2019年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节双曲线学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七节 双曲线 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 .2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质 (范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 ).3.理解数形结合思想 .4.了解双曲线的简单应用 (对应学生用书第 144 页 ) 基础知识填充 1双曲线的定义 (1)平面内到两定点 F1， F2的 距离之差的绝对值 等于常数 (大于零且小于 |F1F2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点 F1， F2 叫作 双曲线的焦点 ，两焦点之间的距离叫作双曲线的 焦距 (2)集合 P M|MF1

2、| |MF2| 2a， |F1F2| 2c， 其中 a， c 为常数且 a0， c0. 当 2a|F1F2|时， M 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b2 1(a0， b0) y2a2x2b2 1(a0， b0) 图形 性 质 范围 x a 或 x a， y R y a 或 y a， x R 对称性 对称轴： 坐标轴 ，对称中心： 原点 顶点 A1( a,0)， A2(a,0) A1(0， a)， A2(0， a) 渐近线 y bax y abx 离心率 e ca， e(1 ， ) 实虚轴 线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长 |A1A2| 2a；线段 B1B2

3、叫作双曲线的虚轴，它的长 |B1B2| 2b； a 叫作双曲线的实半轴长， b 叫作双曲线的虚半轴长 =【 ;精品教育资源文库 】 = a、 b、 c 的关系 c2 a2 b2(ca0， cb0) 知识拓展 1三种常见双曲线方程的设法 (1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为 Ax2 By2 1(AB0)表示焦点在 x 轴上的双曲线 ( ) (3)双曲线 x2m2y2n2 (m0， n0， 0) 的渐近线方程是x2m2y2n2 0，即xmyn 0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )已知双曲线

4、x2a2y23 1(a0)的离心率为 2，则 a ( ) A 2 B 62 C 52 D 1 D 依题意， e ca a2 3a 2，所以 a2 3 2a，则 a2 1， a 1. 3若双曲线 E： x29y216 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线 E 上，且 |PF1| 3，则 |PF2|等于 ( ) A 11 B 9 C 5 D 3 B 由题意知 a 3， b 4， c 5.由双曲线的定义 |PF1| |PF2| |3 |PF2| 2a 6， | PF2| 9. 4已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2x

5、y=【 ;精品教育资源文库 】 = 0 垂直，则双曲线的方程为 ( ) A x24 y2 1 B x2 y24 1 C 3x2203y25 1 D3x25 3y220 1 A 由题意可得? ba 12，a2 b2 5，a 0， b 0，解得 a 2，则 b 1，所以双曲线的方程为x24 y2 1，故选 A 5 (2017 全国卷 ) 双曲线 x2a2y29 1(a 0)的一条渐近线方程为 y35x，则 a _. 5 双曲线的标准方程为 x2a2y29 1(a0)， 双曲线的渐近线方程为 y 3ax. 又双曲线的一条渐近线方程为 y 35x， a 5. (对应学生用书第 145 页 ) 双曲线的

6、定义及应用 (1)已知双曲线 x2 y224 1 的两个焦点为 F1， F2， P 为双曲线右支上一点若 |PF1|43|PF2|，则 F1PF2的面积为 ( ) A 48 B 24 C 12 D 6 (2)(2017 湖北武汉调研 )若双曲线 x24y212 1 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点， A(1,4)，则 |PF| |PA|的最小值是 ( ) A 8 B 9 C 10 D 12 (1)B (2)B (1)由双曲线的定义可得 |PF1| |PF2| 13|PF2| 2a 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 |PF2| 6，故 |PF1| 8，又 |F1F2| 1

7、0， 由勾股定理可知三角形 PF1F2为直角三角形， 因此 S PF1F2 12|PF1| PF2| 24. (2)由题意知，双曲线 x24y212 1 的左焦点 F 的坐标为 ( 4,0)，设双曲线的右焦点为B，则 B(4,0)，由双曲线的定 义知 |PF| |PA| 4 |PB| |PA|4 |AB| 4(4 1)2 (0 4)2 4 5 9，当且仅当 A， P， B 三点共线且 P 在 A， B 之间时取等号 所以 |PF| |PA|的最小值为 9. 规律方法 1.应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点 动点 具备的几何条件，即 “ 到两定点 焦点的距离之差的

8、绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离 ”. 若定义中的 “ 绝对值 ” 去掉，点的轨迹是双曲线的一支 .同时需注意定义的转化应用 . 2.在焦点三角形中，注意定 义、余弦定理的活用，常将 |PF1| |PF2| 2a 平方，建立与|PF1| PF2|间的联系 . 跟踪训练 已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1， F2，点 A 在 C 上若 |F1A| 2|F2A|，则 cos AF2F1 ( ) 【导学号： 79140294】 A 14 B 13 C 24 D 23 A 由 e ca 2 得 c 2a，如图，由双曲线的定义得 |F1A| |F2A| 2a. 又 |F1A| 2

