|()()|()(2211BPBAPBPBAPAP342.0例5 这一类问题是“已知结果求原因”。在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性的大小。某人从任一箱中任意摸出一球，发

47、现是红球,求该球是取自1号箱的概率。1231红4白或者问:该球取自哪号箱的可能性最大?4.贝叶斯公式例:某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率。)()()|(11BPBAPBAP设 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球求P(A1|B)3111)()()|()(kkkABPAPABPAP运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式。1231红4白?定理2（贝叶斯公式）niiiiiiiBPBAPBPBAPAPABPABP1)()|()()|()()()|(设为随机试验E 的样本空间,A为E 的任意一个事件,nBBB,21LniBPAPi,

48、2,1,0)(,0)(L为的一个划分,且则 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出，它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率。贝叶斯公式在实际中有很多应用例如：它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因。某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04。现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则 =抽查的人不患癌症。C解：设C=抽查的人患有癌症,A=试验结果是阳性，求 P(C|A).由贝叶斯公式，可得)|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCP

49、ACP例6，已知已知04.0)|(95.0)|(995.0)(005.0)(CAPCAPCPCP.1066.0)/(ACP得得小 结本节共包括4部分内容，是第一章中的重点。1.条件概率公式；2.乘法公式；3.全概率公式；4.贝叶斯公式。熟记公式，熟练运用。作 业 4P21：4 P27:13 第一章 第四讲 一、两个事件的独立性二、多个事件的独立性显然 P(B/A)=P(B)这就是说,不论事件A是否发生,都不影响事件B发生的概率,这时称事件A与B相互独立.1.两事件的独立性A=第一次掷出6点，B=第二次掷出6点，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设 若两事件A、B满足 P(AB)=P(A)P

50、(B)则称A与B相互独立，简称A与B独立。P A|B=P A定理1 事件A与B相互独立 P B|A=P B定义1|P ABP A BP B|P ABP B AP A证明：先证必要性设事件A，B独立，由独立的定义知所以，当时，0 P B P A P BP B P A或者，当 0P A 时，P A P BP A P B再证充分性 P ABP AP B|P A BP A设成立，则有|P ABP A B P B P A P B根据定义，事件A，B相互独立。由于 P(A)=4/52=1/13,解:P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,从而,P(AB)=P(A)P(B)因此，事件A