数学第二章课件.ppt

1、不不 等等 式式第 二 章不等式的概念与性质第一节区 间第二节一元二次不等式及解法第三节分式不等式和绝对值不等式第四节目录CONTENTS线性规划的有关概念第五节二元线性规划问题的解法第六节第一节 不等式的概念与性质 不等式的概念 一、用等号(=)连接两个代数式所成的式子称之为等式，比如2+3=5，2x+1=3等都是等式.那么什么是不等式呢?很明显，用不等号(，)连接两个代数式所成的式子叫作不等式.比如5+24，4a-26等都是不等式.第一节 不等式的概念与性质【例例1 1】第一节 不等式的概念与性质【例例2 2】第一节 不等式的概念与性质 课课堂练习练习 1.用不等式比较下列关系：（1）a与

2、2的差比它的3倍大；（2）实数a和实数b的平方和不小于它们的乘积的2倍；（3）设三角形的三边长分别为a,b,c，任意两边之和大于第三边.2.比较x2-3x+4与x2-3x-6的大小.第一节 不等式的概念与性质 实数大小的比较 二、如果没有任何度量工具，怎么才能知道高矮差不多的两个同学的身高之间的不等关系呢？我们一般采用的比较方法是让这两个同学背靠背地站在同一高度的地面上，这时两个同学谁高谁低一看便知.在数学中，我们比较两个实数的大小，只要考察它们的差即可.对于任意两个实数a、b，有a-b0=ab；a-b0=ab；a-b=0=a=b.第一节 不等式的概念与性质已知实数a、b，且ab0，试比较a2

3、b与ab2的大小.思考与讨论思考与讨论第一节 不等式的概念与性质 课课堂练习练习第一节 不等式的概念与性质 不等式的基本性质 三、在初中我们已经学习了不等式的三条基本性质，本小节将进一步阐述并证明不等式的基本性质.性质1 如果ab，且bc，则ac.证明 ab=a-b0，bc=b-c0，因此，根据两正数之和为正数得（a-b）+（b-c）0，即 a-c0，所以ac.性质1所描述的不等式的性质称为不等式的传递性.第一节 不等式的概念与性质性质2 如果ab，则a+cb+c.证明 因为ab，所以a-b0.又因为（a+c）-（b+c）=a-b0，所以a+cb+c.性质2表明，不等式两边都加上（或都减去）同

4、一个数，不等号的方向不变，因此将性质2称为不等式的加法性质.第一节 不等式的概念与性质性质3怎么证明呢？想一想第一节 不等式的概念与性质性质3 如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acbc.性质3表明，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变.因此将性质3称为不等式的乘法性质.第一节 不等式的概念与性质【例例4 4】第二节 区 间区间是数集的一种表示形式，其表示形式与集合的表示形式相同.第二节 区 间 有限区间 一、我们知道，实数集是与数轴上的点集一一对应的，如集合x1x3可以在数轴上表示如图2-1所示.图

5、 2-1第二节 区 间由数轴上两点之间的所有实数所组成的集合叫作区间，这两个点叫作区间端点.不含端点的区间叫作开区间，如图2-1中，集合x1x3即表示的是开区间，记作（1，3）.其中1表示区间的左端点，3表示区间的右端点.在数轴上表示区间时，开区间的两个端点用空心点表示（见图2-1）.第二节 区 间含有两个端点的区间叫作闭区间，如图2-2中，集合x1x3表示的区间即为闭区间，记作1，3.在数轴上表示闭区间时，其两个端点用实心点表示.图 2-2第二节 区 间只含左端点的区间叫作右半开区间，如集合x1x3表示的区间即为右半开区间，记作1，3）；只含右端点的区间叫作左半开区间，如集合x1x3表示的区

6、间即为左半开区间，记作（1，3.第二节 区 间【例例1 1】图 2-3第二节 区 间 课课堂练习练习已知集合A=-1，3），B=(0，5），求AB，AB.第二节 区 间 无限区间 二、集合xx3可在数轴上表示如图2-4所示.图 2-4学习提示学习提示第二节 区 间将实数集R看成一个大区间，怎么用区间来表示呢？表示出的是闭区间还是开区间？想一想第二节 区 间由图2-4可以看出，集合xx3表示的区间的左端点为3，没有右端点，这时可将其记作（3，+），其中“+”读作“正无穷大”，表示右端点可以没有具体的数，可以任意大.同样，集合xx3表示的区间可记作（-，3），其中“-”读作“负无穷大”.第二节 区