9、|F2A|，故 |F1A| 4a， |F2A| 2a， cos AF2F1 (4a)2 (2a)2 (4a)224 a2 a 14. 双曲线的标准方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)(2017 全国卷 ) 已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的一条渐近线方程为 y 52 x，且与椭圆 x212y23 1 有公共焦点，则 C 的方程为 ( ) A x28y210 1 Bx24y25 1 C x25y24 1 Dx24y23 1 (2)(2018 湖北调考 )已知点 A( 1,0)， B(1,0)为双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左、右顶点，点 M

10、 在双曲线上， ABM 为等腰三角形，且顶角为 120 ，则该双曲线的标准方程为 ( ) A x2 y24 1 B x2 y23 1 C x2 y22 1 D x2 y2 1 (1)B (2)D (1)由 y 52 x 可得 ba 52 . 由椭圆 x212y23 1 的焦点为 (3,0)， ( 3,0)， 可得 a2 b2 9. 由 可得 a2 4， b2 5. 所以 C 的方程为 x24y25 1. 故选 B (2)由题意知 a 1.不妨设点 M 在第一象限，则由题意有 |AB| |BM| 2， ABM120. 过点 M 作 MN x 轴于点 N，则 |BN| 1， |MN| 3，所以 M

11、(2， 3)，代入双曲线方程得 4 3b2 1，解得 b 1，所以双曲线的方程为 x2 y2 1，故选 D 规律方法 求双曲线标准方程的主要方法 定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出 a2， b2，得双曲线方程 . 待定系数法：即 “ 先定位，后定量 ” ，如果不能确定 焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论 . 跟踪训练 (1)已知双曲线 C： x2a2y2b2 1 的离心率 e54，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的方程为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A x24y23 1 Bx29y216 1 C x216y29 1 Dx23y24 1 (2)设椭圆

12、C1的离心率为 513，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，若曲线 C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准方程为 _ (1)C (2)x216y29 1 由焦点 F2(5,0)知 c 5. 又 e ca 54，得 a 4， b2 c2 a2 9. 所以双曲线 C 的标准方程为 x216y29 1. (2)由题意知椭圆 C1的焦点坐标为 F1( 5,0)， F2(5,0)，设曲线 C2上的一点 P，则 |PF1| |PF2| 8. 由双曲线的定义知： a 4， b 3. 故曲线 C2的标准方程为 x242y232 1，即x216y29 1. 双曲线的几何性质

13、角度 1 双曲线的离心率问题 (2018 长沙模拟 (二 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的渐近线与圆 (x 2 2)2 y2 83相切，则该双曲线的离心率为 ( ) A 62 B 32 C 3 D 3 A 由双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的渐近线 ybax，即 bx ay 0 与圆相切得|2 2b|b2 a22 2bc 2 23 ，即 c 3b，则 c2 3b2 3(c2 a2)，化简得 2c 3a，则该双曲线的离心率为 e ca 32 62 ，故选 A 角度 2 双曲线的渐近线问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2018 合肥二检 )已知双曲线

14、 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的离心率为 3，则该双曲线的渐近线方程为 _ y 2x 因为 e ca 3，所以 c2 a2 b2 3a2，故 b 2a，则此双曲线的渐近线方程为 y bax 2x. 角度 3 双曲线性质的综合应用 (2017 全国卷 ) 已知 F 是双曲线 C： x2 y23 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1,3)，则 APF 的面积为 ( ) A 13 B 12 C 23 D 32 D 因为 F 是双曲线 C： x2 y23 1 的右焦点，所以 F(2,0) 因为 PF x 轴，所以可设 P 的坐标为 (2， yP

15、) 因为 P 是 C 上一点，所以 4 y2P3 1，解得 yP 3 ， 所以 P(2， 3) ， |PF| 3. 又因为 A(1,3)，所以点 A 到直线 PF 的距离为 1， 所以 S APF 12| PF|1 1231 32. 故选 D 规律方法 与双曲线几何性质有关问题的解题策略 求双曲线的离心率 或范围 .依据题设条件，将问题转化为关于 a， c 的等式 或不等式 ，解方程 或不等式 即可求得 . 求双曲线的渐近线方程 .依据题设条件，求双曲线中 a， b 的值或 a 与 b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程 . 跟踪训练 (1)(2017 全国卷 ) 若 a1，则双曲线 x2a2 y2 1 的离心率的取值范围是( ) A ( 2， ) B ( 2， 2) C (1， 2) D (1,2) (2)(2016 全国卷 ) 已知方程 x2m2 ny23m2 n 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间=【 ;精品教育资源文库 】 = 的距离为 4，则 n 的取值范围是 ( ) A ( 1,3)