2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时跟踪训练4解三角形应用举例（文科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (二十四 ) 解三角形应用举例 基础巩固 一、选择题 1已知两座灯塔 A、 B 与 C 的距离都是 a，灯塔 A 在 C 的北偏东 20 ，灯塔 B 在 C 的南偏东 40 ，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( ) A a B. 3a C. 2a D 2a 解析 如图所示，由余弦定理可知， AB2 a2 a2 2a acos120 3a2得 AB 3a.故选 B. 答案 B 2如图，设 A、 B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m， ACB 45 ， CAB 105 后，就可以计算

2、出 A、 B 两点的距离为( ) A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m D.25 22 m 解析 由题意得 B 180 45 105 30 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由正弦定理得 ABsin ACB ACsinB， AB ACsin ACBsinB 50 2212 50 2(m) 答案 A 3两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40 ，灯塔 B在观察站南偏东 60 ，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( ) A北偏东 10 B北偏西 10 C南偏东 10 D南偏西 10 解析 灯塔 A、 B 的相对位置如图所示，由已知得 ACB

3、80 ， CAB CBA 50 ， 则 60 50 10 ，即北偏西 10. 答案 B 4在湖面上高为 10 m处测得天空中一朵云的仰角为 30 ，测得湖中之影 的俯角为 45 ，则云距湖面的高度为 (精确到 0.1 m)( ) A 2.7 m B 17.3 m C 37.3 m D 373 m =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 依题意画出示意图 则 CM 10tan30 CM 10tan45 CM tan45 tan30tan45 tan30 10 37.3. 答案 C 5张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏

4、东 30 方向上， 15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75 方向上，则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是 ( ) A 2 2 km B 3 2 km C 3 3 km D 2 3 km 解析 画出示意图如图， 由条件知 AB 24 1560 6.在 ABS 中， BAS 30 ， AB 6， ABS 180 75 105 ，所以 ASB 45. 由正弦定理知 BSsin30 ABsin45 ，所以 BS ABsin30sin45 3 2. 答案 B 6在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为 30 ， 60 ，则塔高为( ) A.4003 米 B.

5、400 33 米 C.200 33 米 D.2003 米 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 作出示意图如右图， 由已知，在 Rt OAC 中， OA 200， OAC 30 ，则 OC OAtan OAC 200tan30 200 33 . 在 Rt ABD 中， AD 200 33 ， BAD 30 ， 则 BD ADtan BAD 200 33 tan30 2003 ， BC CD BD 200 2003 4003 . 答案 A 二、填空题 7一船以每小时 15 km 的速度向正东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60 方向，行驶 4 h 后，船到 B 处，看到这个灯塔在

6、北偏东 15 方向，这 时船与灯塔的距离为_km. 解析 如图所示，依题意有： AB 154 60， MAB 30 ， AMB 45 ， 在 AMB 中， 由正弦定理得 60sin45 BMsin30 ， 解得 BM 30 2(km) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 30 2 8 (2017 广东广州市高三综合测试 )江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45 和 60 ，而且两条船与炮台底部连线成 30 角， 则两条船相距 _m. 解析 如图，由题意知， OA 30， OAM 45 ， OAN 30 ， MON 30. 在 Rt

7、 AOM 中， OM OA tan OAM 30tan45 30. 在 Rt AON 中 ， ON OAtan OAN 30tan30 10 3. 在 MON 中 ， 由余弦定理得 MN OM2 ON2 2OM ONcos MON 900 300 23010 3 32 300 10 3(m) 答案 10 3 9 (2018 山西大学附中检测 )如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75 ， 30 ，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于 _m. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 如图， ACD 30 ， ABD 75 ， AD 60 m, 在 R

8、t ACD 中， CD ADtan ACD 60tan30 60 3(m)， 在 Rt ABD 中， BD ADtan ABD 60tan75 602 3 60(2 3)(m)， BC CD BD 60 3 60(2 3) 120( 3 1)(m) 答案 120( 3 1) 三、解答题 10.港口 A 北偏东 30 方向的 C 处有一检查站，港口正东方向的 B 处有一轮船，距离检查站为 31 海里，该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处观测站，已知观测站与检查站距离 21 海里，问此时轮 船离港口 A 还有多远？ 解 在 BDC 中， BC 31， BD 20， CD 21，