7、 间 集合xx3表示的区间为3，+），是右半开区间；集合xx3表示的区间为（-，3，是左半开区间.由上可以看出，一般可以用区间来表示的集合用区间表示会更方便.第二节 区 间【例例2 2】图 2-5第二节 区 间 课课堂练习练习1.已知集合A=（-，2，B=（-，4），求AB，AB.2.设全集为R，集合A=（0，3，B=（2，+），求（1）CA，CB；（2）ACB.第三节 一元二次不等式及解法观察下面两个不等式：（1）x2-2x+10；（2）x2-3x+100.可以看出，这两个不等式的共同特点是：（1）都只含一个未知数x；（2）未知数x的最高次数都是2.一般地，像上述那样，含有一个未知数，并且未

8、知数的最高次数是二次的不等式，叫作一元二次不等式，它的一般形式为ax2+bx+c（）0或ax2+bx+c（）0，其中，a、b、c为常数，且a0.第三节 一元二次不等式及解法上述一元二次不等式的一般形式的左边恰好是自变量为x的一元二次函数y=ax2+bx+c（a0）的解析式.下面我们将通过实例来研究一元二次不等式的解法，以及它与相应的函数、方程之间的关系.例如，求不等式x2-x-20与x2-x-20的解集.首先，解方程x2-x-2=0得x1=-1，x2=2.第三节 一元二次不等式及解法 然后，画出函数y=x2-x-2图像，如图2-6所示.图 2-6第三节 一元二次不等式及解法由图2-6可看出：（

9、1）函数y=x2-x-2的图像与x轴的交点为（-1，0）和（2，0），这两点的横坐标恰好是方程x2-x-2=0的两个解；（2）当x=-1或x=2时，函数图像与x轴相交，y=0；（3）当-1x2时，函数图像位于x轴下方，y0；（4）当x-1或x2时，函数图像位于x轴上方，y0.第三节 一元二次不等式及解法第三节 一元二次不等式及解法第三节 一元二次不等式及解法由上可知，可以利用一元二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像来解一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0，一般可分为如下三种情况：（）当方程ax2+bx+c=0的判别式=b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根x1、x2（

10、x1x2），此时函数y=ax2+bx+c（a0）的图像与x轴有两个交点，即（x1，0）、（x2，0），如图2-8（a）所示，则不等式ax2+bx+c0的解集为（-，x1）（x2，+）;不等式ax2+bx+c0的解集为（x1，x2）.第三节 一元二次不等式及解法学习提示学习提示第三节 一元二次不等式及解法（）当方程ax2+bx+c=0的判别式=b2-4ac0时，方程没有实数根，此时函数y=ax2+bx+c（a0）的图像与x轴没有交点，如图2-8（b)所示，则不等式ax2+bx+c0的解集为实数集R，不等式ax2+bx+c0的解集为.图 2-8第三节 一元二次不等式及解法（）当方程ax2+bx+c

11、=0的判别式=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根x0，此时函数y=ax2+bx+c（a0）的图像与x轴只有一个交点，即（x0，0），如图2-8(c)所示，则不等式ax2+bx+c0的解集为（-，x0）（x0，+），不等式ax2+bx+c0的解集为.第三节 一元二次不等式及解法不等式x2+x-20的解集是什么？不等式x2+x-20的解集是什么？想一想第三节 一元二次不等式及解法【例例1 1】第三节 一元二次不等式及解法不等式-x2-3x-50的解集与不等式x2+3x+50的解集有什么区别？思考与讨论思考与讨论第三节 一元二次不等式及解法 课课堂练习练习1.解下列一元二次不等式.（1）x2

12、-x0；（2）x2-3x+20.2.当x为何值时，6+x-x2有意义.第四节 分式不等式和绝对值不等式 分式不等式 一、第四节 分式不等式和绝对值不等式【例例1 1】第四节 分式不等式和绝对值不等式 课课堂练习练习第四节 分式不等式和绝对值不等式 绝对值不等式 二、在初中我们已经学过，对任意实数x，都有x0，且有x的几何意义是在数轴上表示实数x的点到原点的距离.绝对值符号内含有未知数的不等式叫作含绝对值的不等式.第四节 分式不等式和绝对值不等式x xa a或或x xa a（a a0 0）型不等式）型不等式1.根据绝对值的几何意义，不等式x1表示的是数轴上到原点的距离大于1的所有点的集合，在数轴

