人教A版高中数学选择性必修二全一册教案（共计20课时）.zip

4.1 数列的概念（数列的概念（1）本节课选自2019 人教 A 版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习数列的概念与表示“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等。数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.课程目标课程目标学科素养学科素养A.理解数列的有关概念与数列的表示方法.B.掌握数列的分类.C.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.D.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.1.数学抽象：数列的概念及表示、数列的分类 2.逻辑推理：求数列的通项公式 3.数学运算：运用数列通项公式求特定项 4.数学建模：数列的概念重点：数列的有关概念与数列的表示方法 难点：数列的函数特征多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情景导学一、情景导学古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.那么什么叫数列呢?二、问题探究二、问题探究1.王芳从一岁到 17 岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：75,87,96,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168 记王芳第i岁的身高为 ，那么1=75,2=87,，17=168.我们发现中的i反映了身高按岁数从 1 到 17 的顺序排列时的确定位置，即1=75 是排在第 1 位的数，2=87是排在第 2 位的数，17=168 是排在第17 位的数，它们之间不能交换位置，所以具有确定顺序的一列数。2.在两河流域发掘的一块泥板（编号 K90，约生产于公元前 7 世纪）上，有一列依次表示一个月中从第 1 天到第 15 天，每天月亮可见部分的数：5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.记第i天月亮可见部分的数为,那么1=5,2=10,，15=240.这里，中的i反映了月亮可见部分的数按日期从 115 顺序排列时的确定位置，即1=5 是排在第 1 位的数，2=10 是排在第 2 位的数 通过古诗及生活中的情景，引导学生运用数学眼光，分析问题，进行数学分析。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过具体问题的思考和分析，帮助学生观察、分析、归纳总结出数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。15=240 是排在第 15 位的数，它们之间不能交换位置，所以，也是具有确定顺序的一列数。3.-12的n次幂按 1 次幂，2 次幂,3 次幂,4 次幂依次排成一列数：-12，14，-18，1 16 思考：思考：你能仿照上面的叙述，说明也是具有确定顺序的一列数吗？一、数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 1 项,常用符号 a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第 2 项,用 a2表示第 n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项,用 an表示.其中第 1 项也叫做首项.3.表示:数列的一般形式是 a1,a2,an,简记为an.点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如 1,2,3,与 3,2,1就是不同的数列.(2)符号an和 an是不同的概念,an表示一个数列,而 an表示数列中的第 n 项.二、数列的分类 类别 含义有穷数列项数有限的数列按项的个数无穷数列项数无限的数列按项的变递增数列从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列通过数列概念的解读，并与集合、函数概念的比较，深化对数列概念的理解。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。递减数列从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列化趋势摆动数列从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列三、数列与函数 数列an是从正整数集 N*(或它的有限子集1,2，n)到实数集 R的函数，其自变量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an，记为 anf(n)另一方面，对于函数 yf(x)，如果 f(n)(nN*)有意义，那么 构成了一个数列f(n)f(1)，f(2)，f(n)，1.下列叙述正确的是()A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列 1,3,5,7 可表示为1,3,5,7D.同一个数在数列中不可能重复出现解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A 错误;数列 1,3,5,7 与由实数 1,3,5,7 组成的集合1,3,5,7是两个不同的概念,C 错误;同一个数在数列中可能重复出现,如 2,2,2,表示由实数 2 构成的常数列,D 错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B 正确.答案:B四、数列的通项公式 如果数列an的第 n 项 an与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*(或它的有限子集)1,2,n为定义域的函数表达式.