自动控制原理第7章离散系统分析课件.ppt
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1、第七章第七章 线性离散系统分析线性离散系统分析 线性离散系统的基本概念线性离散系统的基本概念 A/DA/D转换与采样定理及转换与采样定理及D/AD/A转换转换 Z Z变换变换 脉冲传递函数脉冲传递函数 线性离散系统稳定性分析线性离散系统稳定性分析 线性离散系统的时域分析线性离散系统的时域分析 主要内容主要内容v了解线性离散系统的基本概念和基本定理,把握线性连续系了解线性离散系统的基本概念和基本定理,把握线性连续系统与线性离散系统的区别与联系;统与线性离散系统的区别与联系;v熟练掌握熟练掌握Z Z变换、变换、Z Z变换的性质和变换的性质和Z Z反变换方法反变换方法v了解脉冲传递函数的定义,熟练掌
2、握开环与闭环系统脉冲传了解脉冲传递函数的定义,熟练掌握开环与闭环系统脉冲传递函数的计算方法;递函数的计算方法;v掌握线性离散系统的时域分析方法掌握线性离散系统的时域分析方法学习重点离散系统离散系统:系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码离散系统类型:离散系统类型:采样系统采样系统 时间离散,数值连续时间离散,数值连续数字系统数字系统 时间离散,数值量化时间离散,数值量化7.1 线性离散系统的基本概念 计算机控制系统的描述方法计算机控制系统的描述方法 计算机控制系统计算机控制系统 字长足够字长足够 认为认为 e*(kt)=e(kt)(1 1)A/D 过程过程 采
3、样采样 时间上离时间上离散散量化量化 数值上离数值上离散散 t T t T 认为采样瞬时完成认为采样瞬时完成理想采样过程理想采样过程 开关打开时,没有输出;开关打开时,没有输出;开关闭合时才有输出,其值等于采开关闭合时才有输出,其值等于采样时刻的样时刻的 的模拟值。的模拟值。()f t(2 2)计算过程描述)计算过程描述 零阶保持器零阶保持器 (ZOH)(3 3)D/A 过程过程解码解码 复现复现 7.2.1 7.2.1 信号采样信号采样(1)(1)理想采样序列理想采样序列 0)()(nTnTtt :)2(L 0)()(nnTtte)()()(*tteteT )()(*teLsE 0)()(n
4、nTtnTe 0)()(nnTtnTeL 0)(nnTsenTe7.2 信号采样与保持信号采样与保持 0*)()(nnTsenTesE)(1)(tte 例例1 1,求,求 )(*sE 0*1)(nnTsesE解解 TsTsee21aTTsTsTaseeee )(11atete )(例例2 2,求,求 )(*sE 0*)(nnTsanTeesE解解 111 TsTsTseee 0)(nnTase(3)(3)傅氏变换傅氏变换 T T(t)是周期函数,可展开为傅氏级数是周期函数,可展开为傅氏级数 ntjnnTdtcts e)(22e)(1TTtjnTndttTcs Ts 2 TdttT11)(100
5、 1()esjntTntdtT ntjnTsteTttete e)(1)()()(*1()esjntne tT*1()()e(sjntnL e tLe tE sT1()snE sjnT)(1)(*nsjnsETsE 0*)()(nnTsenTesE连续信号连续信号 )(te离散信号离散信号 )(*teF F连续信号连续信号e(t)与与离散信号离散信号e*(t)的频谱分析的频谱分析 F F频谱频谱 信号按频率分解后的表达式信号按频率分解后的表达式 采样频率应大于等于原始信号最大采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即频率的二倍,即由采样得到的离散信号能无失真的由采样得到的离散信号能无失真的恢
6、复到原来的连续信号。恢复到原来的连续信号。max2shsT 22 香农香农(Shannon)采样定理采样定理 信号完全复现的必要条件信号完全复现的必要条件hsT 22 理想滤波器理想滤波器采样开关采样开关hs 2 hsT 22 hT 4.4.信号的复现信号的复现D/AD/A转换转换(1)(1)信号复现信号复现 把采样信号恢复为原来连续信号的过程通常称为信号的复现。把采样信号恢复为原来连续信号的过程通常称为信号的复现。(2)(2)信号复现方法信号复现方法加入理想滤波器加入理想滤波器 (理论上)(理论上)()G j加入保持器加入保持器 (实际上)(实际上)为了从离散信号复现出连续信号,需要考虑:为
