光学第3章-标量衍射理论课件.pptx
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- 光学 标量 衍射 理论 课件
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1、标量衍射理论标量衍射理论l衍射现象l光波传播的规律l标量理论的条件l空间域和频率域两种分析方法l最基本的光波形式本章主要内容本章主要内容1、光波的数学描述2、基尔霍夫衍射理论3、衍射的角谱理论4、菲涅耳衍射5、夫朗和费衍射6、衍射的巴比涅原理7、衍射光栅8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*1 1、光波的数学描述、光波的数学描述1.1 1.1 单色光波场的复振幅表示单色光波场的复振幅表示单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为,cos 2,u x y z ta x y ztx y z其中,v是光波的时间频率;a(x,y,z)和(x,y,z)分别是P点光振动的振幅和
2、初相位。根据欧拉公式,可将该波函数表示为复指数函数取实部的形式:2,Re,jtx y zu x y z ta x y z e式中,Re 表示对括号内复函数取实部。为简单,去掉“Re”而直接用复指数函数表示简谐波的波函数,并定义一个新的物理量:,jx y zU x y za x y z e称之为单色平面波在P点的复振幅,它与时间t无关,仅是空间位置坐标的函数。光强分布则为2IUUU,2Re,jx y zjta x y z ee1 1、光波的数学描述、光波的数学描述1.2 1.2 球面波球面波单色球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为 0jkraU Per其中,为波数,表示单位长度上产生的相位变化
3、;r 表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离;a0 表示距点光源单位距离处的振幅。2k思考题:思考题:对于会聚球面光波,复振幅表达式是什么?0jkraU PerAnswer:1 1、光波的数学描述、光波的数学描述若点光源位于x0y0平面,则与其相距z(z0)的xy平面上的光场分布是什么?在z平面上:22220020021xxyyrzxxyyzz对上式进行二项式展开,并考虑旁轴近似,上式可进一步简化为:22002xxyyrzz1 1、光波的数学描述、光波的数学描述将简化式代入球面波复振幅表达式有:0jkraU Per 220022002002x xy yjk zkjx xy yzjkzzaa
4、U Peeezz22002xxyyrzz常量位相因子常量位相因子二次位相因子二次位相因子思考题:表征球面波思考题:表征球面波(1)若点光源位于x0y0平面的坐标原点,上式简化为什么?(2)会聚球面波在旁轴近似下的复振幅表达式是什么?68页1 1、光波的数学描述、光波的数学描述重要概念:重要概念:波前,等相位面波前,等相位面发散球面波发散球面波会聚球面波会聚球面波 当等相位面与某一平面相交,则得到一系列的交线,这些交线就是光波在该平面上的等相位线!68页球面波的等位相线及其方程1 1、光波的数学描述、光波的数学描述 1.3 1.3 平面波平面波平面波也是光波最简单的一种形式。沿k方向传播的单色平
5、面波,在光场中P(x,y,z)点产生的复振幅可以表示为:,expcoscoscosU x y zajk xyz其中,(1)a 是常量振幅;(2)cos、cos、cos 为传播方向的方向余弦,而且有222coscoscos11 1、光波的数学描述、光波的数学描述22,expcosexpcoscosexp1 coscosexpcoscosexpcoscosU x y zajkzjk xyajkzjk xyAjk xyexpcoscosjk xy对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波,在xy平面上的复振幅为:思考题:思考题:等相位线是什么形式?等相位线是什么形式?Answer:Answer:等
6、位线方程为其中,称为平面波的位相因子。coscosxyC不同C值所对应的等位相线是一些平行斜线,如右图所示。周期分布特点1 1、光波的数学描述、光波的数学描述,expcosU x y zAjkx1.4 1.4 平面波的空间频率平面波的空间频率 平面波的空间频率是傅里叶光学中常用的基本物理量,透彻理解这个概念的物理意义是非常重要的。如下图,首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况,此时cos=0,(1)xy平面上复振幅分布为(2)等位相线方程为cosxC等位相线的分布如右图所示,是一组垂直于x轴的平行线,而且间距相等。由于等相位线上的振动相同,所以复振幅在xy平面周期分布的空间周期可以用位相相差
