数学建模-线性回归分析课件.pptx
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- 数学 建模 线性 回归 分析 课件
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1、线性回归分析线性回归分析2022-8-3zhaoswallow2一、引言一、引言 2004年全国数模竞赛的年全国数模竞赛的B题题 “电力市场的电力市场的输电阻塞管理输电阻塞管理”第一个问题:第一个问题:某电网有某电网有8台发电机组,台发电机组,6条主要线路,表条主要线路,表1和表和表2中的方案中的方案0给出了各机组的当前出力和给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值,方案各线路上对应的有功潮流值,方案132给出了给出了围绕方案围绕方案0的一些实验数据,试用这些数据确的一些实验数据,试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。似
2、表达式。2022-8-3zhaoswallow3表1 各机组出力方案(单位:兆瓦,记作MW)方案方案机组机组123 4 5 6780120731808012512581.1901133.02731808012512581.1902129.63731808012512581.1903158.77731808012512581.1904145.32731808012512581.190512078.5961808012512581.190612075.451808012512581.190712090.4871808012512581.190812083.8481808012512581.1909
3、12073231.398012512581.1901012073198.488012512581.1901112073212.648012512581.1901212073190.558012512581.190131207318075.85712512581.190141207318065.95812512581.190151207318087.25812512581.190161207318097.82412512581.190171207318080150.7112581.1902022-8-3zhaoswallow4181207318080141.5812581.19019120731
4、8080132.3712581.190201207318080156.9312581.190211207318080125138.8881.190221207318080125131.2181.190231207318080125141.7181.190241207318080125149.2981.19025120731808012512560.5829026120731808012512570.9629027120731808012512564.8549028120731808012512575.5299029120731808012512581.1104.8430120731808012
5、512581.1111.2231120731808012512581.198.09232120731808012512581.1120.442022-8-3zhaoswallow5表2 各线路的潮流值(各方案与表1相对应,单位:MW)方案方案线路线路1234560164.78140.87-144.25119.09135.44157.691165.81140.13-145.14118.63135.37160.762165.51140.25-144.92118.7135.33159.983167.93138.71-146.91117.72135.41166.814166.79139.45-145.
6、92118.13135.41163.645164.94141.5-143.84118.43136.72157.226164.8141.13-144.07118.82136.02157.57165.59143.03-143.16117.24139.66156.598165.21142.28-143.49117.96137.98156.969167.43140.82-152.26129.58132.04153.610165.71140.82-147.08122.85134.21156.2311166.45140.82-149.33125.75133.28155.0912165.23140.85-1
7、45.82121.16134.75156.7713164.23140.73-144.18119.12135.57157.214163.04140.34-144.03119.31135.97156.3115165.54141.1-144.32118.84135.06158.262022-8-3zhaoswallow624167.69138.07-144.14119.19137.11157.6525162.21141.21-144.13116.03135.5154.2626163.54141-144.16117.56135.44155.9327162.7141.14-144.21116.74135
8、.4154.8828164.06140.94-144.18118.24135.4156.6829164.66142.27-147.2120.21135.28157.6530164.7142.94-148.45120.68135.16157.6331164.67141.56-145.88119.68135.29157.6132164.69143.84-150.34121.34135.12157.6416166.88141.4-144.34118.67134.67159.2817164.07143.03-140.97118.75133.75158.8318164.27142.29-142.1511
