[理学]微积分课件全x.ppt

1、2022-7-301复习：复习：P96111预习：预习：P113121 P112 习题习题4.3 4(2)(4).5(4).7.8(3).9(2).10.作作 业业2022-7-302第十讲第十讲 极值与凸性极值与凸性一、极值与最值一、极值与最值二、函数的凸性二、函数的凸性三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线四、函数作图四、函数作图2022-7-303.,000取取得得极极值值在在则则两两侧侧异异号号在在且且导导数数的的某某邻邻域域内内有有一一阶阶在在点点设设函函数数xfxfxf（一）极值的第一充分条件（一）极值的第一充分条件定理定理1：;,0)(),(,0)(),(,0)1(00000极极小小值

2、值取取得得在在则则内内而而在在内内使使在在若若xfxfxxxfxx ;,0)(),(,0)(),(,0)2(00000极极大大值值取取得得在在则则内内而而在在内内使使在在若若xfxfxxxfxx 一、极值与最值一、极值与最值2022-7-304证证 (1)0)(),(,000 xfxx内内使使在在若若 )(,),(00 xfxx内内在在)()(,),(000 xfxfxxx 0)(),(,000 xfxx内内使使在在又又 )(,),(00 xfxx内内在在)()(,),(000 xfxfxxx .,0取取得得极极小小值值在在即即xf2022-7-305;,0)()1(00取取得得极极小小值值在

3、在则则若若xfxf （二）极值的第二充分条件（二）极值的第二充分条件定理定理2：.)(,0)(,000存存在在又又且且导导数数的的某某邻邻域域内内有有一一阶阶在在点点设设函函数数xfxfxf .,0)()2(00取取得得极极大大值值在在则则若若xfxf 证证 (1)0)(,0)(00 xfxf有有根根据据二二阶阶导导数数定定义义,0)(lim00 xxxfxx 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx2022-7-306中中有有使使在在由由极极限限性性质质),(,0,00 xx0)(0 xxxf0)(,),(00 xfxx有有内内在在 0)(,),(00 xfxx有有内内在在.,10取

4、取得得极极小小值值在在知知根根据据定定理理xf2022-7-307.)1()(132的的极极值值求求例例xxxf )(驻驻点点和和不不可可导导点点先先求求可可能能的的极极值值点点3313232532)1()(xxxxxxf 52,0)(xxf得得驻驻点点令令.52,0.0,xxx可可能能的的极极值值点点：故故有有两两个个为为导导数数不不存存在在的的点点又又 解解 2022-7-308x)0,(0)52,0(52),52()(xf0 不存在不存在0极极大大值值极极小小值值320253;,0)0(极极大大值值 f极极小小值值,20253)52(3 f)325()(3xxxf 112022-7-30

5、9的的极极值值求求例例33)(92xaxy )()1(驻驻点点和和不不可可导导点点求求可可能能的的极极值值点点22)(273)(xaxxf 求求导导函函数数,0)(xf令令判判断断驻驻点点是是否否为为极极值值点点)2(.没没有有不不可可导导点点axax23,4321 得得驻驻点点：)89(6)(546xaxaxy ,018)43(aay,0时时当当 a018)23(aay 解解 2022-7-3010有有极极小小值值时时当当故故yax,43 3169ay 极极小小值值为为有有极极大大值值时时当当yax,23 349ay 极极大大值值为为时时当当同同理理可可求求得得0,a3349)23(169)

6、43(aayyaayy 的的极极小小值值为为的的极极大大值值为为2022-7-3011（二）函数的最大、最小值（二）函数的最大、最小值(A)(A)闭区间上连续函数的闭区间上连续函数的最大、最小值最大、最小值欲欲求求其其最最大大、最最小小值值设设,:Rbaf方法如下方法如下:),2,1(:),()1(nixbafi 不可导点不可导点上的所有驻点和上的所有驻点和在在求求 nixfbfafxfibax,2,1),(),(),(max)(max)2(,2022-7-3012.)(.,)(),()1(00最最大大值值或或最最小小值值就就是是所所要要求求的的则则而而且且是是极极值值点点有有唯唯一一的的驻驻

7、点点内内如如果果在在xfxxfba.)(,),()(,)(),()2(00小小值值为为所所要要求求的的最最大大值值或或最最则则内内部部取取得得最最大大值值或或最最小小值值必必在在的的知知道道又又从从实实际际问问题题本本身身可可以以有有唯唯一一的的驻驻点点内内如如果果在在xfbaxfxxfba(B)(B)最大、最小值应用问题最大、最小值应用问题2022-7-3013.21,1)1()(332最最大大、最最小小值值的的在在求求例例 xxxf内内在在由由前前面面的的例例题题知知)21,1()(,xf.0,5221 xx不不可可导导点点有有驻驻点点经经计计算算得得：,0)0(f,2)1(f2)1(,0