7、2的两相邻等位相线的间隔X表示。1 1、光波的数学描述、光波的数学描述cos2kX2coscosXk1cosxfX当10yfY,exp2xU x yAjf x则有其中,为广波波长。空间周期的倒数即为空间频率,表示x方向单位长度内变化的周期数,即又因为等相位线平行于y轴,则y方向的空间频率为此时,xy平面上的复振幅分布可表示为即可用空间频率表示xy平面上的复振幅分布;空间频率与传播方向一一对应*上式就是一个传播方向为(cos=x、cos=0)的单色平面波的复振幅表达式。1 1、光波的数学描述、光波的数学描述1cos0 xfX(3)(3)空间频率为负数的情况空间频率为负数的情况思考题:思考题:空间
8、频率为负,其代表什么物理意义?空间频率为负,其代表什么物理意义?10yfY1 1、光波的数学描述、光波的数学描述如右图所示,等相位线是一组斜平行线。很容易确定其沿x和y方向的空间频率为1cos1cosxyfXfY,expcoscosU x yAjk xy,exp2xyU x yAjf xf y(4)传播方向为任意情况,情况又如何?)传播方向为任意情况,情况又如何?则xy平面上的复振幅分布可表示为1 1、光波的数学描述、光波的数学描述coszf,exp2xyzU x y zajf xf yf z222221xyzffff 假定平面波沿空间传播,则可进一步确定光波沿z方向的空间频率为此时,而且满足
9、如下关系,f传播方向上空间频率(1)思考题:若用空间角频率表示平面波的复振幅分布,结果如何?已知22xxyyff1 1、光波的数学描述、光波的数学描述sinyyfsinxxf(2)对于如下图所示的情况,光波从P0点沿P方向传播,传播矢量在xhe y方向上与z轴的夹角分别是x 和y,,则平面波在xy平面上的复振幅分布可表示为什么?提示:1 1、光波的数学描述、光波的数学描述1.5 1.5 复振幅分布的空间频谱(角谱)复振幅分布的空间频谱(角谱)利用傅里叶变换对位于单色光场中的xy平面上的复振幅分布进行傅里叶分析,有,exp2,exp2xyxyxyxyxyU x yA ffjf xf ydf df
10、A ffU x yjf xf ydxdy 其中,coscosxyff因此复振幅分布也可以看作为不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加,A(x,y)则为复振幅分布U(x,y)的空间频谱。exp2xyjf xf y代表一个传播方向余弦为(cos=x、cos=y)的单色平面波。平面上的复振幅分布U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合,各频率分量的权重因子是A(x,y),而且1 1、光波的数学描述、光波的数学描述coscoscoscos,exp2AU x yjxydxdy 此时,称A(cosA(cos/,coscos/)为xy平面上复振幅分布的角谱。A(A(x x,y y)也可用方向余弦表示
11、引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义:(1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的单色平面波 的叠加;(2)在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位,它们的值分别取决 于角谱的模和幅角。2 2、基尔霍夫衍射理论、基尔霍夫衍射理论2.1 2.1 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心,它们能产生球面子波”,并且,“后一时刻的波前的位置是所有这些子波前的包络面。”论光,惠更斯,1690“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率(或波长)与入射波相同的子波源;在其后任何地点的光振动,就是这些子波叠加的结果。”巴黎科学院,菲涅
12、耳,1818 0exp jkrU PcU P Kdsr其中,U(PU(P0 0)是波面上任意一点P0的复振幅,U(P)U(P)是光场中任一观察点P的复振幅,r r是P0到P的距离,是P0P和过P0点的元波面法线n的夹角,K(K()是与有关的倾斜因子,C C为常数。2 2、基尔霍夫衍射理论、基尔霍夫衍射理论2.2 2.2 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式1882年,基尔霍夫建立了一个严格的数学理论,证明菲涅耳的设想基本上正确,只是对菲涅耳给出的倾斜因子进行了修正。基尔霍夫理论,只适用于标量波的衍射,故又称标量衍射理论标量衍射理论。对于单色波,基尔霍夫从标量波动方程出发,利用格林定理这一数学工具,
