人教A版高中数学选择性必修一《3.2.2双曲线的简单几何性质(1)》教案.docx
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1、3.2.2双曲线的简单几何性质 (1)本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程,本节课主要学习双曲线的简单几何性质 学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容,也是高考的一个考点,是深入研究双曲线,灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础,更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法,培养学生的解析几何观念,提高学生的数学素质。坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章,是学生应重点掌握的基本数学方法 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,我们必须充分利用好这部分教材进
2、行教学 课程目标学科素养A.掌握双曲线的简单几何性质.B.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.1.数学抽象:双曲线的几何性质2.逻辑推理:类比椭圆研究双曲线的几何性质 3.数学运算:运用双曲线的标准方程讨论几何性质 4.直观想象:双曲线的几何性质 重点:运用双曲线的方程获得几何性质 难点:双曲线的渐近线及离心率的意义多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 问题导学类比椭圆几何性质的研究,你认为应该研究双曲线x2a2-y2b2=1 (a0,b0),的哪些几何性质,如何研究这些性质?1、范围利用双曲线的方程求出它的范围,由方程x2a2-y2b2=1可得x2a2=1+y2b21 于是,
3、双曲线上点的坐标( x, y)都适合不等式,x2a21,yR所以xa 或x-a; yR2、对称性 x2a2-y2b2=1 (a0,b0),关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心。3、顶点(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点 .顶点是A1-a,0、A2 a,0,只有两个。(2)如图,线段A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做实半轴长;线段B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长。(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线4、渐近线(1)双曲线x2a2-y2b2=1 (a0,b0),的渐近线方程为:y=b
4、ax(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图4、渐近线慢慢靠近5、离心率(1)定义:e = ca(2)e的范围:e 1(3)e的含义:因为ca0,所以可以看出e1,另外,注意到ba=c2-a2a=c2-a2a2=e2-1,说明越趋近于1,则的值越小,因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.如果双曲线C的标准方程是y2a2-x2b2=1 (a0,b0),那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中,那些与焦点在x轴上的双曲线是有区别的?双曲线的几何性质 标准方程图形标准方程性质范围x-a或xa yRy-a或ya xR对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0)
5、,A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线 y=bax y=abx离心率a,b,c间的关系 c2=a2+b2(ca0,cb0)(1)双曲线与椭圆的六个不同点: 双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e10e0,b0)的形状相同. ()(2)双曲线x2a2-y2b2=1与y2a2-x2b2=1(a0,b0)的渐近线相同. ()(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直. ()答案:(1)(2)(3) 2.圆锥曲线x2m+8+y29=1的离心率e=2
6、,则实数m的值为()A.-5B.-35 C.19 D.-11解析:由圆锥曲线x2m+8+y29=1的离心率e=2,说明曲线是双曲线,所以m0,n0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解:把方程nx2-my2=mn(m0,n0)化为标准方程为x2m-y2n=1(m0,n0),由此可知,半实轴长a=m,半虚轴长b=n,c=m+n,焦点坐标为(m+n,0),(-m+n,0),离心率e=ca=m+nm=1+nm,顶点坐标为(-m,0),(m,0),所以渐近线方程为y=nm x,即y=mnmx.例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.(1)过点P(3,-5),离心率为2;(2
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