9、8.85134.27158.3719164.57141.44-143.3119134.88158.0120163.89143.61-140.25118.64133.28159.1221166.35139.29-144.2119.1136.33157.5922165.54140.14-144.19119.09135.81157.6723166.75138.95-144.17119.15136.55157.592022-8-3zhaoswallow7 仔细分析题目,可以发现,该问题就是要找仔细分析题目,可以发现,该问题就是要找出出各线路上有功潮流与各线路上有功潮流与8 8台发电机出力的函数关台发电
10、机出力的函数关系系,这在数学上是一个函数拟合问题。,这在数学上是一个函数拟合问题。对函数拟合,可以采用线性函数,也可以采对函数拟合,可以采用线性函数,也可以采用非线性函数,比如多项式函数,三角函数,指用非线性函数,比如多项式函数,三角函数,指数函数等等。在给出具体问题的具体数据时,首数函数等等。在给出具体问题的具体数据时,首先想到的还是最简单的方法下手,采用最简单的先想到的还是最简单的方法下手,采用最简单的函数去拟合,也就是线性函数来表达。函数去拟合,也就是线性函数来表达。1、模型的分析2022-8-3zhaoswallow8 由电网的拓扑结构,线路上的有功潮流由机由电网的拓扑结构,线路上的有
11、功潮流由机组出力决定。又根据功率的叠加原理,各线路组出力决定。又根据功率的叠加原理,各线路上有功潮流应为各发电机组出力的线性组合,上有功潮流应为各发电机组出力的线性组合,考虑对所有实验数据采用最小二乘法进行线性考虑对所有实验数据采用最小二乘法进行线性拟合,从而得到各线路有功潮流关于各发电机拟合,从而得到各线路有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。组出力的近似表达式。2022-8-3zhaoswallow92、模型的建立与求解、模型的建立与求解1266,l llL L设设 条条主主要要线线路路有有功功潮潮流流为为1288,x xxL L台台机机组组出出力力分分别别为为则则801,iiijjjl
12、aa x L L i=1,2,6 i=1,2,6ija其其中中,是是待待确确定定的的系系数数。2022-8-3zhaoswallow10 根据表根据表1 1和表和表2 2围绕方案围绕方案0 0的的1-321-32组实验数组实验数据,可以列出关于未知数的据,可以列出关于未知数的3232个方程的方程个方程的方程组,利用组,利用SASSAS或或MatlabMatlab编程求解方程组,得编程求解方程组,得2022-8-3zhaoswallow11还需要根据样本值运用假设检验来判断,还需要根据样本值运用假设检验来判断,以确定求得的回归方程是否有价值。以确定求得的回归方程是否有价值。18,ilxxL L为
13、为了了确确定定 和和之之间间是是否否有有线线性性关关系系,在许多国际国内数学建模竞赛中,都有可能用到回归分析。因此,我们介绍线性回归分析的基本原理,对模型好坏的评价指标,可线性化的回归分析,利用统计软件的实现等具体问题。2022-8-3zhaoswallow12二、回归分析方法二、回归分析方法 回归分析是研究一个或一组变量(回归分析是研究一个或一组变量(因变量,因变量,结果结果)与另一些变量()与另一些变量(自变量或回归变量,自变量或回归变量,原因原因)之间的依存关系。)之间的依存关系。在回归模型中,若变量之间的关系是线性关系,在回归模型中,若变量之间的关系是线性关系,称为称为线性回归模型线性
14、回归模型,否则,称为非线性回归模,否则,称为非线性回归模型。型。当自变量只有一个,称为当自变量只有一个,称为一元线性回归一元线性回归,如果如果自变量有多个,称为自变量有多个,称为多元线性回归多元线性回归。2022-8-3zhaoswallow131 1、一元线性回归、一元线性回归一元线性回归模型为一元线性回归模型为01yx (1 1)012,(0,)N其其中中x x是是自自变变量量,y y是是因因变变量量,为为未未知知的的待待定定常常数数,称称为为回回归归系系数数,是是随随机机误误差差,且且假假设设。1122(,),(,),(,)nnxyxyxy对对(x x,y y)的的一一组组观观察察值值0
15、11 2iiiyxin ,满足212,(0,)niN L:L:其其中中相相互互独独立立,且且。2022-8-3zhaoswallow140101,ii L L 如如何何根根据据样样本本观观察察值值(x x,y y)(i i=1 1,n n)来来求求的的估估计计值值?01220101,11()min()nniiiiiiyxyx 0101,通通常常采采用用最最小小二二乘乘估估计计来来做做,也也即即选选取取的的估估计计值值使使其其随随机机误误差差的的平平方方和和达达到到最最小小,即即一元线性回归2022-8-3zhaoswallow15201011(,)()niiiQyx 011001112()02
16、()0niiiniiiiQyxQyx x 则令正规方程组一元线性回归2022-8-3zhaoswallow16整理得整理得0111201111nniiiinnniiiiiiinxyxxx y (2 2)一元线性回归2022-8-3zhaoswallow17其中,其中,1111,nniiiixxyynn 0111122211()()()nniiiiiinniiiiyxx ynxyxxyyxnxxx (3 3)参数的最小二乘估计一元线性回归2022-8-3zhaoswallow18211(),()(),nnxxixyiiiixxLxxyy记记 L L则则有有如如下下结结论论01 yx而而 称作y关