通过典型例题，加深学生对数列概念的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,的通项公式可以写成 an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos n 等.1.若数列an的通项公式是 an=n2-1,则该数列的第 10 项a10=,224 是该数列的第项.解析:a10=102-1=99.令 an=n2-1=224,解得 n=15,即 224 是该数列的第 15 项.答案:9915三、三、典例解析典例解析例 1.根据下列数列an的通项公式，写出数列的前 5 项,并画出它们的图像.（1）=2+2;（2）=(1)2解:（1）当通项公式中的 n=1，2，3，4，5 时，数列an的前 5 项依次为 1,3,6,10,15如图所示(1)（2）当通项公式中的 n=1，2，3，4，5 时，数列 an的前 5 项依次为 1,0,-1,0,1如图所示(2)例 2.根据数列的前 4 项,写出下列数列的一个通项公式:(1)12,2,92,8,252,;(2)1,-3,5,-7,9,;(3)9,99,999,9 999,;(4)22-11,32-23,42-35,52-47,;(5)-11 2,12 3,-13 4,14 5,;(6)4,0,4,0,4,0,.通过典型例题，帮助灵活运用数列的概念解决问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。解:(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,12,42,92,162,252,所以,它的一个通项公式为 an=22.(2)数列各项的绝对值分别为 1,3,5,7,9,是连续的正奇数,其通项公式为 2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加 1 后,分别变为 10,100,1 000,10 000,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为 an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从 1 开始的奇数列,其通项公式为 2n-1;分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为 n,综合得原数列的一个通项公式为 an=(+1)2-2-1=2+12-1.(5)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是 an=(-1)n1(+1).(6)由于该数列中,奇数项全部都是 4,偶数项全部都是 0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即 an=4,为奇数,0,为偶数.又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通项公式又可表示为 an=2+2(-1)n+1.根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.2.常见数列的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,的一个通项公式是 an=(-1)n,数列 1,-1,1,-1,的一个通项公式是 an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)数列 1,2,3,4,的一个通项公式是 an=n.(3)数列 1,3,5,7,的一个通项公式是 an=2n-1.(4)数列 2,4,6,8,的一个通项公式是 an=2n.(5)数列 1,2,4,8,的一个通项公式是 an=2n-1.(6)数列 1,4,9,16,的一个通项公式是 an=n2.(7)数列 1,3,6,10,的一个通项公式是 an=(+1)2.(8)数列 1,12,13,14,的一个通项公式是 an=1.跟踪训练 1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数:(1)1,13,15,17;(2)212,414,618,8116;(3)3,5,9,17;(4)23,415,635,863;(5)7,77,777,7 777.解:(1)an=12-1;(2)an=2n+12;(3)an=2n+1;(4)an=2(2)2-1;(5)an=79(10n-1).例 3(1)已知数列an满足 an=n2-5n-6,nN*.数列中有哪些项是负数?当 n 为何值时,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知数列an的通项公式 an=(n+1)1011(nN*),试问数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.分析:(1)根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;根据二次函数的性质即可求出.(2)数列an的通项计算 an+1-an确定单调性求解最大(小)项(1)解:an=n2-5n-60,解得 0n6.nN*,数列中第 1,2,3,4,5 项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6.an=n2-5n-6=-522494,当 n=2,3 时,an取得最小值,最小值为-12.(2)解法一:an+1-an=(n+2)1011+1-(n+1)1011=10119-11,当 n0,即 an+1an;当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an;当 n9 时,an+1-an0,即 an+1an.故 a1a2a3a11a12,数列中有最大项,最大项为第 9,10 项,即 a9=a10=1010119.