2019届高考数学一轮复习第五章数列学案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法 1数列的有关概念 概念 含义 数列 按照 一定顺序 排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列 an的第 n 项 an 通项公式 数列 an的第 n 项 an与 n 之间的关系能用公式 an f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前 n 项和 数列 an中， Sn a1 a2 ? an叫做数列的前 n 项和 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示 n 与 an的对应关系 图象法 把点 (n， an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的 通项使用 公式 表示的方法 递推公式 使用初

2、始值 a1和 an 1 f(an)或 a1， a2和 an 1 f(an， an 1)等表示数列的方法 3.通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号 n 的值，直接代入求出 an 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第一项 (或前几项 )的值，通过一次 (或多次 )赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的 an 4.an与 Sn的关系 若数列 an的前 n 项和为 Sn， 则 an? S1， n 1，Sn Sn 1， n2. 5数列的分类 =【 ;精品教育资源文库 】 = 分类的标准 名称 含义 例子 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1

3、,2,3,4， ? ， 100 无穷数列 项数无限的数列 1,4,9， ? ， n2， ? 按项的变化趋势 递增数列 从第二项起，每一项大于它的前一项的数列 3,4,5， ? ， n 递减数列 从第二项起，每一项小于它的前一项的数列 1， 12， 13， ? ， 12 015 常数列 各项都相等的数列 6,6,6,6， ? 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 1， 2,3， 4 按项的有界性 有界数列 任一项的绝对值都小于某一正值 1， 1,1， 1,1， 1， ? 无界数列 不存在某一正值能使任一项的绝对值小于它 1,3,4,4， ? 1判断下列结论是否正

4、确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 ( ) (2)1,1,1,1， ? ，不能构成一个数列 ( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 ( ) (4)如果数列 an的前 n 项和为 Sn，则对 ? n N*，都有 an 1 Sn 1 Sn.( ) 答案： (1) (2) (3) (4) 2已知数列 an的通项公式为 an 9 12n，则在下列各数中，不是 an的项的是 ( ) A 21 B 33 C 152 D 153 解析：选 C 由 9 12n 152，得 n 14312?N*. 3在数列 an中， a1 1， an 1

5、1an 1(n2) ，则 a4 ( ) A.32 B.53 C.74 D.85 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：选 B 由题意知， a1 1， a2 1 1a1 2， a3 1 1a2 32， a4 1 1a3 53. 4已知数列 an满足 a1 1， an an 1 2n(n2) ，则 a7 ( ) A 53 B 54 C 55 D 109 解析：选 C 由题意知， a2 a1 22 ， a3 a2 23 ， ? ， a7 a6 27 ，各式相加得 a7 a1 2(2 3 4 ? 7) 55. 5数列 1， 23， 35， 47， 59， ? 的一个通项公式 an _. 解析：由已知

6、得，数列可写成 11， 23， 35， ? ，故通项公式可以为 an n2n 1. 答案： n2n 1 6已知数列 an的前 n 项和 Sn 2n 3，则数列 an的通项公式 是 _ 解析：当 n 1 时， a1 S1 2 3 1， 当 n2 时， an Sn Sn 1 (2n 3) (2n 1 3) 2n 2n 1 2n 1. 又 a1 1 不适合上式， 故 an? 1， n 1，2n 1， n2. 答案： an? 1， n 1，2n 1， n2 考点一 由 an与 Sn的关系求通项 an 基础送分型考点 自主练透 考什么 怎么考 由 Sn和 an的关系求通项公式是一种常见题型，高考中选择题

7、、填空题、解答题都有呈现，但以解答题的分支命题为重点，近几年来考查难度有所降低 . 考法 (一 ) 已知 Sn，求 an 1已知 Sn 3n 2n 1，则 an _. 解析：因为当 n 1 时， a1 S1 6； 当 n2 时， an Sn Sn 1 (3n 2n 1) 3n 1 2(n 1) 1 23 n 1 2， 由于 a1不适合此式， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 an? 6， n 1，23 n 1 2， n2. 答案：? 6， n 1，23 n 1 2， n2 2 (2017 全国卷 改编 )设数列 an满足 a1 3a2 ? (2n 1)an 2n，则 an_. 解析：因为

8、 a1 3a2 ? (2n 1)an 2n， 故当 n2 时， a1 3a2 ? (2n 3)an 1 2(n 1) 两式相减得 (2n 1)an 2， 所以 an 22n 1(n2) 又由题设可得 a1 2，满足上式， 从而 an的通项公式为 an 22n 1(n N*) 答案： 22n 1(n N*) 题型技法 已知 Sn求 an的 3 步骤 (1)先利用 a1 S1求出 a1； (2)用 n 1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 an Sn Sn 1(n2) 便可求出当 n2时 an的表达式； (3)注意检验 n 1 时的表达式是否可以与 n2 的表达式合并 考法 (二 ) 由