17、于x的一元经验回归方程。22001(1)(,();xxxNnL:一元线性回归2022-8-3zhaoswallow19211201(2)(,);(3)(,)xxxxNLxCovL :0101,显显然然,分分别别是是,的的无无偏偏估估计计量量。一元线性回归2022-8-3zhaoswallow2001iiyx记记 2 下下面面来来求求的的估估计计。,iiiyyx 称称为为 的的残残差差2201211()()22nniiiiiiyyyxnn 令令 (4)4)22则则是是的的无无偏偏估估计计量量。一元线性回归2022-8-3zhaoswallow212 2、多元线性回归、多元线性回归模型为:模型为:
18、201,n L L是是未未知知参参数数。011nnyxx (5)5)2(0,),N 其其中中 12,12,(1,)(,)niiipipxxxyinx xxy LLLLLL设设()是是的的 个个观观察察值值,满满足足2022-8-3zhaoswallow221011121211201212222201122ppppnnnpnpnyxxxyxxxyxxx (6)6)2(0,),1,2,.iNin 1nL L其其中中,相相互互独独立立,且且多元线性回归2022-8-3zhaoswallow23令令01,p 12n 12,nyyYy 111212122212(1)11,1ppnnnpnpxxxxxxX
19、xxx 多元线性回归注意:矩阵X的第一列全是1.2022-8-3zhaoswallow24YX (7 7)则(6)可用矩阵表达为 选选取取 的的估估计计值值,使使得得随随机机误误差差的的平平方方和和达达到到最最小小,即即02011,1()()min()()=min()pTTniipipiYXYXYXYXyxx L LL L 多元线性回归2022-8-3zhaoswallow25TTX XX Y (8 8)对应正规方程组为 Xm18TX X 在在矩矩阵阵 的的秩秩等等于于,即即列列满满秩秩时时,可可逆逆,正正规规方方程程组组()有有唯唯一一解解,得得参参数数的的估估计计值值为为1()TTX XX
20、 Y 在X不是列满秩时,其解虽然不唯一,但对任意一组解都使得残差平方和最小。多元线性回归2022-8-3zhaoswallow26TXX X 即即使使 列列满满秩秩,但但是是行行列列值值很很小小,这这时时正正规规方方程程组组会会变变成成病病态态方方程程,虽虽然然能能求求解解参参数数的的估估计计值值,但但是是由由于于误误差差很很大大,无无实实用用价价值值,此此时时称称这这些些变变量量之之间间具具有有多多重重共共线线性性,即即X X的的列列向向量量之之间间有有近近似似的的线线性性关关系系。多元线性回归关于多重共线性的知识请参阅韩中庚数学建模方法及其应用。2022-8-3zhaoswallow27
21、当当 p=1 p=1 时,多元线性回归就变成一元线性回时,多元线性回归就变成一元线性回归分析了,这时参数的求解和误差的方差的无偏归分析了,这时参数的求解和误差的方差的无偏估计与一元得到的结论是一样的,类似地也有估计与一元得到的结论是一样的,类似地也有经经验回归平面方程验回归平面方程。22011211()()11nniiiiippiiyyyxxnpnp 2 类类似似地地,可可以以求求的的无无偏偏估估计计多元线性回归2022-8-3zhaoswallow283 3、回归模型的假设检验、回归模型的假设检验 在许多实际问题中,我们事先并不能断定在许多实际问题中,我们事先并不能断定因变量与自变量之间是否
22、确有线性关系,而前因变量与自变量之间是否确有线性关系,而前面建立的因变量与多个自变量间的线性关系只面建立的因变量与多个自变量间的线性关系只是一种假设,尽管这种假设常常不是没有根据是一种假设,尽管这种假设常常不是没有根据的。这就意味,所求得的经验回归方程是否有的。这就意味,所求得的经验回归方程是否有实用价值,需要经过假设检验才能确定。实用价值,需要经过假设检验才能确定。2022-8-3zhaoswallow29主要从以下几个方面进行检验:主要从以下几个方面进行检验:a、回归方程的检验;b、回归系数的检验;c、回归好坏程度的度量。2022-8-3zhaoswallow30a a、回归方程的检验、回
23、归方程的检验是否全为零。若全为零,则认为线性回归不是否全为零。若全为零,则认为线性回归不显著,否则认为线性回归显著。为此,在上显著,否则认为线性回归显著。为此,在上述模型中作假设述模型中作假设12,p 012112:0:,ppHH不不全全为为零零 要检验(6)的变量间有没有这种线性关系,只要检验p个系数2022-8-3zhaoswallow31考虑总偏差平方和,利用正规方程组,有考虑总偏差平方和,利用正规方程组,有2211()()nniiiiiiSyyyyyy T T0112211,niiiipipiyyyxxxn 为了构造检验统计量,记经验回归方程回归方程的检验2022-8-3zhaoswa
24、llow322211()()nniiiiiyyyy 2211()()nneiiiiiSyySyy R R记记 ,TeRSSS则则 回归方程的检验2022-8-3zhaoswallow33 它是由自变量它是由自变量X X的取值变化且通过线性回的取值变化且通过线性回归模型对归模型对y y的影响所构成的误差平方和。的影响所构成的误差平方和。eS 称称为为残残差差平平方方和和。RS 称称为为回回归归平平方方和和。它是由随机误差和其他未加控制的因素所引起的误差平方和。回归方程的检验2022-8-3zhaoswallow342212222122()(1),()()niiiniiyySnpyySp e eR
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