自动控制理论第2章课件.ppt
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1、2.2 控制系统的微分方程一、建立系统或元件的微分方程的步骤一、建立系统或元件的微分方程的步骤 1、确定系统或元件的输入量和输出量 2、依据各个变量之间遵循的物理或化学定律,列出一组微分方程 4、对微分方程进行整理,写成标准形式,即输出量放左边,输入 量放右边,按降幂排列。3、消去中间变量,写出系统输入和输出变量的微分方程例例2-12-1 图示电路,列写微分方程)()()()(tutRidttdiLtuoidttduCtio)()(22()()()()oooid u tdu tLCRCu tu tdtdt例例2-22-22221)()()()(dttydmtFtFtF)()()()(21tky
2、tFdttdyftF22)()()()(dttydmtkydttdyftF)(1)()()(22tFktydttdykfdttydkm整理后图示是弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下,位移x(t)的运动方程。解:f-阻尼系数 k-弹性系数 根据牛顿第二定律式中例例2-32-3 列写两级RC电路的微分方程 解:解:根据克希霍夫定律,可写出下列方程组)()()(111tutiRtur)()()(221tutiRtucdtiiCtu)(1)(2111dttiCtuc)(1)(22消去中间变量 1u1i2i)()()()()(212211222211tutudttduCRC
3、RCRdttudCRCRrccc该电路是由两个一级RC电路串联而成,后一级RC电路中的电流影响着前一级RC电路的输出电压 ,这就是负载效应。若要消除负载效应,可在两个RC电路之间设置隔离放大器 这时所列写的微分方程为)()()()()(2211222211tutudttduCRCRdttudCRCRrccc例例2-42-4有源网络如图所示。列写输出与输入之间的微分方程 解:解:由运算放大器的基本特性和克希霍夫定律,列写出下列方程11)()(Rtitui23124()()()()()ocu ti t Ru ti ti t RdttduCtitic)()()(212132)()()(RtiRtit
4、uo消去中间变量)()()()(13214342324tuRRRdttduCRRRRRRRtudttduCRiioo例例2-52-5aaaaamcmmfuLRiemmfi电枢输入电压电枢电感电枢电阻电枢电流电枢反电势电动机转角负载力矩电磁转矩电动机轴上粘性摩擦系数励磁回路电流列写电枢控制的它励直流电动机的微分方程。ua取为输入量,m为输出量。解解:()()mm amtC i t()()()maemedte tCtCdt()()()()aaaa aadi tu tLR i te tdt22()()()()mmmcmmdtdtmtm tfJdtdt消去中间变量 dttdCCRfdttdLfRJdt
5、tdLJmemammamammam)()()()()(2233()()()cmaaacdm tC u tLR m tdt这是三阶线性常系数微分方程,描述了电机转角与电枢电压和负载力矩之间的关系 忽略电枢电感 22()mmmamamemaacddJ Rf RC CC uR mdtdt得 22mmmmancddTK uK mdtdt其中)CCRf/(RJTemamamm)/(emammmCCRfCK)/(emamanCCRfRK若以mmddt为输出量mmmmancdTK uK mdt例例2-6 直流调速控制系统如图所示。以给定电压为系统的参考输入,电动机转速为系统的输出,列写微分方程。)()()(
6、tututeTr 解:解:)()(teKtuaa)()()(tuKtdttdTammmm)()(tKtumtT消去中间变量)()()1()(tuKKtKKKdttdTrmamtmamm例例2-72-7位置随动系统如图 所示,以手柄给定转角系统的输入,工作机械的转角为系统的输出,列写系统的微分方程。桥式电位计 cresseuK放大器 saauKu 电动机 mmamCimaedeCdtaaaaaadiuLR iedt22mmmcddJfmmdtdt电机输入输出方程为 dtdCCfRdtdfLJRdtdJLmemamaama)()(2233cmaaacdmC uLR mdt减速器 mci1工作机械
