人教A版高中数学选择性必修一《2.1.2两条直线平行和垂直的判定》教案.docx
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1、2.1.2 两条直线平行和垂直的判定本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程,本节课主要学习两条直线平行和垂直的判定。直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系,它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习,而在坐标系下,运用代数方法即坐标法,是一种新的观点和方法,需要学生理解和感悟。两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的,并且研究讨论的手段和方法也相类似,因此,在教学时采用对比方法,以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是,当两条直线中有一条不存在斜率时,容易得到两条直线垂直的充要条件,这也值得略加说明.课程目标学科素养A. 理解两条直线平行与垂直
2、的条件.B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.1.数学抽象:两条直线平行与垂直的条件2.逻辑推理:根据斜率判定两条直线平行或垂直3.数学运算:利用两直线平行或垂直的条件解决问题4.直观想象:直线斜率的几何意义,及平行与垂直的几何直观1.教学重点:理解两条直线平行或垂直的判断条件 2.教学难点:会利用斜率判断两条直线平行或垂直多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有
3、一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?二、探究新知(一)、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为1,2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:前提条件1=2901=2=90对应关系l1l2k1=k2l1l2两直线斜率都不存在图示点睛:若没有指明l1,l2不重合,那么k1=k2l1l2,或l1与l2重合,用斜率证明三点共线时,常用到这一结论.1.对于两条不重合的直线l1,l2,“l1l2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,
4、则两直线一定平行;反过来,两直线平行, 有可能两直线斜率均不存在.2.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1l2,则x=.解析:由题意知l1x轴.又l1l2,所以l2x轴,故x=2.答案:23思考辨析(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行()(2)若l1l2,则k1k2.()(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直()(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行()答案:(1)也可能重合(2)l1l2,其斜率不一定存在(3)不一定垂直,只有另一条直线斜率为0时才垂直(4)
5、(二)、两条直线垂直与斜率之间的关系 对应关系l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1l2k1k2=-1l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是l1l2.图示点睛:“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.4.若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是.解析:由根与系数的关系,知k1k2=-1,所以l1l2.答案:l1l2三、典例解析例1 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:(1)l1经过点A(-
6、1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2);(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);(4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).思路分析: 斜率存在的直线求出斜率,利用l1l2k1=k2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.解:(1)k1=1-(-2)2-(-1)=1,k2=-1-4-1-3=54,k1k2,l1与l2不平行.(2)k1=1,k2=2-12-1=1,k1=k2,故l1l2或l1与l2
7、重合.(3)k1=0-11-0=-1,k2=0-32-(-1)=-1,则有k1=k2.又kAM=3-1-1-0=-2-1,则A,B,M不共线.故l1l2.(4)由已知点的坐标,得l1与l2均与x轴垂直且不重合,故有l1l2.延伸探究 已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若ABMN,则m的值为.解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;当m-2,且m-1时,kAB=4-mm-(-2)=4-mm+2,kMN=3-1m+2-1=2m+1
8、.因为ABMN,所以kAB=kMN,即4-mm+2=2m+1,解得m=0或m=1.当m=0或1时,由图形知,两直线不重合.综上,m的值为0或1.答案:0或1 判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,求a的值.思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于
9、-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1l2.(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1l2,满足题意.当直线l1的斜率k1存在时,a5,由斜率公式,得k1=3-aa-2-3=3-aa-5,k2=a-2-3-1-2=a-5-3.由l1l2,知k1k2=-1,即3-aa-5a-5-3=-1,解得a=0.综上所述,a的值为0或5. 两直线垂直的判定方法 两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在
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