13、采用适当的边界条件,推导出无限大不透明屏上孔径后面观察点P的场分布为 222210uuct exp jkrcos,-cos,exp jkrAPdSr2rn rn rUj 其中,P是照明孔径的点光源,P0是孔径上某一点,P为孔径后面某一观察点,r和r分别P和P到P0的距离(图3-3)。上式称为菲涅耳基尔霍夫衍射公式,它为惠更斯菲涅耳原理提供了更可靠的波动理论基础。2 2、基尔霍夫衍射理论、基尔霍夫衍射理论2.3 2.3 光波传播的线性性质光波传播的线性性质 0exp1jkrU PU P KdSjr令令 01,Kjkreh P Pjr 根据基尔霍夫衍射公式根据基尔霍夫衍射公式则有则有 00,U P
14、U P h P P dS 若孔径在x0y0平面,而观察平面在xy平面,上式可进一步表示为 000000,;,U x yU xyh x y xydx dy 这正是描述线性系统输入这正是描述线性系统输入输出关系的叠加积分;因此光波的传播现象可以输出关系的叠加积分;因此光波的传播现象可以看作是一个线性系统!看作是一个线性系统!2 2、基尔霍夫衍射理论、基尔霍夫衍射理论在傍轴近似下,则上述线性系统的脉冲响应函数简化为,物理意义 K1222000022200exp11,;,jkrjkzxxyyeh x y xyjrjzxxyy00,h xxyy脉冲响应函数具有空间不变的函数形式,也就是说光波在衍射孔径后
15、的传播现象脉冲响应函数具有空间不变的函数形式,也就是说光波在衍射孔径后的传播现象可看作线性不变系统。这为我们用线性不变系统理论分析衍射现象提供了依据。可看作线性不变系统。这为我们用线性不变系统理论分析衍射现象提供了依据。卷积积分,卷积积分,81页页3 3、衍射的角谱理论、衍射的角谱理论3.1 3.1 角谱的传播角谱的传播根据上面介绍的角谱理论可知,孔径平面和观察平面上的光场都可以分别看作孔径平面和观察平面上的光场都可以分别看作是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。而每一个平面波分量的相对振幅和位相取决于相应的角谱:00000coscoscos
16、coscoscos,exp2U xyAjxydd coscoscoscoscoscos,exp2U x yAjxydd 孔径平面孔径平面观察平面观察平面利用两者的关系利用两者的关系,确定整个光场的传播特性。确定整个光场的传播特性。利用标量的波动方程,可以得到如下关系:利用标量的波动方程,可以得到如下关系:220coscoscoscos,exp1 coscosAAjkz这就是衍射的角谱理论公式,它给出了角谱传播的规律;这就是衍射的角谱理论公式,它给出了角谱传播的规律;在确定了观察光场的角谱后,就可以利用傅立叶逆变换求出其复振幅分布。3 3、衍射的角谱理论、衍射的角谱理论220coscoscosc
17、os,exp1 coscosAAjkz0,xyxyxyA ffAffHff输出频谱输出频谱输入频谱输入频谱传递函数传递函数系统在频域的效应由传递函数表征:系统在频域的效应由传递函数表征:2222201,exp1,0 xyxyxyxyxyA ffjkzffffHffAffothers可见,光波的传播现象可看作一个空间滤波器,它具有有限的空间带宽:在频率平面上半径为1/的圆形区域内,传递函数的模为1,对各频率分量的振幅没有影响,但引入了与频率有关的相移;在圆形区域之外,传递函数为零。3 3、衍射的角谱理论、衍射的角谱理论思考题:思考题:基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论和和角谱理论角谱理论的联系和区
18、别是什么?的联系和区别是什么?Answer:1)基尔霍夫衍射理论和角谱理论完全是统一的,它们都证明了光的传播现象可看作线性不变系统;2)基尔霍夫理论是在空间域讨论光的传播,是把孔径平面光场看作点源的集合,观察平面上的场分布则等于它们所发出的带有不同权重因子的球面子波的相干叠加,而球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。3)角谱理论是在频率域讨论光的传播,是把孔径平面场分布看作很多不同方向传播的平面波分量的线性组合,观察平面上场分布仍然等于这些平面波分量相干叠加,但每个平面波分量引入相移。相移的大小决定于系统的传递函数,它是系统脉冲响应的傅立叶变换。3 3、衍射的角谱理论、衍射的角谱
19、理论3.2 3.2 孔径对角谱的影响孔径对角谱的影响平面屏幕孔径的复振幅透过率为t(x0,y0),入射到孔径平面上的光场复振幅为Ui(x0,y0),则紧靠屏幕后的平面上透射光场的复振幅分布可以表示为 ,tiUx yUx y t x y假定入射光场的角谱和透射光场的角谱分别为 coscos,iAcoscos,tA由傅里叶变换的卷积定理可确定两者的关系为 coscoscoscoscoscos,tiAAT其中,T()是孔径透过率函数的傅里叶变换。和3 3、衍射的角谱理论、衍射的角谱理论如果采用单位振幅平面波垂直照明孔径,入射光场为,1iUx y 入射光场的角谱为coscoscoscos,iiAUx
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