解法二:设 ak是数列an的最大项,则-1,+1,即(+1)1011 1011-1,(+1)1011(+2)1011+1,整理,得10+10 11,11+11 10+20,得 9k10,所以 k=9 或 k=10.又 a1=20111)找到数列的最大项;利用不等式组-1,+1(n1)找到数列的最小项.变式探究：在本例(2)中,若已知数列的通项公式 an=1+398,nN*,试求该数列an的最小项.解:设第 n 项 an最小,则-1,+1,即1+3981+298-1,1+3981+498+1,解得 6,5,所以 5n6,所以 n=5 或 n=6.又 a1=932a5=a6,即 a5与 a6都是数列的最小项,且 a5=a6=9586.三、达标检测1.下列各项表示数列的是()A.,B.2 008,2 009,2 010,2 017C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D.a+b,a-b,ab,a解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有 B 项符合.答案:B通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是()A.1,2,3,20B.-1,-2,-3,-n,C.1,2,3,2,5,6,D.-1,0,1,2,100,解析:由递增数列和无穷数列的定义知 D 项正确.答案:D3.观察图中 5 个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第 n 个图中有小圆圈.分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第 n 个图形中小圆圈的个数.解析:观察图中 5 个图形小圆圈的个数分别为1,12+1,23+1,34+1,45+1,故第 n 个图中小圆圈的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.答案:n2-n+14.已知数列an的通项公式为 an=log3(2n+1),则 a3=.解析:观察可得数列的一个通项公式是 an=4-1,而 53=75=4 19-1,所以 53是该数列的第 19 项.答案:19 5.已知数列3,7,11,15,则 53是该数列的第项.解析:an=log3(2n+1),a3=log3(23+1)=log39=2.答案:26.在数列an中,已知 an=2+-13(nN*).(1)写出 a10,an+1.(2)7923是不是该数列中的项?如果是,是第几项?解:(1)a10=102+10-13=1093;an+1=(+1)2+(+1)-13=2+3+13.(2)令 an=2+-13=7923,解得 n=15(n=-16 舍去),所以 7923是该数列中的项,并且是第 15 项.7.已知数列an的通项公式 an=2+3(kR).(1)当 k=1 时,判断数列an的单调性;(2)若数列an是递减数列,求实数 k 的取值范围.学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项 an与 an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出 an与 an+1的大小关系,从而确定k 的取值范围.解:(1)当 k=1 时,an=2+3,所以 an+1=+12+5,所以 an+1-an=+12+52+3=3(2+5)(2+3)0,故数列an是递增数列.(2)若数列an是递减数列,则 an+1-an0 恒成立,即 an+1-an=+2+52+3=3(2+5)(2+3)0,所以必有 3k0,故 k0.四、小结数列的概念与表示数列的定义数列的表示数列的分类数列的函数特征数列的通项公式五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。4.1 数列的概念（数列的概念（2）本节课选自2019 人教 A 版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习数列的递推公式及数列的前 n 项和与通项的关系。“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系、数列的递推公式及数列的前 n 项和与通项的关系等。数列作为一种特殊的函数，是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.课程目标课程目标学科素养学科素养A.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.B.会利用数列的前 n 项和与通项的关系求通项公式.1.数学抽象：数列递推公式 2.逻辑推理：数列的前 n 项和与通项的关系 3.数学运算：用递推公式求数列的特定项及通项 重点：数列递推公式及数列的前 n 项和与通项的关系难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前 n 项和与通项的关系求通项公式多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、课前小测一、课前小测1数列an的通项公式为 an12(n1)(n1)，则 a5()A10 B12 C14 D16B解析：由题意，通项公式为 an12(n1)(n1)，则 a512(51)(51)12.故选 B.2由数列前四项：32，1，58，38，则通项公式na _22nn【详解】由题意，该数列前四项可变为：32，44，58，616，由此可归纳得到数列的通项公式为22nnna3已知数列的前几项是0、14、29、316、，写出这个数列的一个通项公式是_*21nnanNn【详解】该数列的前四项可表示为1201a，2212a，3223a，4234a，因此，该数列的一个通项公式为*21nnanNn.二、新知探究二、新知探究例例 4.