7、了从离散信号复现出连续信号,需要考虑:理论上能否从离散信号恢复到原连续信号?理论上能否从离散信号恢复到原连续信号?在实际中采用什么样的保持器?在实际中采用什么样的保持器?零阶保持器零阶保持器 最简单最常用的是零阶保持器最简单最常用的是零阶保持器(zero-order hold,简记为,简记为ZOH),它与一阶、高阶保持器相比,具有相位滞后小以及易于,它与一阶、高阶保持器相比,具有相位滞后小以及易于工程实现等优点。工程实现等优点。7.2.2 7.2.2 零阶保持器零阶保持器 D/A:用用 ZOH 实现实现setkLsGTsh 1)()()(1)(1)(Ttttk 22)2sin()(tjhett
8、TjG )()()(sin2)(sjssshejG Ts 2 零阶保持器对系统的影响零阶保持器对系统的影响sesGTsh 1)(2Tse 7.3 Z7.3 Z变换变换1.Z变换的定义变换的定义2.Z变换的方法变换的方法3.Z变换的性质变换的性质4.Z反变换反变换0()()()kftf ttkT采 样 函 数00()()()()()kTskkL ftFsLf kTtkTf kT e0()()()TskkeZ ftF zf kT z令z,则上式变为此式称为离散信号此式称为离散信号 的的Z变换变换。Z变换变换是离散信号的拉氏变换的一种变形,可由拉氏变换导出,是离散信号的拉氏变换的一种变形,可由拉氏变
9、换导出,又称为又称为采样拉氏变换采样拉氏变换()ft1.Z1.Z变换的定义变换的定义两点说明 离散信号离散信号f f*(t)(t)由对连续信号由对连续信号f(t)f(t)采样得到,所以习惯上称采样得到,所以习惯上称F(z)F(z)是是f(t)f(t)的的Z Z变换,实际上是指变换,实际上是指f(t)f(t)经采样后得到的离经采样后得到的离散信号散信号f f*(t)(t)的的Z Z变换。变换。同样,习惯上也称同样,习惯上也称F(z)F(z)是是F(s)F(s)的的Z Z变换。变换。F(s)F(s)是是 f(t)f(t)的的L L变换的记号,变换的记号,F(z)F(z)是是f(f(kTkT)的的Z
10、 Z变换的记号变换的记号 F(z)F(s)|s=z F(z)F(s)|s=z;n 级数求和法级数求和法n 部分分式法部分分式法n 留数计算法留数计算法2.Z2.Z变换的方法变换的方法例例 求求1*(t)的)的Z变换变换。00121()1()1()1(|1)11kkF zZtkT zzzzzZzz解:(1)(1)级数求和法级数求和法例例 求求 的的F(z)。ate 00122011(|1)1akTkaTaTkaTaTaTF zeze zezezze Zezze解:例例 求解求解 的的Z变换变换。()()aF ss sa 1111()(1)()1(1)()ataTaTaTABF sssassaLF
11、 stezzzeF zzzezze解:因为而所以(2)(2)部分分式法部分分式法 首先把首先把F(S)F(S)分解为部分分式之和,然后再对每一部分分式分解为部分分式之和,然后再对每一部分分式求求Z变换。变换。例例 求求sin)(tZzF221()221111112121122sin11111()2 12 1sinsin11 2cosjtj Tj Tj Tj TjjLtssjsjLesjF zzsjezjezzTzTezezzzTz解:因为所以(3)(3)留数计算法留数计算法)(e)(ddlim)!1(1e)(Res )(e)(lime)(Res e)(Res)()(11ssss1ssiiiri
12、sTrrsssTiisTsssTinisTisszzsXsrzzsXsrsszzsXzzsXszzsXzXssXii重极点非重极点。的极点是设例。求)(,)2()1()32()(2zXsssssXTTTsTssTszzzTzszzssssszzssssszXsssX222222132,1e2)e(e )2(e)2()1()32()1(e)2()1()32(dd)!12(1)(2)(1 )(limlim,二重极点的极点解 0*)()()()(nnezznTesEtezETs常见函数的常见函数的z变换变换 )(te)(zETta)()(1)(tttT tt cossinaTe 1)1(zz)1(z