9、由余弦定理知， cos CDB BD2 CD2 BC22BD CD 17， sin CDB 4 37 . sin ACD sin? ? CDB 3 sin CDBcos 3 cos CDBsin 3 5 314 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 ACD 中，由正弦定理知 ADsin ACD CDsinA?AD 5 314 21 32 15. 此时轮船距港口还有 15 海里 能力提升 11 (2017 山西太原模拟 )某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45 ，沿倾斜角为 30 的斜坡前进 1000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 60 ，则山的高度 BC 为 ( )

10、A 500( 3 1)m B 500 m C 500( 2 1)m D 1000 m 解析 过点 D 作 DE AC 交 BC 于 E，因为 DAC 30 ，故 ADE 150. 于是 ADB 360 150 60 150. 又 BAD 45 30 15 ，故 ABD 15 ，由正弦定理，得 ABADsin ADBsin ABD 1000sin150sin15 500( 6 2)(m) 所以在 Rt ABC 中， BC ABsin45 500( 3 1)(m) 答案 A 12某人在 C 点测得某塔在南偏西 80 ，塔顶仰角为 45 ，此人沿南偏东 40 方向前进 10 米到 D，测得塔顶 A

11、的仰角为 30 ，则塔高为 ( ) A 15 米 B 5 米 C 10 米 D 12 米 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 如图，设塔高为 h， 在 Rt AOC 中， ACO 45 ，则 OC OA h. 在 Rt AOD 中， ADO 30 ， 则 OD 3h， 在 OCD 中， OCD 120 ， CD 10， 由余弦定理得： OD2 OC2 CD2 2OC CDcos OCD， 即 ( 3h)2 h2 102 2h10cos120 ， h2 5h 50 0， 解得 h 10 或 h 5(舍 ) 答案 C 13甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60 的方向，两船相距 a 海

12、里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3倍，则甲船应取方向 _才能追上乙船；追上时甲船行驶了 _海里 解析 如图所示，设到 C 点甲船追上乙船，乙到 C 地用的时间为 t，乙船速度为 v， 则 BC tv， AC 3tv， B 120 ， 由正弦定理知 BCsin CAB ACsinB， 1sin CAB 3sin120 ， sin CAB 12， CAB 30 ， ACB 30 ， BC AB a， AC2 AB2 BC2 2AB BCcos120 a2 a2 2a2 ? ? 12 3a2， AC 3a. 答案 北偏东 30 3a 14. (2017 广东省五校协作体高三一诊 )如图所示，

13、在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上=【 ;精品教育资源文库 】 = 有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 A 处测得 DAC 15 ，沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得 DBC 45 ，根据以上数据可得 cos _. 解析 由 DAC 15 ， DBC 45 可得 BDA 30 ， DBA 135 ， BDC 90 (15 ) 30 45 ，由内角和定理可得 DCB 180 (45 ) 45 90 ，根据正弦定理可得 50sin30 DBsin15 ，即 DB 100sin15 100sin(45 30) 25 2( 3 1)，又 25s

14、in45 25 2 3 ，即 25sin45 25 2 3cos ，得到 cos 3 1. 答案 3 1 15.海岛 B 上有一座高为 10 米的塔，塔顶有一个观测站 A，上午 11 时测得一游船位于岛北偏东 15 方向上，且俯角为 30 的 C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西 75 方向上，且俯角为 45 的 D 处 (假设游船匀速行驶 ) (1)求该船行驶的速度 (单位：米 /分钟 )； (2)又经过一段时间后，游船到达海岛 B 的正西方向 E 处，问此时游船距离海岛 B 多远？ 解 (1)在 Rt ABC 中， BAC 60 ， AB 10， 则 BC 10 3米； 在 Rt ABD 中， BAD 45 ， AB 10，则 BD 10