图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中 4 个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，写出这个数列的通项公式通过课前小测，进步深化学生对数列概念的理解和运用。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。解：在图中（1）（2）（3）（4）中，着色三角形个数依次为 1,3,9,27即所求数列的前 4 项都是 3 的指数幂，指数为序号减 1，因此这个数列的通项公式是=31 换个角度观察图中的 4 个图形，可以发现1=1，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为 3 个着色小三角形和1 个无色小三角形，于是从第 2 个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的三倍，这样，例 4 中的数列的前 4 项满足1=1，2=31，3=32，4=33由此猜测，这个数列满足公式=1，=131,2通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映了 an与 n 之间的关系,即已知 n 的值,就可代入通项公式求得该项的值 an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求 an,需将与之联系的各项依次求出.一、数列的递推公式一、数列的递推公式 像=31(2)这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式递推公式，知道了首项和递推公式就能求出数列的每一项了1.设数列an满足 a1=1,an=1+1an-1(nN*,n1),则 a3=.解析:由已知,得 a2=1+11=2,a3=1+12=32.答案:32二、数列的通项与前 n 项和1.数列an从第 1 项起到第 n 项止的各项之和,称为数列an的前 n项和,记作 Sn,即 Sn=a1+a2+an.如果数列an的前 n 项和 Sn与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前 n 项和公式.2.an=1,=1,-1,2.通过具体问题的思考和分析，帮助学生认识数列中的递推公式。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。点睛(1)已知数列an的前 n 项和 Sn,求 an,一般使用公式 an=Sn-Sn-1(n2),但必须注意它成立的条件(n2 且 nN*).(2)由 Sn-Sn-1求得的 an,若当 n=1 时,a1的值不等于 S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即 an=1,=1,-1,2.2.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)递推公式也是表示数列的一种方法()(2)所有数列都有递推公式()(3)anSnSn1成立的条件是 nN*.()（1）（2）（3）3.已知数列an的前 n 项和 Sn=n2+2,求数列an的通项公式.解:a1=S1=1+2=3,而 n2 时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-(n-1)2+2=2n-1.在中,当 n=1 时,21-1=1,故 a1不适合式.数列an的通项公式为 an=3,=1,2-1,2.三、三、典例解析典例解析例 1 已知数列an,a1=1,且满足 an=3an-1+(-1)2(nN*,且 n1),写出数列an的前 5 项.分析:由 a1的值和递推公式,分别逐一求出 a2,a3,a4,a5的值.解:由题意,得 a2=3a1+(-1)22,而 a1=1,所以 a2=31+(-1)22=72.同理 a3=3a2+(-1)32=10,a4=3a3+(-1)42=612,a5=3a4+(-1)52=91.由递推公式写出数列的项的方法 根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.跟踪训练 1 已知数列an满足 an=4an-1+3,且 a1=0,则此数列的第 5项是()A.15B.255 C.16 D.63通过数列的通项与前 n 项和的认识，帮助学生理解数列求和概念。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。解析:因为 a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B跟踪训练 2.已知数列an，a12，an12an，写出数列的前 5 项，并猜想通项公式解：由 a12，an12an，得：a22a122422，a32a224823，a42a3281624，a52a42163225，猜想 an2n(nN*)例 2 若数列an的前 n 项和 Sn=-2n2+10n,求数列an的通项公式.解:Sn=-2n2+10n,Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n2).当 n=1 时,a1=-2+10=8=-41+12.此时满足 an=-4n+12,an=12-4n.变式探究：试求本例中 Sn的最大值.解:Sn=-2n2+10n=-2-522+252,又nN*,当 n=2 或 n=3 时,Sn最大,即 S2或 S3最大.已知数列an的前 n 项和 Sn，求通项公式的步骤：(1)当 n1 时，a1S1.(2)当 n2 时，根据 Sn写出 Sn1，化简 anSnSn1.(3)如果 a1也满足当 n2 时，anSnSn1的式子，那么数列an的通项公式为 anSnSn1；如果 a1不满足当 n2 时，anSnSn1的式子，那么数列an的通项公式要分段表示为 anError!Error!跟踪训练 3.已知数列an 的前 n 项和 Sn3n22n 1，则 an_.解析：Sn3n22n1，Sn13(n1)22(n1)13n28n6.