2019年高考数学一轮复习第7章立体几何第4节垂直关系学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 垂直关系 考纲传真 (教师用书独具 )1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 .2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 (对应学生用书第 114 页 ) 基础知识填充 1直线与平面垂直 (1)定义：如果一条直线和一个平面内的 任何一条 直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直 ?a 平面 ，b 平面 a b Ol al b?l 性 质

2、定 理 垂直于同一个平面的两条直线 平行 ?a b ?a b 2.二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫作二面角 (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 (3)范围： 0， 3平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 =【 ;精品教育资源文库 】 = 判 定 定 理 一个平面过另一个平面的 垂线 ，则这两个平面垂直 ?l l ? 性质定理 两个平面垂直，则一个平

3、面内垂直于 交线的直线与另一个平面垂直 ? l al a?l 知识拓展 1.如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 2直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线 3垂直于同一条直线的两平面平行 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l .( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行 ( ) (3)直线 a ， b ，则 a b.( ) (4)若 ， a ?a .( ) (5)若直线 a 平面 ，直线 b ，则直线 a 与 b 垂直 ( ) 答案 (1) (2)

4、(3) (4) (5) 2 (教材改编 )设 ， 是两个不同的平面， l， m是两条不同的直线，且 l ， m .( ) A若 l ，则 B若 ，则 l m C若 l ，则 D若 ，则 l m A l ， l ， (面面垂直的判定定理 )，故 A 正确 3 (2016 浙江高考 )已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m， n满足 m ， n ，则 ( ) A m l B m n C n l D m n C l， l . n ， n l. 4如图 741， O 为正方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 的中心，则下列直线中与 B1O 垂直的是 ( ) =【 ;精品教育资源文库

5、 】 = 图 741 A A1D B AA1 C A1D1 D A1C1 D 易知 AC 平面 BB1D1D. A1C1 AC， A1C1 平面 BB1D1D. 又 B1O 平面 BB1D1D， A1C1 B1O，故选 D. 5如图 742，已知 PA 平面 ABC， BC AC，则图中直角三角形的个数为 _ 图 742 4 PA 平面 ABC， PA AB， PA AC， PA BC， 则 PAB， PAC 为直角三角形 由 BC AC，且 AC PA A， BC 平面 PAC，从而 BC PC 因此 ABC， PBC 也是直角三角形 (对应学生用书第 115 页 ) 线面垂直的判定与性质

6、(2018 合肥一检 )如图 743，已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形，且 PA 底面 ABCD， ABC 60 ，点 E， F 分别为 BC， PD 的中点， PA AB 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 743 (1)证明： AE 平面 PAD； (2)求多面体 PAECF 的体积 解 (1)证明：由 PA 底面 ABCD 得 PA AE. 底面 ABCD 为菱形， ABC 60 ，得 ABC 为等边三角形， 又因为 E 为 BC 的中点，得 AE BC，所以 AE AD. 因为 PA AD A，所以 AE 平面 PAD. (2)令多面体 PAECF 的体积为 V

7、， 则 V V 三棱锥 PAEC V 三棱锥 CPAF. V 三棱锥 PAEC 13 ? ?12 AE EC PA 13 ? ?12 31 2 33 ； V 三棱锥 CPAF 13 ? ?12 PA PFsin APF AE 13 ? ?122 2sin 45 3 33 ， 所以多面体 PAECF 的 体积为 V 33 33 2 33 . 规律方法 证明直线和平面垂直的常用方法 利用判定定理 . 利用判定定理的推论 a b， a ?b 利用面面平行的性质 a ， ?a 利用面面垂直的性质 . 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 . 重视平面几何知识，特别是勾股定理的

8、应用 . 跟踪训练 如图 744 所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点， 且 AD 13DB，点 C 为圆 O上一点，且 BC 3AC， PD 平面 ABC， PD DB. =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 744 求证： PA CD. 【导学号： 79140234】 证明 因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC CB，在 Rt ACB 中，由 3AC BC，得 ABC 30. 设 AD 1，由 3AD DB，得 DB 3， BC 2 3，由余弦定理得 CD2 DB2 BC2 2DB BCcos 30 3， 所以 CD2 DB2 BC2，即 CD AO. 因为

