数学建模与试验课件.ppt

1、 欢迎选修欢迎选修 数学建模与数学实验数学建模与数学实验 2012 09.012012 09.01参考教材参考教材 数学建模与实验数学建模与实验 （科学出版社（科学出版社20082008）主讲人主讲人 陈陈 恩恩 水水 （东南大学数学系）（东南大学数学系）第第1 1讲讲 综述综述课程介绍课程介绍东南大学数学建模课程最早开设于东南大学数学建模课程最早开设于19851985年年20072007年被评为国家精品课程年被评为国家精品课程选修院系有：选修院系有：机械学院机械学院 无线电工程学院无线电工程学院 土木工程学院土木工程学院 电子工程学院电子工程学院 数学系数学系 生物医学工程学院生物医学工程学

2、院 管理学院管理学院 交通学院交通学院 仪器科学工程学院仪器科学工程学院 基础医学院等（必选，先选基础医学院等（必选，先选 500-1300500-1300人）人）第第1 1讲讲 综述综述课程要求课程要求 1 1 高等数学知识高等数学知识 2 2 线性代数知识线性代数知识 3 3 初步的数理统计知识初步的数理统计知识 4 4 初步的优化知识初步的优化知识 5 matlab5 matlab，lingolingo等数学软件的初步应用等数学软件的初步应用 6 6 初步的编程能力初步的编程能力第第1 1讲讲 综述综述课程内容课程内容1 1 初、高等数学知识的应用初、高等数学知识的应用2 2 代数知识的

3、应用代数知识的应用3 3 微分、差分方程知识的应用微分、差分方程知识的应用4 4 简单的数据处理简单的数据处理5 5 优化知识应用优化知识应用6 6 数理统计知识的应用数理统计知识的应用第第1 1讲讲 综述综述课程意义课程意义了解数学的本质了解数学的本质许多课程与数学模型密不可分许多课程与数学模型密不可分用简捷的数学方法解决实际问题用简捷的数学方法解决实际问题。培养解决实际问题的综合能力培养解决实际问题的综合能力熟悉数学知识与方法的应用熟悉数学知识与方法的应用借助数学的桥梁，应用计算机等现代技术借助数学的桥梁，应用计算机等现代技术第第1 1讲讲 综述综述目标与定位目标与定位架起数学与实际问题的

4、桥梁，学习初步的用架起数学与实际问题的桥梁，学习初步的用数学解决实际问题的一般步骤与方法数学解决实际问题的一般步骤与方法体验创造性地解决问题的基本过程体验创造性地解决问题的基本过程学习如何分析问题与研究问题学习如何分析问题与研究问题培养团体协作精神培养团体协作精神熟悉计算机技术解决数学问题的基本方法熟悉计算机技术解决数学问题的基本方法一些例子一些例子 某人早某人早8 8时从山下旅店出发沿一条路径时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午上山，下午5 5时到达山顶并留宿，次日时到达山顶并留宿，次日早早8 8时沿同一路径下山，下午时沿同一路径下山，下午5 5时回到时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经旅

5、店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的同一地点，为什么？过途中的同一地点，为什么？（数学让问题更具条理性）（数学让问题更具条理性）假如你站在崖顶且身上带着一只假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度。听回声的方法来估计山崖的高度。（数学在实际问题中的简单应用数学在实际问题中的简单应用）可以通过建模处理许多领域的问题：可以通过建模处理许多领域的问题：饮酒驾车问题饮酒驾车问题 投入产出分析投入产出分析生产调度与管理生产调度与管理 分类问题分类问题 三维图象重建三维图象重建

6、 设备的预防性维修设备的预防性维修 产品参数设计产品参数设计 雪道优化设计雪道优化设计 交通流分析交通流分析 物理问题的简化物理问题的简化最优的彩票方案最优的彩票方案 在线租赁服务在线租赁服务优化的排课问题优化的排课问题 餐厅窗口服务餐厅窗口服务游戏的奖项设置游戏的奖项设置 运输与调度运输与调度卫星测控卫星测控 公铁查询系统公铁查询系统数学模型概念数学模型概念l原型原型 指人们在现实世界里所关心、指人们在现实世界里所关心、研究或从事生产管理的实际对研究或从事生产管理的实际对象。象。模型模型 为了某个特定的目的而将原型的为了某个特定的目的而将原型的某些信息精简压缩某些信息精简压缩,加以提炼而构造