13、上表示如图2-9（a）所示；x1表示的是数轴上到原点的距离小于1的所有点的集合，在数轴上表示如图2-9（b）所示.图 2-9第四节 分式不等式和绝对值不等式由图2-9（a）可看出，不等式x1的解集为（-，-1）（1，+）；由图2-9（b）可看出，不等式x1的解集为（-1，1）.一般地，不等式xa（a0）的解集为（-，-a）（a，+），不等式xa（a0）的解集为（-a，a）.第四节 分式不等式和绝对值不等式【例例3 3】第四节 分式不等式和绝对值不等式 课课堂练习练习解下列不等式：（1）1-x0；（2）3x-20.第四节 分式不等式和绝对值不等式ax+bax+bc c或或ax+bax+bc c（

14、c c0 0）型不等式）型不等式2.对于ax+bc或ax+bc（c0）型不等式可以转化为xa或xa（a0）型来求解.例如，解不等式2x+11，可先设2x+1=m，则不等式2x+11可化为m1，可解得-1m1，即-12x+11，根据不等式的性质可得-1x1；（2）2|1-x|.第五节 线性规划的有关概念线性规划是运筹学中研究最早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支.它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效益是人们不可缺少的要求，而提高经济效益一般通过两种途径：一是技术方面的改进，如改善生产工艺、使用新设备和新型原材料等；二是生产组

15、织与计划的改进，即合理分配人力、物力、财力等资源.第五节 线性规划的有关概念引例1 某工厂需要生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要A原料和B原料.已知每一件甲产品需要A原料10 kg和B原料15 kg，每一件乙产品需要A原料12 kg和B原料 8 kg.现在该工厂共有A原料300 kg和B原料250 kg，见表2-2.甲产品获利200元，乙产品获利150元，则该工厂生产甲、乙产品各多少件时才能保证利润最大？第五节 线性规划的有关概念分析 设该工厂生产甲产品x件，乙产品y件，可获利润为Z元，则Z=200 x+150y.（1）由于生产一件甲产品需要A原料10 kg，生产一件乙产品需要A原料12 k

16、g，而该工厂共有A原料 300 kg，这是一个限制产量的条件，因此在确定甲、乙产品的产量时，必须考虑A原料的用量不能超过该工厂的总量，即可用不等式表示为10 x+12y300.（2）第五节 线性规划的有关概念同理，由于生产一件甲产品需要B原料15 kg，生产一件乙产品需要B原料8 kg，而该工厂共有B原料250 kg，可以用不等式表示为15x+8y250.（3）又由于产品的产量x,y不可能为负数，且都是产品的件数，所以x0,y0，且x,y都为整数.（4）第五节 线性规划的有关概念因此，问题变为怎样选择x,y，在满足上述一系列限制条件下，使得利润Z取得最大值，即满足10 x+12y300,15x

17、+8y250,x0,y0,且x,y为整数 （5）的x,y，使得利润Z=200 x+150y取得最大值.这个最大值通常记为max Z=200 x+150y.第五节 线性规划的有关概念引例1中，甲、乙产品的生产量x,y称为决策变量.式（5）中的几个不等式称为约束条件.由于这组约束条件都是关于x,y的一次不等式，所以又称为线性约束条件.Z关于x,y的函数式（1）称为目标函数.一般地，制约变量取值的关于x,y的二元一次不等式组称为线性约束条件.函数式（1）就是引例1中的目标函数，不等式组（5）就是引例1的线性约束条件，则引例1就是求目标函数Z=200 x+150y在线性约束条件（5）下的最大值问题.满

18、足线性约束条件（5）的变量x,y的值有许多组.例如，x=1,y=2 和x=3,y=5 就是两组解.第五节 线性规划的有关概念学习提示学习提示第五节 线性规划的有关概念第五节 线性规划的有关概念引例2 某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A,B,C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数见表2-3.第五节 线性规划的有关概念某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块，问各截这两种钢板多少张才能既满足顾客的要求又使得所用的钢板张数最少.分析 设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板的总张数为Z，则 Z=x+y.因为某顾客需要A规格的成品为15块，这是一个限制条件，

19、在确定两种钢板的用量时，要考虑满足顾客的要求，即可用不等式表示为 2x+y15.同理，对于B规格和C规格可以得到以下的不等式 x+2y18，x+3y27.第五节 线性规划的有关概念第五节 线性规划的有关概念学习提示学习提示第五节 线性规划的有关概念从引例1和引例2可以看到，虽然这两个问题的背景不同，但是具有一个共同的特点：求满足线性约束条件的变量值，使目标函数达到最大值或最小值.一般地，求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解称为可行解.由所有可行解构成的集合称为可行域.在可行域中，能使目标函数取得最大值或最小值的解称为最优解.在实际生产中，有