9、 Sn与 an的关系，求 an， Sn 3设数列 an的 前 n 项和为 Sn，且 Sn 2(an 1)(n N*)，则 an ( ) A 2n B 2n 1 C 2n D 2n 1 解析：选 C 当 n 1 时， a1 S1 2(a1 1)，可得 a1 2，当 n2 时， an Sn Sn 1 2an 2an 1， an 2an 1， 数列 an为首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 an 2n. 4 (2015 全国卷 )设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a1 1， an 1 SnSn 1，则 Sn_. 解析： an 1 Sn 1 Sn， an 1 SnSn 1， Sn 1 Sn

10、 SnSn 1. Sn0 ， 1Sn 1Sn 1 1，即 1Sn 1 1Sn 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 1S1 1， ? ?1Sn是首项为 1，公差为 1 的等差数列 1Sn 1 (n 1)( 1) n， Sn 1n. 答案： 1n 题型技法 Sn与 an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化 (1)利用 an Sn Sn 1(n2) 转化为只含 Sn， Sn 1的关系式，再求解 (2)利用 Sn Sn 1 an(n2) 转化为只含 an， an 1的关系式，再求解 考点二 由递推关系式求数列的通项公式 基础送分型考点 自主练透 考什么 怎么考

11、 由数列的递推关系式求通项公式在高考中经常出现，有选择题、填空题，也出现在解答题的第 问中，近几年 考查难度有所降低，但也要引起关注 . 方法 (一 ) 叠乘法求通项公式 1在数列 an中， a1 1， an n 1n an 1(n2) ，则数列 an的通项公式为 _ 解析： an n 1n an 1(n2) ， an 1 n 2n 1an 2， an 2 n 3n 2an 3， ? ， a2 12a1. 以上 (n 1)个式子相乘得 an a1 12 23? n 1n a1n 1n. 当 n 1 时， a1 1，上式也成立 an 1n(n N*) 答案： an 1n(n N*) 方法点拨 叠

12、乘法求通项公式的 4 步骤 =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法 (二 ) 叠加法求通项公式 2设数列 an满足 a1 1，且 an 1 an n 1(n N*)，则数列 an的通项公式为_ 解析：由题意有 a2 a1 2， a3 a2 3， ? ， an an 1 n(n2) 以上各式 相加，得 an a1 2 3 ? n n n2 n2 n 22 . 又 a1 1， an n2 n2 (n2) 当 n 1 时也满足上式， an n2 n2 (n N*) 答案： an n2 n2 (n N*) 方法点拨 叠加法求通项公式的 4 步骤 方法 (三 ) 构造法求通项公式 3已知数列 an满足

13、a1 1， an 1 3an 2，则数列 an的通项公式为 _ 解 析： an 1 3an 2， an 1 1 3(an 1)， an 1 1an 1 3， 数列 an 1为等比数列，公比 q 3， 又 a1 1 2， an 1 23 n 1， an 23 n 1 1(n N*) 答案： an 23 n 1 1(n N*) 方法点拨 构造法求通项公式的 3 步骤 怎样快解 准解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 正确选用方法求数列的通项公式 (1)对于递推关系式可转化为 an 1an f(n)的数列，并且容易求数列 f(n)前 n 项的积时，采用叠乘法求数 列 an的通项公式 (2)对于递

14、推关系式可转化为 an 1 an f(n)的数列，通常采用叠加法 (逐差相加法 )求其通项公式 (3)对于递推关系式形如 an 1 pan q(p0,1 ， q0) 的数列，采用构造法求数列的通项 2避免 2 种失误 (1)利用叠乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到 a2a1，漏掉 a1而导致错误；二是根据连乘求出 an之后，不注意检验 a1是否成立 (2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定叠加、叠乘后最后一个式子的形式 考点三 数列的性质及应用 重点保分型考点 师生共研 从近几年高考可以看出，数列中的最值、周期是高考的热点，一般难度稍大 .在复习中，从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，特别是利用函数的方法研究数列的有关性质 . 典题领悟 1已知数列 an满足 an 1 11 an，若 a1 12，则 a2 018 ( ) A 1 B.12 C 1 D 2 解析：选 D 由 a1 12， an 1 11 an，得 a2 11 a1 2， a3 11 a2 1， a4 11 a3 12， a5 11 a4 2， ? ， 于是可知数列 an是以 3 为周期的周期