7、加以提炼而构造的原型的替代物。的原型的替代物。模型不是原型的原封不动的复制模型不是原型的原封不动的复制,它实际上只它实际上只是原型某些方面和某些层次的近似表示。是原型某些方面和某些层次的近似表示。目的不同，建立的模型也不同目的不同，建立的模型也不同同一个原型同一个原型,为了不同的目的为了不同的目的,可以可以有许多不同的模型有许多不同的模型,每个模型的特征每个模型的特征是由构造模型的目的决定的。是由构造模型的目的决定的。数学模型数学模型 用数学的语言和工具用数学的语言和工具,对部分现实世界的信息对部分现实世界的信息(现现象数据图表等象数据图表等)加以翻译、归纳所形成的公式、加以翻译、归纳所形成的

8、公式、图表、计算机语言等。图表、计算机语言等。数学模型经过演绎、求解以及推断数学模型经过演绎、求解以及推断,给出数学上给出数学上的分析、预报的分析、预报,再经过翻译和解释再经过翻译和解释,回到现实世界回到现实世界中。最后中。最后,这些推论或结果必须经过现实的检验这些推论或结果必须经过现实的检验,完成实践完成实践理论理论实践的循环。实践的循环。与数学模型相关的技术 根据实际系统或过程的特征，按照一定的数根据实际系统或过程的特征，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行状态，学规律用计算机程序语言模拟实际运行状态，并依据大量的模拟结果对系统或过程进行定量并依据大量的模拟结果对系统或过程进行定

9、量分析。分析。它是解决实际问题的有效手段它是解决实际问题的有效手段。数学模拟数学模拟 数学实验数学实验1 1 利用计算机技术，选择合适的数学软件利用计算机技术，选择合适的数学软件和算法将数学问题在计算机上加以实现和算法将数学问题在计算机上加以实现2 2 利用计算机技术，寻找问题的一般性规利用计算机技术，寻找问题的一般性规律，进一步探索问题律，进一步探索问题本课程涉及的内容本课程涉及的内容数学建模数学建模数学实验数学实验不涉及数学模拟或计算机模拟不涉及数学模拟或计算机模拟建立数学模型的一般方法机理分析 指人们根据客观事物的特征指人们根据客观事物的特征,分析分析其内部机理其内部机理,弄清其因果关系

10、弄清其因果关系,并在适并在适当的简化假设下当的简化假设下,利用合理的数学工利用合理的数学工具得到描述事物特征的数学模型。具得到描述事物特征的数学模型。统计分析指人们一时得不到事物的机理特征指人们一时得不到事物的机理特征,便便通过测试得到一串数据通过测试得到一串数据,再利用数理统再利用数理统计等知识计等知识,对这些数据进行处理对这些数据进行处理,从而从而得到最终的数学模型。得到最终的数学模型。建立数学模型的经过模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用几个过程几个过程了解问题的实际背景了解问题的实际背景明确建模的目的明确建模的目的搜集建模必需的各种信息搜集建模必需的各种信息 初步确

11、定用哪一类模型初步确定用哪一类模型l模型准备模型准备过程是非常必要的模型准备过程是非常必要的需要查阅大量的资料需要查阅大量的资料需要请教专家需要请教专家要求自己应具有相当的实际经验要求自己应具有相当的实际经验 模型假设模型假设 一般无法将实际对象的所有影响因素都考虑一般无法将实际对象的所有影响因素都考虑到模型中到模型中,这就需要对问题进行必的简化。这就需要对问题进行必的简化。通过假设通过假设,精确地描述各种影响因素的关系。精确地描述各种影响因素的关系。假设包含两方面的内容有选择地忽略一些影响因素有选择地忽略一些影响因素 （i i）该变量与其它变量相比）该变量与其它变量相比,对实际问题对实际问题

12、行为特征的影响较小；行为特征的影响较小；（iiii）对于那些各种条件下）对于那些各种条件下,对实际问题行对实际问题行为特征的影响虽然比较大为特征的影响虽然比较大,但是影响程度的变但是影响程度的变化基本上是不变的。化基本上是不变的。(2)2)确定所选变量的关系确定所选变量的关系 有些变量间的关系是明确的有些变量间的关系是明确的,我们勿我们勿需对此作假设或简化。需对此作假设或简化。有些变量间的关系是模糊的有些变量间的关系是模糊的,为明确为明确其关系其关系,可以对它再作进一步的假设或可以对它再作进一步的假设或简化简化,甚至为了研究这些变量的关系甚至为了研究这些变量的关系,我们还可以建立子模型。我们还