8、)0(minmax ffff320253)52(f3281)21(f 解解 2022-7-3014用用料料最最省省？时时多多少少问问底底半半径径与与高高的的比比例例为为铁铁桶桶的的圆圆柱柱形形无无盖盖要要做做一一个个容容积积为为例例,40V所所需需铁铁皮皮面面积积为为高高为为设设底底半半径径为为,hr)0(202 rrVrS 解解 02222)(20320 rVrrVrrS 令令301 Vr 得得唯唯一一驻驻点点2022-7-3015.)(,必必存存在在的的最最小小值值从从问问题题的的实实际际意意义义知知道道rS )(lim,)(lim0rSrSrr又又.,.),0()(,301是是最最小小值

9、值点点唯唯一一驻驻点点从从而而达达到到的的内内部部的的最最小小值值一一定定在在因因此此 VrrS rVVVrVhrr 30320020)(1 .,用用料料最最省省相相等等时时与与高高当当底底半半径径即即hr192022-7-3016截截取取？试试问问应应该该怎怎样样最最大大抗抗弯弯强强度度的的矩矩形形梁梁截截取取一一个个具具有有的的圆圆形形木木中中在在直直径径为为例例.,5d.ohb则则有有设设比比例例系系数数为为成成正正比比的的强强度度与与具具有有矩矩形形截截面面梁梁知知由由材材料料力力学学强强度度为为高高为为设设矩矩形形底底为为kbhyhb,.,22kbhy d31 解解 2022-7-3

10、017.)0()(,22222的的最最大大值值求求函函数数所所以以问问题题化化为为因因为为dbbdbybdh 223bdy 求求导导数数得得3,0dby 得得唯唯一一驻驻点点令令06 by因因为为是是唯唯一一极极大大值值点点所所以以3,db 也也就就是是最最大大值值点点2022-7-3018所所以以有有此此时时,32,dh 1:2:3:bhd.,所所求求即即为为线线这这点点与与直直径径两两端端点点的的连连作作点点等等分分点点作作垂垂线线交交圆圆于于一一在在把把直直径径三三等等分分这这就就是是说说2022-7-3019.,)()()(.,1)()()(,.,:)(2211221121212211

11、221121函函数数上上为为上上凸凸在在则则称称如如果果函函数数下下凸凸上上为为在在则则称称都都成成立立和和的的任任意意非非负负实实数数对对于于满满足足不不等等式式如如果果设设函函数数bafxfxfxxfbafxfxfxxfbaxxRbaxf （一）（一）凸性定义及性质凸性定义及性质二、函数的凸性二、函数的凸性2022-7-3020)(xfy 1x2xxxyo都都有有及及必必要要条条件件是是上上为为下下凸凸的的充充分分在在函函数数,:,)(212121xxxxxbaxxbaxf 性质：性质：xxxfxfxxxfxf 2211)()()()(2022-7-3021).(),()(:)(,),(,

12、)(非非增增内内单单调调非非减减在在函函数数的的充充分分必必要要条条件件是是上上凸凸为为下下凸凸在在则则可可导导开开区区间间在在连连续续在在闭闭区区间间设设函函数数baxfbafbabaxf（二）（二）凸性的判定凸性的判定定理定理1：(用一阶导数判定函数的凸性用一阶导数判定函数的凸性)证证 必要性必要性上上为为下下凸凸函函数数在在区区间间设设,)(baxf2022-7-3022212121:,xxxxxxbaxx 且且有有性性根根据据极极限限的的保保号号都都可可导导与与在在因因为为,)(21xxxf2211)()(lim)()(lim11xxxfxfxxxfxfxxxx 21211)()()(

13、xxxfxfxf 即即2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 有有2022-7-30232211)()(lim)()(lim22xxxfxfxxxfxfxxxx 也也有有)()()(21212xfxxxfxf 即即)()(21xfxf 于于是是有有2121,)(xxxbaxxx 且且充分性充分性有有满满足足存存在在根根据据微微分分中中值值定定理理,:,221121xxx 2022-7-3024)()()(222 fxxxfxf )()()(111 fxxxfxf )()(,21 ff 有有由由已已知知2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 因因此此有有.,)(,下下凸凸的的

14、上上是是在在区区间间函函数数这这就就是是说说baxf2022-7-3025定理定理2：(用二阶导数判定函数的凸性用二阶导数判定函数的凸性).0)(0)(:)(,),(,)(xfxfbafbabaxf的的充充分分必必要要条条件件是是函函数数上上凸凸为为下下凸凸在在则则二二阶阶可可导导内内在在上上连连续续在在设设函函数数定理定理3：(用切线位置判定函数的凸性用切线位置判定函数的凸性)()()(,:,),(,)(0000 xxxfxfxfbaxbafbabaxf 有有分分必必要要条条件件是是为为下下凸凸函函数数的的充充在在则则可可导导间间在在开开区区连连续续在在闭闭区区间间设设函函数数切线位于切线位