20、许多问题都可以归结为线性规划问题.解决上述两个实际问题的过程就是建立数学模型的过程.在用线性规划方法解决任何实际问题时，首先必须建立数学模型.第五节 线性规划的有关概念【例例1 1】第五节 线性规划的有关概念解 设x,y分别表示在计划期内甲、乙产品的产量.因为设备的有效台时是8，这是一个限制产量的条件，所以在确定甲、乙产品的产量时，要考虑不要超过设备的有效台时数，即可用不等式表示为x+2y8.同理，因原材料A,B的限量，可以得到以下不等式4x16，4y12.第五节 线性规划的有关概念第五节 线性规划的有关概念【例例2 2】第五节 线性规划的有关概念解 设每天应安排生产A,B,C三种产品分别为x

21、1,x2,x3个单位.分别考虑单位产品钢消耗量与橡胶消耗量的限制以及x1,x2,x3的非负性，可得约束条件为求目标函数的最大值max Z=40 x1+45x2+24x3.第六节 二元线性规划问题的解法建立了线性规划问题的数学模型后，下一步是如何求出变量的值，使它们既满足线性约束条件，又能使目标函数达到最大值或最小值，即如何找出线性规划问题的最优解.第六节 二元线性规划问题的解法 二元一次不等式（组）表示的平面区域 一、一般地，把含有两个未知数且未知数的次数都是一次的不等式称为二元一次不等式，使不等式成立的未知数的值称为它的解.由平面解析几何知识可以知道Ax+By+C=0（A,B不同时为0）在平

22、面直角坐标系中表示一条直线，这条直线将一个平面划分为两个半平面.现考察Ax+By+C0或Ax+By+C0的几何意义.第六节 二元线性规划问题的解法试画出不等式x2表示的平面区域.想一想第六节 二元线性规划问题的解法【例例1 1】第六节 二元线性规划问题的解法图 2-10第六节 二元线性规划问题的解法【例例2 2】图 2-11第六节 二元线性规划问题的解法不等式2x+y600与不等式2x+y600表示的平面区域有何不同？思考与讨论思考与讨论第六节 二元线性规划问题的解法 图解法 二、只有两个决策变量的线性规划问题称为二元线性规划问题.下面通过实例来介绍如何用图解法解二元线性规划问题.第六节 二元

23、线性规划问题的解法【例例4 4】第六节 二元线性规划问题的解法图2-13第六节 二元线性规划问题的解法图2-13中阴影区域（包括边界）上任何一点的坐标都能同时满足四个不等式；反之，阴影区域外的任何一点，其坐标都不能同时满足这四个不等式.因此，阴影区域（包括边界）内每一点的坐标都是这个线性规划问题的可行解，所有可行解的全体就构成了这一线性规划问题的可行域.下面在可行域中找一个使目标函数Z=3x+2y取得最大值的最优解.第六节 二元线性规划问题的解法观察目标函数Z的取值.不妨令Z=0，则得到一条直线3x+2y=0，这条直线上任何一点都能使得目标函数Z取同一个常数值（此时Z=0）.对于每一个固定的Z

24、值，使目标函数值等于Z的点构成的直线称为目标函数的等值线.当Z变动时，得到一组直线，这些直线构成了一组互相平行的直线族.让等值线沿着目标函数值增大的方向移动，直到等值线与可行域有交点的最后位置，此时的交点（一个或多个）即为线性规划问题的最优解.由图2-13可见，经过点A的等值线符合这一要求，即点A为最优解.第六节 二元线性规划问题的解法综上所述，利用图解法解二元线性规划问题的步骤是：（1）确定决策变量，在平面上建立直角坐标系；（2）由线性约束条件，在平面直角坐标系中画出可行域；（3）过原点画出目标函数的0等值线，即目标函数值等于0的直线；（4）将目标函数的0等值线平行移动，观察确定可行域最优解

25、的位置，一般最优解在可行区域的某个边界点取得；（5）将最优解的坐标代入目标函数得到目标函数的最值.第六节 二元线性规划问题的解法对一个线性规划问题建立数学模型后，就面临着如何求解的问题.在线性规划问题仅含有两个决策变量的情况下，只介绍图解法，因为图解法简单直观，由此便可以了解线性规划问题求解的基本原理.第六节 二元线性规划问题的解法 课课堂练习练习用图解法求解第五节中的例1.第六节 二元线性规划问题的解法【例例6 6】表格法 三、第六节 二元线性规划问题的解法（1）先把标准型中的约束条件方程转换成表格2-6的形式.第六节 二元线性规划问题的解法表格中的列数为变量的个数加1，行数为方程的个数加1