13、z2)1(zTz)(azz)(aTezz )1cos2(sin2 TzTz )1cos2()cos(2 TzTzz z z变换定义变换定义 )()()()(21*2*1zEbzEatebteaZ 1.1.线性性质线性性质 )()(zEznTteZn z z变换的基本定理变换的基本定理 2.2.实位移定理实位移定理 延迟定理延迟定理 aTtaezEeteZ )(3.3.复位移定理复位移定理 10)()()(nkknzkTezEznTteZ超前定理超前定理0(0)lim()lim()nzee nTE z4.4.初值定理初值定理 1()lim()lim(1)()(1)()nzee nTzE zzE
14、z 极点均位于单位圆内5.5.终值定理终值定理 6.6.卷积定理卷积定理 )(*)()(*tgtetc)()()(zGzEzC (1)幂级数展开法幂级数展开法(2)部分分式法部分分式法(3)留数法留数法4.Z4.Z反变换反变换(1)(1)幂级数展开法幂级数展开法 用长除法把用长除法把 按降幂展成幂级数,然后求得按降幂展成幂级数,然后求得 ,即即将将 展成展成 对应原函数为对应原函数为 ()F z()f kT101101(),mmmnnnb zb zbF znma za za()F z012012()F zc zc zc z 0122f kTctctTctT实际应用中,常常只需要计算有限几项(2
15、)(2)部分分式法部分分式法把把 分解为部分分式,再通过查表求出原离散序列。分解为部分分式,再通过查表求出原离散序列。因为因为Z变换表中变换表中 的分子常有因子的分子常有因子 ,所以通常将,所以通常将 展展成成 的形式,即的形式,即 式中系数式中系数 用下式求出用下式求出 ()F z()F zz()F z1()()F zzF z12112()()iiAAAF zzF zzzzzzzziA1()()iiiz zAF z zz基本思想:基本思想:利用已知的F(z),通过查z变换表找出相应的f*(t)或f(nT)通常需要将F(z)展开成部分分式以便查表。(3)(3)留数法留数法11()()inkzz
16、if kTres F z ziz表示表示 的第个极点。的第个极点。()F z单极点单极点重极点重极点 11()()()limiikkzzizzres F z zzz F z z1111()()1()(1)!limiirrkkizzrzzdzzF z zres F z zrdz 实际应用中,实际应用中,F(z)F(z)可能是超越函数,无法应用部分分式法可能是超越函数,无法应用部分分式法或是幂级数法求反变换。或是幂级数法求反变换。7.4 离散系统的数学模型差分方程差分方程脉冲传递函数脉冲传递函数离散状态空间表达式离散状态空间表达式)()1()(kekeke (1)差分定义差分定义 e(kT)简记为
17、简记为 e(k)前向前向差分差分1阶前向阶前向差分差分2阶前向阶前向差分差分n阶前向阶前向差分差分)()1()(2kekeke )()1(2)2(kekeke )()1()(11kekekennn dt)(d)(lim0teTkeT )1()()(kekeke后向后向差分差分1阶后向阶后向差分差分2阶后向阶后向差分差分n阶后向阶后向差分差分)1()()(2 kekeke)2()1(2)(kekeke)1()()(11 kekekennndt)(d)(lim0teTkeT 7.4.1 线性常系数差分方程及其解法线性常系数差分方程及其解法(2)差分方程差分方程)()1()2()1()(121nkc
18、ankcakcakcakcnn n n阶线性定常离散系统阶线性定常离散系统(后向后向)差分方程差分方程01m()(-1)+(-m)b r kbr kb r k1(+)(+1)()nc k na c k na c k(前向前向)差分方程差分方程01m(+)(+m-1)+()b r k mbr kb r k(3)差分方程的解法差分方程的解法 经典法经典法 求出齐次方程通解和非齐次方程一个特解求出齐次方程通解和非齐次方程一个特解 迭代法迭代法 Z Z变换法变换法 )0(0)()(1)()(3)(4)(ttettrtetete 解解)()1()()1()()(1kekeTkekeTketeT 例例1