当 n2 时，通过典型例题，加深学生对数列递推公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，帮助灵活运用数列前 n 项和anSnSn1(3n22n1)(3n28n6)6n5.又当 n1 时，a1S12 不适合上式，anError!Error!与通项公式的关系，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.已知数列an,a1=1,an+1=12an+12,则该数列的第 3 项等于()A.1B.14 C.34D.58解析:a2=12a1+12=1,a3=12a2+122=34.答案:C 2.已知数列an,an-1=man+1(n1),且 a2=3,a3=5,则实数 m 等于()A.0 B.25 C.2 D.5解析:由题意,得 a2=ma3+1,即 3=5m+1,解得 m=25.答案:B 3.若数列an的通项公式为 an=-2n2+25n,则数列an的各项中最大项是()A.第 4 项B.第 5 项 C.第 6 项 D.第 7 项解析:因为 an=-2n2+25n=-2-2542+6258,且 nN*,所以当 n=6 时,an的值最大,即最大项是第 6 项.答案:C 4.已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n-5an+23,nN*,则数列an的通项公式 an=()A.356-1-1B.356-1C.356-1+1D.356+1解析:当 n=1 时,a1=1-5a1+23,解得 a1=4.当 n2 时,an=Sn-Sn-1=n-5an+23-(n-1-5an-1+23),即 an=56an-1+16,即 an-1=56(an-1-1),故数列an-1是以 3 为首项,56为公比的等比数列,则 an-1=356-1,所以 an=356-1+1.故选 C.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。答案:C 5.(1)已知数列an满足 a1=-1,an+1=an+11+1,nN*,求数列的通项公式 an.(2)在数列an中,a1=1,an=1-1an-1(n2),求数列an的通项公式.分析:(1)先将递推公式化为 an+1-an=11+1,再利用累加法求通项公式;(2)先将递推公式化为-1=-1,再利用累乘法求通项公式.解:(1)an+1-an=11+1,a2-a1=1112,a3-a2=1213,a4-a3=1314,an-an-1=1-11(n2),将以上 n-1 个式子相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=1-12+12-13+1-1-1,即 an-a1=1-1(n2,nN*).an=a1+1-1=-1+1-1=-1(n2,nN*).又当 n=1 时,a1=-1 也符合上式.an=-1.(2)因为 a1=1,an=1-1an-1(n2),所以-1=-1,所以 an=-1-1-2-2-33221a1=-1-2-1-3-223121=1.又因为当 n=1 时,a1=1,符合上式,所以 an=1.四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.4.2.1 等差数列的概念（等差数列的概念（1）本节课选自2019 人教 A 版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习等差数列的概念及其性质数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。课程目标课程目标学科素养学科素养A.理解等差数列的概念B.掌握等差数列的通项公式及应用C.掌握等差数列的判定方法1.数学抽象：等差数列的概念 2.逻辑推理：等差数列通项公式的推导3.数学运算：通项公式的应用4.数学建模：等差数列的应用重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用 难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、导语一、导语 我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前 n 项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。二、新知探究二、新知探究1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是 9 圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81 2.S，M，L，XL，XXL，XXXL 型号的女装上对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48 3.测量某地垂直地面方向上海拔 500 米以下的大气温度，得到从距离地面 20 米起每升高 100 米处的大气温度（单位）依次为25,24,23,22,21 通过导语，通过对函数学习的回顾，帮助学生类比，展望数列学习的路线。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。4.某人向银行贷款万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金(=12)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为,2,3,在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了 A,B 两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？1等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示符号语言an1and(d 为常数，nN*)2等差中项(1)条件：如果 a，A，b 成等差数列(2)结论：那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项(3)满足的关系式是 ab2A.1.