15、于曲线下方曲线下方2022-7-3026证证 必要性必要性为为下下凸凸函函数数假假设设 f有有且且,1010 xxxbaxxx 010111)()()()(xxxfxfxxxfxf )()()(00001xfxxxfxfxx 令令)()()(000 xxxfxfxf 2022-7-3027充分性充分性曲曲线线的的切切线线方方程程为为,0bax 0)()()()()(,000 xxxfxfxfxyxfbax有有若若)()()(000 xxxfxfxy )()()(,0000 xfxxxfxfxx 有有时时当当)()()(,0000 xfxxxfxfxx 有有时时当当有有且且,2121xxxbax

16、xx 2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 2022-7-3028.)()(,(,)()(,()(0000的的拐拐点点为为曲曲线线则则称称点点反反在在该该点点两两侧侧曲曲线线凸凸性性相相上上的的一一个个点点，是是曲曲线线设设点点拐拐点点定定义义：xfyxfxxfyxfx 0 xxy)(,(00 xfxo)(xfy （四（四）拐点拐点定理定理1：（拐点必要条件）（拐点必要条件）.0)(,)()(,(,)(000 xfxfxfxxf则则有有拐拐点点的的为为若若有有二二阶阶导导数数设设2022-7-3029.)(,(,0000个个拐拐点点的的一一是是则则两两侧侧异异号号在在若若的的某某邻

17、邻域域内内有有二二阶阶导导数数在在点点设设fxfxxfxf 定理定理2（拐点的充分条件）（拐点的充分条件）证证.0)(.)()(,),(,),(,)()(,(00000000 xfxfxxffxxfxxxfxfx所所以以有有二二阶阶导导数数存存在在处处取取得得极极值值，且且在在单单调调非非减减内内在在非非增增单单调调内内则则在在右右侧侧下下凸凸侧侧上上凸凸不不妨妨设设该该点点左左的的拐拐点点为为 2022-7-3030.,曲曲线线的的渐渐近近线线则则称称该该直直线线为为于于零零某某一一定定直直线线的的距距离离趋趋近近若若此此动动点点到到点点时时动动点点沿沿曲曲线线无无限限远远离离原原xyo)(

18、xfy bkxy PM三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线 2022-7-3031垂垂直直渐渐近近线线)1(垂直渐近线垂直渐近线的的为曲线为曲线则直线则直线或或若若)()()(lim()()(limxfyaxxfxfaxax xyo)(xfy aax 曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法2022-7-3032:)(件件是是斜斜渐渐近近线线的的充充分分必必要要条条的的是是曲曲线线直直线线xfybkxy )0()(lim)1()(kkxxfxx)(lim)2()(kxxfbxx .)(,)(lim)(的的水水平平渐渐近近线线是是曲曲线线则则直直线线若若xfybybxfxx 定理：定理：斜斜渐渐近近线线)3

19、(水水平平渐渐近近线线)2(2022-7-303321)(kbkxxfPM 01)(lim2)(kbkxxfxx0)(lim)(bkxxfxx)1()(lim)(bkxxfxx 证证 必要性必要性的的渐渐近近线线是是曲曲线线设设直直线线)(xfybkxy 2022-7-3034式式及及极极限限运运算算法法则则有有由由已已知知)1(,01lim)(xxx0)(lim)(xkxxfxxkxxfxx )(lim)(0)(lim)(kxxfxx2022-7-3035 证证 充分性充分性 假设下列两个条件同时成立假设下列两个条件同时成立)0()(lim)1()(kkxxfxx)(lim)2()(kxxf

20、bxx 0)(lim)2()(bkxxfxx由由0)()(lim)(bkxxfxx的的渐渐近近线线是是曲曲线线即即)(xfybkxy 2022-7-3036;,)1(和和周周期期性性有有无无奇奇偶偶性性确确定定函函数数的的定定义义域域;)4(求求渐渐近近线线;,)2(极极值值求求函函数数的的单单调调区区间间;)3(间间和和拐拐点点求求函函数数的的上上凸凸、下下凸凸区区.,)5(描描点点作作图图计计算算特特殊殊点点四、函数作图四、函数作图2022-7-3037的的图图形形作作函函数数例例26xey .),(是是偶偶函函数数定定义义域域：.0,0lim2是是水水平平渐渐近近线线所所以以直直线线因因为为 yexx22xxey )12(222 xeyx解解00 xy驻驻点点：令令210 xy令令2022-7-3038y y y)21,(21)0,21(0)21,0(21),21(000极大极大下凸下凸下凸下凸上凸上凸上凸上凸拐点拐点拐点拐点1e1e1x2022-7-3039xyo2222