7、2LmJJJi2LmfffiLcmmi消去中间变量 cmascemacaacaiCKKdtdCCfRdtdfLJRdtdJL)()(223322samaaLrLK K CLRdmmiidtiaL0Lm iRCKKKamasaemRCCfF若忽略的数值,考虑,并令 rcccKKdtdFdtdJ22可简化为 位置随动系统的数学模型是一个二阶线性常系数微分方程 二、非线性微分方程的线性化 能够用线性微分方程描述的系统,称为线性系统。线性系统的重要性质是满足叠加原理,即具有可加性和齐次性。对线性系统进行分析和设计时,如果有几个外部输入同时加在系统上,则可以对各个输入分别处理。可加性和齐次性使线性系统的
8、分析大为简化。严格地说,构成控制系统的各类元件的输入变量和输出变量之间都存在不同程度的非线性特性,将非线性微分方程在一定条件下转化为线性微分方程的方法,称为非线性微分方程的线性化“小偏差法”是常用的一种线性化方法 考虑到实际控制系统都有一个设定工作状态,即系统中各个变量都在各自的设定值(工作点、平衡点)附近作小范围变化,“小偏差法”的基本思想是,对于描述非线性元件输入与输出之间特性的非线性函数,在元件工作点邻域内展开成泰勒级数,在能够忽略二次以上各项的条件下,用泰勒展开式的一次项近似表示元件输入输出特性函数,使得系统中非线性元件线性化,从而使描述系统的非线性微分方程线性化。使用小偏差法的步骤包
9、括:1将非线性元件线性化2将非线性微分方程增量化3将非线性微分方程线性化 20202000)()(!21)()()(xxdxxfdxxdxxdfxfy220200)(!21)(xdxxfdxdxxdfyyxdxxdfy)(0例例2-8 单容水箱液位系统如图所示。1q为水箱的流入量,2q为流出量,水箱液面高度为 h,水箱的截面积为 S列写 h1q与 之间的线性化微分方程。1qh2q解:解:设流体是不可压缩的,根据物质守恒定律,有 12qqdhdtS通过负载阀(节流阀)的液体是紊流,根据流体力学 2qa h是与负载阀的特性有关的系数,阀的开度一定时为常数。a11dhahqdtSS这是一个一阶非线性
10、微分方程。液位系统在平衡点附近小范围内工作时,各变量可以表示为 011012202 hhhqqqqqq0022222200021)()()()2!h hh hdqd qq hq hhhhhdhdh(02220()h hdqq hq hhdh(0202h hdqadhh2hR q ahR02称为水阻 考虑平衡点处 00hhdtdh1020qq12qqd hdtS1d hRShR qdt 是系统的非线性微分方程的线性化结果,是平衡点附近的线性增量方程。简记为 1dhRShRqdt 例例2-92-9铁芯线圈及其非线性特性如图 ru为输入,i为输出 列写微分方程并进行线性化。解:解:RiuuLr()(
11、)Ldidi diudtdidt()LdiuL idtruRidtid)(是一个非线性微分方程。202200)(!21)()(00iididiididiiiii忽略二次方以上的各项,得到)(000iididiiididii0iL ruuiiRdtd000)()(ruiRdtidL使用小偏差法进行线性化时,须注意满足它的应用条件:(1)要求输入输出变量在平衡点附近作小范围变化,否则忽略泰勒展开式的二次方以上各项,会产生大的误差。(2)要求非线性特性曲线在平衡点处连续可导,对某些非线性特性,平衡点处的导数不存在,不能使用小偏差法。三、三、用拉氏变换求解线性常系数微分方程用拉氏变换求解线性常系数微分
12、方程 线性常系数微分方程的求解可以采用拉氏变换法。求解过程如下:1对微分方程进行拉氏变换,得到以s为变量的代数方程,又称变换方程。2将输入量和初始条件代入变换方程进行求解,得到输出量的拉氏变换函数表达式。3将输出量的拉氏变换函数表达式化为部分分式。4对部分分式进行拉氏反变换,得到输出量的时域表达式,即为微分方程的全解。例例210 求得RLC无源网络的输入输出微分方程)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo1HL 1FC 1R)(1)(ttui(0)0.1Vou(0)0.1Ai)(tuo已知求输出电压对微分方程两边进行拉氏变换 解:解:ssUussUususUsooooo
13、o1)()0()()0()0()(2(0)(0)0.1AoiCu(0)0.1Vous)1(12.01.0)(22ssssssUo43)21(35.043)21()21(9.0118.09.01)(222sssssssssUo0 50.5323()1 0.9cos0.35sin223ttou tetet.2.3 2.3 线性定常系统的传递函数线性定常系统的传递函数一、传递函数的定义和性质一、传递函数的定义和性质2222()()()()(0)0,(0)0,(1)()()()1()()1cccrcccrcrRLCd u tdu tLRCu tu tdtdtuuLCsRCsUsUsUsG sUsLCs