26、.（2）从约束方程中可以看出，当x1=0,x2=0时，有x3=10,x4=8,x5=7.显然，这是一组可行解，称为初始解组.将其中三个取非0值的变量x3,x4,x5列成一列，对应地加在表2-6的最左侧，然后再在所得表的左侧添加一列对应于初始解组变量的目标函数系数，最后在表的上侧添加一行对应于各变量的目标函数系数，得到表2-7.第六节 二元线性规划问题的解法其中，初始解组中的变量必须满足对应行的约束方程中系数为1，而同列中其他系数为0（如果约束方程中不满足这一要求，可以通过对约束方程做加减消元法得到）.第六节 二元线性规划问题的解法（3）在表2-7的基础上，增加一行检验数行j和一列比值列i得到表

27、2-8.第六节 二元线性规划问题的解法下面计算检验数行j和比值列i的值，并将相应的值填入表2-8中.根据检验数计算公式j=cjmi=1ciaij来计算，即为xj所在列的目标函数系数行中的cj值减去该列系数与第一列初始解组的目标函数系数的对应乘积和.例如：1=4(20+10+00)=4，2=3(10+10+10)=3，3=0(10+00+00)=0，4=0(00+10+00)=0，5=0(00+00+10)=0.第六节 二元线性规划问题的解法得表2-9，表2-9称为初始表格.第六节 二元线性规划问题的解法显然，前面所得到的初始解组并不是最优解，所以，必须要对初始解组中的变量进行替换来求出最优解.

28、通常按下述方法进行变量的替换.根据上面所选的第k列第i行（如表2-9中x1所在的列和x3所在的行，将两者的交叉点用（）表示），对初始解组做调整，将变量xk换入，替代第i行中的初始变量（即表中换入x1，换出x3）.根据表格法的要求，必须同时将换入变量xk在（）中的系数通过加减消元法化为1，且同列其他系数为0，而初始解组中其他未换出变量所在列的系数不变，通常可用加减消元法来求得.第六节 二元线性规划问题的解法下面具体来说说表格的转换，见表2-10.第六节 二元线性规划问题的解法表2-10中，行除以2得行，行减去行得，行不变，于是得到表2-11.第六节 二元线性规划问题的解法再依次填上检验数行j和比

29、值列i以及其他值，得到表2-12.第六节 二元线性规划问题的解法如果检验数全部为非正数，那么所得的解就是最优解；否则，继续按上面的方法修改可行解，直到得到最优解.显然，在表2-12中变量x2换入，变量x4换出，得到表2-13.第六节 二元线性规划问题的解法这时，所有检验数都为非正数，故可得可行解x1=2,x2=6,x3=0,x4=0,x5=1，这就是最优解.删去松弛变量，得原线性规划问题的最优解为x1=2,x2=6，最大值Z=26.通过例6，可以归纳出一般用表格法解线性规划问题的步骤：第六节 二元线性规划问题的解法阅读材料 数学家夏道行 夏道行，国际知名数学家，江苏泰州人，1950年毕业于山东

30、大学数学系，1952年浙江大学数学系研究生毕业，1978年，担任复旦大学数学研究所副所长、教授，1980年当选为中国科学院院士（学部委员）.他长期从事数理研究，专于函数论、泛函分析与数学物理，在算子理论、线性拓扑代数理论及广义函数理论等研究领域都取得了突出成就，并独创“夏道行函数”.他在泛函积分和不变测度论方面的研究成果被国际数学界称为“夏氏不等式”.阅读材料夏教授的学术著作有很多，他著的无限维空间上测度和积分论已经被译成英文出版，在国外有较大的影响；在算子理论研究方面，夏教授的关于非正常算子一文是国际上这个研究方向的开创性论文之一，十多年来经常被国外学者的论文引用，他的这个研究结果已被收入美

31、国数学家普特拉姆的希尔柏脱空间算子交换性质一文，其专著线性算子谱理论已由科学出版社出版；在线性拓扑代数理论研究方面，夏教授系统地建立了半赋范代数和局部有界代数的理论，其研究结果被收入苏联数学家奈玛依克著的赋荡理论一书中；阅读材料义函数论研究方面，夏教授的关于正定广义函数的研究成果已被苏联科学院院士盖尔芳特收入他和别人合作的广义函数论第四卷中；此外，夏教授与严绍崇合著的实变函数论和泛函分析等两本为高校推荐教材.夏教授还发表数学论文七十余篇，国内外有百余种著作、论文曾引用过.2008年5月20日，夏教授在山东大学做的关于数学理论的讲座中曾说过，研究数学对世界都有很大的影响，因为数学是很多研究的基础，这对大家学习数学产生了潜移默化的影响.