13、可以建立子模型。l建立模型建立模型l根据所作的假设利用适当的数学工具根据所作的假设利用适当的数学工具,构成构成实际问题的数学描述。实际问题的数学描述。l建模应遵循一个原则建模应遵循一个原则:尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具,以便更多的人了以便更多的人了解和使用。解和使用。模型的求解与分析模型的求解与分析 l模型的求解与分析模型的求解与分析l模型的求解与分析指的是利用数学方法给出模型的求解与分析指的是利用数学方法给出模型的结果模型的结果,或者是利用数学语言描述模型所或者是利用数学语言描述模型所揭示的含义。揭示的含义。l模型分析模型分析 对模型结果进行数学上的分析对模型结果进行数学上的

14、分析,给出定量或定性给出定量或定性的结果。给出数学上的预报、数学上的最优决策与的结果。给出数学上的预报、数学上的最优决策与控制方法等。控制方法等。对结果进行误差分析、灵敏度分析及稳定性分对结果进行误差分析、灵敏度分析及稳定性分析是模型分析中必不可少的工作。析是模型分析中必不可少的工作。l模型应用模型应用 应用建立的模型解决实际问题，这是建模应用建立的模型解决实际问题，这是建模的真正目的。好的模型有时可以产生巨大的真正目的。好的模型有时可以产生巨大的模型。的模型。l模型检验模型检验 经模型检验证明模型是可靠的或适用的后经模型检验证明模型是可靠的或适用的后,模型即可以应用实际问题模型即可以应用实际

15、问题,用于评价、预测用于评价、预测或指导工程实践。或指导工程实践。数学建模过程必须科学系统数学建模过程必须科学系统 对研究对象做一些经常性的观察对研究对象做一些经常性的观察,避免掌握的避免掌握的信息偶然化信息偶然化,对建模产生误导；对建模产生误导；将研究的现实对象转化为数学语言时将研究的现实对象转化为数学语言时,要做一要做一些合乎实际的假设些合乎实际的假设,假设应力求简单且抓住研假设应力求简单且抓住研究对象的主要特征；究对象的主要特征；选用一套合理的检验假设的测试方法；选用一套合理的检验假设的测试方法；通过测试获得足够多的用于建模的数据通过测试获得足够多的用于建模的数据。1.21.2数学模型的

16、特点数学模型的特点l模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性l建模过程的渐进性建模过程的渐进性l模型的稳定性模型的稳定性l模型的非预测性模型的非预测性 l建模的条理性建模的条理性 l建模的技艺性建模的技艺性 l模型的局陷性模型的局陷性 l模型的可转移性模型的可转移性1.31.3数学模型的分类数学模型的分类没有统一的分类方法，常见的有：没有统一的分类方法，常见的有：(1)(1)按应用领域或所属学科分，如城镇规划模按应用领域或所属学科分，如城镇规划模型交通模型数量经济学模型生态学模型型交通模型数量经济学模型生态学模型水资源模型等。水资源模型等。(2)(2)按数学方法分按数学方法分,如初等数学模型几

17、何模型如初等数学模型几何模型微分方程模型图论模型线性规划模型微分方程模型图论模型线性规划模型对策论模型等。本讲义采用的就是此类分法。对策论模型等。本讲义采用的就是此类分法。（3 3）按表现特征分，比如说确定性模型和按表现特征分，比如说确定性模型和随机性模型静态模型和动态模型离散随机性模型静态模型和动态模型离散模型和连续性模型线性模型和非线性模模型和连续性模型线性模型和非线性模型等。型等。(4)(4)按目的分按目的分,有描述模型分析模型预报有描述模型分析模型预报模型优化模型决策模型控制模型等。模型优化模型决策模型控制模型等。(5)(5)按了解程度分按了解程度分,有白箱模型灰箱模型有白箱模型灰箱模

18、型黑箱模型。黑箱模型。1.4建模示例建模示例一辆汽车在拐弯时急刹车，一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边的沟里（见图结果冲到路边的沟里（见图1.11.1）。交警立即赶到事故现）。交警立即赶到事故现场。司机申辩说，当他进入场。司机申辩说，当他进入弯道时刹车已失灵，他还一弯道时刹车已失灵，他还一口咬定，进入弯道时其车速口咬定，进入弯道时其车速为为4040英里英里/小时小时(即该车在这类公路上的速度上限，相当即该车在这类公路上的速度上限，相当于于17.917.9米米/秒），交警验车时证实该车的制动器在事秒），交警验车时证实该车的制动器在事故发生时的确失灵，然而司机所说的车速是否真实呢？故发生时的确失