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列()(2)数列 0,0,0,0，不是等差数列()(3)在等差数列中，除第 1 项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项();问题探究思考 1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等差数列的首项为1,公差为,根据等差数列的定义，可得+1=所以21=,32=,43=,于是 2=1+,3=2+=(1+)+=1+2,4=3+=(1+2)+=1+3,归纳可得=1+(n 1)(n 2)通过等差数列通项公式的推导，。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。当 n=1时，上式为1=1+(1 1)=1，这就是说,上式当时也成立。因此，首项为1,公差为的等差数列的通项公式为=+()思考 2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？提示还可以用累加法，过程如下：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d(n2)，将上述(n1)个式子相加得ana1(n1)d(n2)，ana1(n1)d(n2)，当 n1 时，a1a1(11)d，符合上式，ana1(n1)d(nN*)从函数角度认识等差数列an若数列an是等差数列，首项为 a1，公差为 d，则 anf(n)a1(n1)dnd(a1d)(1)点(n，an)落在直线 ydx(a1d)上；(2)这些点的横坐标每增加 1，函数值增加 d2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性与公差 d 有关()(3)若三个数 a，b，c 满足 2bac，则 a，b，c 一定是等差数列()解析：(1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列(2)正确当 d0 时为递增数列；d0 时为常数列；d0 时为递减数列(3)正确若 a，b，c 满足 2bac，即 bacb，故 a，b，c 为等差数列 答案(1)(2)(3)3在等差数列an中，a32，d6.5，则 a7()A22 B24C26D28Da7a34d246.528，故选 D.4如果三个数 2a，3，a6 成等差数列，则 a 的值为()A1 B1 C3 D4D由条件知 2a(a6)32，解得 a4.故应选 D.三、三、典例解析典例解析例 1.（1）已知等差数列的通项公式为=5 2，求公差和首项；（2）求等差数列 8,5,2的第 20 项。分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由+1=，即可求出公差，（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第 20 项解：（1）当 2时，由的通项公式为=5 2，可得1=5 2(1)=7 2.于是=1=(5 2)-(7 2)=2.把代入通项公式=5 2，可得1=3（2）由已知条件，得=5 8=3把1=8,=3代入=1+(1),得=8 3(1)=11 3,把=20代入上式，得20=11 3 20=49,所以，这个数列的第 20 项是 49 求通项公式的方法(1)通过解方程组求得 a1，d 的值，再利用 ana1(n1)d 写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法(2)已知等差数列中的两项，可用 d直接求得公差，再利用 anam(nm)d 写出通项公式通过典型例题，加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过 an是关于 n 的一次函数形式，列出方程组求解跟踪训练 1(1)在等差数列an中，已知 a510，a1231，求首项 a1与公差 d.(2)已知数列an为等差数列，a158，a6020，求 a75.解：(1)设等差数列an的公差为 d.a510，a1231，则Error!解得Error!这个等差数列的首项 a12，公差 d3.(2)法一：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，则由题意得Error!解得Error!故 a75a174d64157441524.法二：a60a15(6015)d，d2086015415，a75a60(7560)d201541524.法三：已知数列an是等差数列，可设 anknb.由 a158，a6020 得Error!解得Error!a7575415424.例 2(1)已知 m 和 2n 的等差中项是 8，2m 和 n 的等差中项是 10，则m 和 n 的等差中项是_(2)已知1a，1b，1c是等差数列，求证：bca，acb，abc也是等差数列思路探究(1)列方程组求解 m，n求 m，n 的等差中项(2)(1)6由题意得Error!3(mn)201636，mn12，mn26.(2)证明1a，1b，1c成等差数列，通过典型例题，帮助灵活运用等差数列的中项性质，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。2b1a1c，即 2acb(ac)bcaabccbcaabaca2c2bacaca2c22acac2ac2bac2acb，bca，acb，abc成等差数列等差中项应用策略1.求两个数 x，y 的等差中项，即根据等差中项的定义得 Axy2.2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若 a，b，c 成等差数列，则有 ac2b；反之，若 ac2b，则a，b，c 成等差数列.跟踪训练 2在1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c 使这五个数成等差数列，求此数