14、RCs网络的微分方程:设初始值则定义定义:线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量的线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比拉氏变换之比二、传递函数的一般形式二、传递函数的一般形式11101111010101111()()()()()()()()()()(nnnnnnmmmmmmnmnnnndddac tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tdtdtdtc tr taaabbba sasa sa线性定常系统的微分方程一般为系统输出量,系统输入量,都是与系统结构参数有关的常系数。设初始条件为零,则01110)()()()m
15、mmmC sb sbsb sb R s *1212*()()()()()()()(1,2,)()0()mnmniszszszG sKspspspbKaz imM smG s传递函数也可写为其中传递系数或根轨迹增益是分子多项式方程的 个根,称为的零点。根据传递函数的定义)()()()()(01110111sDsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm000,(0)bsGa如令称为系统的静态放大倍数 确定。,的值由、的极点。称为个根,的是分母多项式方程mniiibbaapzsGnsNnip00)(0)(),2,1(1、传递函数的概念只适用于线性定常系统;2、传递函数是复变量S的有
16、理真分式,即 且所有的系数均为实数。3、传递函数中各项系数完全取决于系统的结构参数,并且与微分方程的各项系数相等。4、传递函数是零初始条件下定义的,它与输入信号的拉氏变换的乘积仅反映零状态响应的规律。5、传递函数只表示单输入单输出身体的输入输出关系,不能反映中间变量的情况。多输入多输出系统要用传递函数矩阵表示。nm 三、关于传递函数的几点说明三、关于传递函数的几点说明 )()()()()()()(1)()()()()()()(61tkLsGtksGLtksGsCsRttrsRsGsCt为单位脉冲响应反变换。函数的拉氏,输出信号正好是传递、当系统的输入信号为KsGKtKrtc)()()(传递函数
17、放大系数(增益)微分方程12E11K21K)(tu四、典型环节及其传递函数四、典型环节及其传递函数任何一个复杂的系统,从结构上看都可以由不同的元部件组成。从数学模型来看,一个复杂系统的传递函数,可以分解成一些具有典型特性的环节。1.比例环节112111maxmax1)()()()()()()()()(KssUsGtuttKtKtKtuEK输出输入,为电刷最大转角 K1)(1s)(2s-)(sU)(s11)()()()(2TssGtrtcdttdcT传递函数微分方程、惯性环节mmmmancdTK uK mdt由例2-5,微分方程为()0,()()(1)()()()()()1mcmmmammmam
18、mamdtmTtK u tdtT ssK UssKG sUsT s根据线性系统的叠加原理,令在零初始条件下.3、微分环节ssGdttdrtc)()()(传递函数微分方程sKssUsGKssUsGssKsKsUdttdKtKtutttttt)()()()()()()()()()()()(测速发电机)(sU)(stK)(sU)(stK sssRsCsGtrdttdc1)()()()()(4传递函数微分方程、积分环节由例2-5,电枢控制的它励直流电动机2()()()()()0()()()(1)mmmmanccmmamdtdtTK u tK m tdtdtMtsKG sUss T s令)(sU)(sU
19、as11mmKT s 1)()()()(5ssGtrdttdrtc传递函数微分方程、一阶微分环节无源网络(微分校正电路)rucuC1R2R22112121212()11()1()1/1crUsRRR CssG sKR R CUsRRTsRRssCRR校21211212RR R CKRCTRRRRnm校式中由于一阶微分环节,物理上不可实现,实际微分电路是加进惯性环节近似实现。)(sUc)(sUr1s1TsK校)(1)()()(22tFktydttdykfdttydkm222226()()2()()(01)1()(01)21d c tdc tTTc tr tdtdtG sT sTs、振荡环节微分方
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