9、 PD 平面 ABC， CD 平面 ABC， 所以 PD CD，由 PD AB D，得 CD 平面 PAB，又 PA 平面 PAB，所以 PA CD. 平面与平面垂直的判定与性质 (2017 全国卷 ) 如图 745，在四棱锥 PABCD中， AB CD，且 BAP CDP 90. 图 745 (1)证明：平面 PAB 平面 PAD； (2)若 PA PD AB DC， APD 90 ，且四棱锥 PABCD 的体积为 83，求该四棱锥的侧面积 解 (1)证明：由已知 BAP CDP 90 ， 得 AB AP， CD PD. 由于 AB CD，故 AB PD，从而 AB 平面 PAD. 又 AB

10、 平面 PAB， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以平面 PAB 平面 PAD. (2)如图，在平面 PAD 内作 PE AD，垂足为 E. 由 (1)知， AB 平面 PAD，故 AB PE， AB AD， 可得 PE 平面 ABCD. 设 AB x，则由已知可得 AD 2x， PE 22 x. 故四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD 13AB AD PE 13x3. 由题设得 13x3 83，故 x 2. 从而结合已知可得 PA PD AB DC 2， AD BC 2 2， PB PC 2 2. 可得四棱锥 PABCD 的侧面积为 12PA PD12PA AB12PD DC12BC

11、2sin 60 6 2 3. 规律方法 1.面面垂直的两种证明方法 (1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直 问题转化为证明平面角为直角的问题 (2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决 2三种垂直关系的转化 线线垂直判定性质 线面垂直判定性质 面面垂直 跟踪训练 (2018 云南二检 )如图 746 已知三棱锥 PABC 中， AC BC， AC BC 2， PA PB PC 3， O 是 AB 的中点， E 是 PB 的中点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 746 (1

12、)证明：平面 PAB 平面 ABC； (2)求点 B 到平面 OEC 的距离 解 (1)证明：连接 PO，在 PAB 中， PA PB， O 是 AB 的中点， PO AB. AC BC 2， AC BC， AB 2 2， OB OC 2. PA PB PC 3， PO 7， PC2 PO2 OC2. PO OC 又 AB CO O， AB 平面 ABC， OC 平面 ABC， PO 平面 ABC PO 平面 PAB， 平面 PAB 平面 ABC (2) OE 是 PAB 的中位线， OE 32. O 是 AB 中点， AC BC， OC AB. 又平面 PAB 平面 ABC，两平面的交线为

13、AB， OC 平面 PAB. OE 平面 PAB， OC OE. 设点 B 到平面 OEC 的距离变 d， V 三棱锥 BOEC V 三棱锥 EOBC， 13 S OEC d 13 S OBC 12OP. dS OBC 12OPS OEC 12OB OC12OP12OE OC 143 . 平行与垂直的综合问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 角度 1 平行与垂直关系的证明 (2016 江苏高考 )如图 747，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， D， E 分别为 AB， BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D A1F， A1C1 A1B1. 图 747 求证： (1)直线 DE

14、 平面 A1C1F； (2)平面 B1DE 平面 A1C1F. 证明 (1)在直三棱柱 ABCA1B1C1中， A1C1 AC 在 ABC 中，因为 D， E 分别为 AB， BC 的中点， 所以 DE AC，于是 DE A1C1. 又因为 DE?/ 平面 A1C1F， A1C1 平面 A1C1F， 所以直线 DE 平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABCA1B1C1中， A1A 平面 A1B1C1. 因为 A1C1 平面 A1B1C1，所以 A1A A1C1. 又因为 A1C1 A1B1， A1A 平面 ABB1A1， A1B1 平面 ABB1A1， A1A A1B1 A1，所以 A1C1平面 ABB1A1. 因为 B1D 平面 ABB1A1，所以 A1C1 B1D. 又因为 B1D A1F， A1C1 平面 A1C1F， A1F 平面 A1C1F， A1C1 A1F A1，所以 B1D 平面 A1C1F. 因为直线 B1D 平面 B1DE，所以平面 B1DE 平面 A1C