19、1 已知连续系统微分方程:已知连续系统微分方程:现将其离散化,采用采样控制方式现将其离散化,采用采样控制方式(T=1),求相应的前向,求相应的前向 差分方程并解之差分方程并解之。)()1(2)2()()1()()(122kekekeTTkeTkeTketeT )0(0)()(1)(8)1(6)2(kkekkekeke解解差分方程解法差分方程解法I 迭代法迭代法 )0(0)()(1)(8)1(6)2(kkekkekeke)(1)(8)1(6)2(kkekeke :1 k0)1(1)1(8)0(6)1(eee:0 k1100)0(1)0(8)1(6)2(eee:1 k7106)1(1)1(8)2(
20、6)3(eee:2 k3511876)2(1)2(8)3(6)4(eee )4(35)3(7)2()(*tttte 解解差分方程解法差分方程解法II z 变换法变换法)2)(1(lim)4)(1(lim)4)(2(lim141211 zzzzzzzzzzzznznznz2Z(68)()1()1zzzE zZkz求 变换得:)0(0)()(1)(8)1(6)2(kkekkekeke)(1)(8)1(6)2(kkekeke ()(1)(2)(4)zE zzzz1Z()Res()ne nE zz求 反变换得:124326nn)(642231)()()(00*nTtnTtnTetennnn 7.4 7
21、.4 脉冲传递函数脉冲传递函数1.1.脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义2.2.开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数3.3.闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数1.1.脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 z z传递函数,脉冲传递函数传递函数,脉冲传递函数 零初始条件下,输出量的采样信号的零初始条件下,输出量的采样信号的z z变换与输入量的采样信变换与输入量的采样信号的号的z z变换之比。变换之比。()()()()()()()()()()Z c tC zG zZ g tZ g tZ r tR zG zZ G sZ G s通常在输出端虚设一个理想采样开关,与输入采样开关同步工作通常在输
22、出端虚设一个理想采样开关,与输入采样开关同步工作采样拉氏变换两个重要性质采样拉氏变换两个重要性质采样函数的拉氏变换具有周期性*()()sG sG sjk采样函数拉式变换E*(s)与连续函数拉氏变换G(s)相乘后离散化,则E*(s)可从离散符号中提出来*()()()()G s E sG s E sG G1 1(S)(S)G G2 2(S)(S)(*tCC(t)C(t)()r tT T*()r t一一.线性离散系统的开环脉冲传函线性离散系统的开环脉冲传函1.1.串联环节之间无同步采样开关串联环节之间无同步采样开关两个串联线性环节之间没有采样开关隔离时两个串联线性环节之间没有采样开关隔离时,其脉冲传
23、函为两个其脉冲传函为两个环节的传函相乘之积的环节的传函相乘之积的Z Z变换。变换。结论可推广到结论可推广到n n个环节串联的情况。个环节串联的情况。12()()()()C sG s G s rs*1212()()()()()()()Z c tC zG zZ GGsGG zZ r tR z*12()()()CsGGs rs*12()()()CsGGsrs1212-10T-10T*11:G(Z)ZG G(S)G G(Z)=Z0.1S 1 SZ(1-e)(Z-1)(Z-e)解例例.求右图所示的两个串联环节的脉冲传函求右图所示的两个串联环节的脉冲传函,其中其中1211G(S),G(S)S0.1S 1其
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