19、灵，然而司机所说的车速是否真实呢？例例1 交通事故调查交通事故调查YXO交警在现场获取的相关数据交警在现场获取的相关数据:X X指刹车痕迹方向；指刹车痕迹方向；Y Y指垂直指垂直X X轴方向。轴方向。经勘察还发现，该车并没有偏离它的行驶转弯方向，经勘察还发现，该车并没有偏离它的行驶转弯方向，也就是说车头一直指向转弯曲线的切线方向。也就是说车头一直指向转弯曲线的切线方向。x0369121516.64y01.192.152.823.283.533.55x182124273033.27y3.543.312.892.221.290表表1.11.1刹车痕迹的测量值刹车痕迹的测量值(米米)模型假设模型假设

20、（1）该车的重心沿一个半径为该车的重心沿一个半径为r的园做圆周的园做圆周运动（根据交通学原理，现有公路的弯道通运动（根据交通学原理，现有公路的弯道通常是按圆弧段设计的常是按圆弧段设计的,需要检验）。需要检验）。（2）汽车速度）汽车速度v是常数（因刹车失灵，所以是常数（因刹车失灵，所以刹车不起作用）。刹车不起作用）。（3）设摩擦力）设摩擦力f作用在汽车速度的法线上，作用在汽车速度的法线上，摩擦系数为常数摩擦系数为常数k，汽车质量为，汽车质量为m。模型建立模型建立根据牛顿运动学定律：根据牛顿运动学定律：模型求解模型求解 关于园半径的估计关于园半径的估计:假设已知园的弦长为假设已知园的弦长为c c,

21、弓形高度为弓形高度为h h,由由勾股定理得勾股定理得,由表由表1.11.1得得 c c33.27m,33.27m,h h3.55m,3.55m,r r40.75m.40.75m.通常可以根据路面与汽车轮胎的情况测出摩擦通常可以根据路面与汽车轮胎的情况测出摩擦系数的值系数的值,也可以通过交通部门获得也可以通过交通部门获得,本例取本例取kgkg=8.175m/s=8.175m/s。v v=18.2m/s=18.2m/s。vkgr2/fkmgmvr 模型解释模型解释 这一结果比司机所说的车速这一结果比司机所说的车速(17.9m/s)(17.9m/s)略大略大一些一些,但基本上可以认为司机所说的结果是

22、可但基本上可以认为司机所说的结果是可以接受的。以接受的。思考与练习思考与练习（1 1）某甲早晨）某甲早晨8 8时从山下旅店出发沿一时从山下旅店出发沿一条小路上山，下午条小路上山，下午5 5时到达山顶并留宿。时到达山顶并留宿。次日早晨次日早晨8 8时从山顶沿同一条小路下山，时从山顶沿同一条小路下山，下午下午5 5时回到旅店。某乙说，甲必在两时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过小路的同一地点，天中的同一时刻经过小路的同一地点，为什么？为什么？思考与练习思考与练习（2 2）甲乙两站之间有电车相通，每隔）甲乙两站之间有电车相通，每隔1010分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时分钟甲乙两站互发一趟

23、车，但发车时间不一样。甲乙之间有中间站丙，某人间不一样。甲乙之间有中间站丙，某人每天在随机的时间到达丙站，并搭乘最每天在随机的时间到达丙站，并搭乘最先到达的那趟车，结果发现先到达的那趟车，结果发现100100天中约天中约有有9090天到达甲站。问开往甲乙两站的电天到达甲站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？车经过丙站的时刻表是如何安排的？（3 3）某人家住）某人家住T T市，在他乡工作，每天下班市，在他乡工作，每天下班后乘火车与后乘火车与6 6时抵达时抵达T T市火车站，他的妻子驾市火车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。某天他提前搭乘早车准时到车站接他回家。某天他提前搭乘早一

24、班火车与一班火车与5 5时半抵达火车站，并随即步行时半抵达火车站，并随即步行回家，他的妻子象往常一样驾车前来，在半回家，他的妻子象往常一样驾车前来，在半路上遇到他，接回家时发现比往常提前路上遇到他，接回家时发现比往常提前1010分分钟，问他步行了多长时间？钟，问他步行了多长时间？（4 4）一男孩和一女孩分别在离家）一男孩和一女孩分别在离家2 2公里和公里和1 1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后以放学后以4 4公里公里/小时和小时和2 2公里公里/小时的速度步小时的速度步行回家，一小狗以行回家，一小狗以6 6公里公里/小时的速度由男孩小时的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程？返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处们之间，问当他们到达学校时小狗在何处?