《数学物理方法》第-1-讲课件.ppt

1、2010.3.4主要内容主要内容第一章 数学物理定解问题 1.1 1.1 基本方程的建立基本方程的建立 1.2 1.2 定解条件定解条件 1.3 1.3 定解问题的提法定解问题的提法 1.4 1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简二阶线性偏微分方程的分类与化简第二章 分离变量法 2.1 2.1（1+11+1）维齐次方程的分离变量法）维齐次方程的分离变量法 2.2 2.2 二维二维LaplaceLaplace方程的定解问题方程的定解问题 2.3 2.3 非齐次方程的解法非齐次方程的解法 2.4 2.4 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理主要内容主要内容第三章 二阶常微分方程的级数解法 本征

2、值问题3.1 3.1 二阶常微分方程的级数解法二阶常微分方程的级数解法3.2 Legendre3.2 Legendre（勒让德）方程的级数解（勒让德）方程的级数解3.3 Bessel3.3 Bessel（贝塞尔）方程的级数解（贝塞尔）方程的级数解3.4 Sturm-3.4 Sturm-LiouvilleLiouville（斯特姆（斯特姆-刘维尔）本征值刘维尔）本征值 问题问题主要内容主要内容第四章 Bessel函数的性质及其应用 4.1 Bessel4.1 Bessel方程的引出方程的引出 4.2 Bessel4.2 Bessel函数的性质函数的性质 4.3 Bessel4.3 Bessel函

3、数的应用函数的应用 4.4 4.4 修正修正BesselBessel函数函数 4.5 4.5 可化为可化为BesselBessel方程的方程方程的方程主要内容主要内容第五章 Legendre 多项式 5.1 5.1 Legendre Legendre 方程及方程及Legendre Legendre 多项多项 式的引出式的引出 5.2 Legendre 5.2 Legendre 多项式的性质多项式的性质 5.3 Legendre5.3 Legendre多项式的应用多项式的应用 5.4 5.4 关联关联Legendre Legendre 多项式及其应用多项式及其应用主要内容主要内容第六章 行波法与

4、积分变换法 6.1 6.1 一维波动方程的一维波动方程的DAlemberDAlember(达朗贝尔达朗贝尔)公式公式 6.2 6.2 三维波动方程的三维波动方程的PoissonPoisson公式公式 6.3 Fourier6.3 Fourier积分变换法求定解问题积分变换法求定解问题 6.4 Laplace6.4 Laplace变换法解定解问题变换法解定解问题主要内容主要内容第七章 Green函数法 7.1 7.1 引言引言 7.2 Poisson7.2 Poisson方程的边值问题方程的边值问题 7.3 Green7.3 Green函数的一般求法函数的一般求法 7.4 7.4 用电像法求某些

5、特殊区域的用电像法求某些特殊区域的 DirichletDirichlet-Green-Green函数函数 主要内容主要内容主要内容主要内容三种方程、三种方程、四种求解方法、四种求解方法、二个特殊函数二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、波动方程、热传导、热传导、拉普拉斯方程拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数回忆高数有关向量场内容回忆高数有关向量场内容哈密顿算子哈密顿算子zyx k j i )Nabla(k j i k j i divRQPzyxA A zRyQxP 设向量场设向量场 A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k zfyfxff k j

6、 i grad .f ,zfyfxf RQPzyx k j i ,y P x Q x R z P z Q y R rot A d d d d d d yxRxzQzyP vzRyQxP d d )cos cos cos (SRQP 高斯公式高斯公式 S d A v d Adiv .d n A S d d ,d d ,d d S dyxxzzy cos ,cos ,cos n 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxP d d d RQPzyxyxxzzy d d d d d d SRQPzyx d cos cos cos yx y P x Qxz x R z Pzy z Q y R d d d d

7、d d S y P x Q x R z P z Q y R d cos cos cos .d rot A S .d n rot A S 建立数学物理方程就是建立数学物理方程就是将物理规律将物理规律“翻译翻译”成数成数学学 建建模方法模方法(1)(1)微元法微元法:语言。语言。析邻近部分与这一小部分的相互作用，析邻近部分与这一小部分的相互作用，分分物理规律物理规律,通过对表达式的化简、整理，通过对表达式的化简、整理，足的数学物理方程；足的数学物理方程；(2)2)规律法规律法:组）用数学物理方程表示出来；组）用数学物理方程表示出来；根据根据用数学表达式来表示这个作用，用数学表达式来表示这个作用，得

8、到问题所满得到问题所满 在整个系统中分出一个小部分，在整个系统中分出一个小部分，通常有三种方法：通常有三种方法：就是将物理规律（比如就是将物理规律（比如MaxwellMaxwell方程方程（3 3）统计法统计法:满足的（广义）数学物理方程，满足的（广义）数学物理方程，常用于经济、常用于经济、社会科学等领域。社会科学等领域。就是通过统计规律建立所研究问题就是通过统计规律建立所研究问题几个基本的数学物理方程几个基本的数学物理方程的倾角都很小，的倾角都很小，一、均匀弦的微小横振动一、均匀弦的微小横振动设有一根均匀柔软的细弦，设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，平衡时沿直线拉紧，且且除受不随时间

9、变化的张力及弦本身的重力外，除受不随时间变化的张力及弦本身的重力外，不受不受其它外力的作用。其它外力的作用。考虑此弦作微小横振动的规律。考虑此弦作微小横振动的规律。所谓所谓“横振动横振动”是指全部运动出现在一个平面内，是指全部运动出现在一个平面内，且且弦上的点沿垂直于弦上的点沿垂直于 x 轴的方向运动（如图）。轴的方向运动（如图）。所谓所谓“微小微小”是指运动的幅度及弦在任意位置处切线是指运动的幅度及弦在任意位置处切线略不计。略不计。以致它们的高于一次方的项可以忽以致它们的高于一次方的项可以忽TO1 T2 x dxx u duu ux22)d()d(d uxs 微微弧弧长长。设设线线密密度度为

10、为 ,0cos cos 21 TTx轴轴方方向向受受力力为为的方程。的方程。的函数，考虑它所满足的函数，考虑它所满足和和是是 txu ,21 ,1cos ,1cos 21 很小，因此很小，因此即近似有即近似有.21TT ,d x d sin sin 21sgTTu 方方向向受受力力为为 其中其中 d 为为重重力力。sg d sin sin 21sgTT 并有并有 tan sin 11 ,),(xtxu tan sin 22 ,),d(xtxxu 时刻的时刻的小弧段在小弧段在 t 加速度近似为加速度近似为,),(22ttxu 质质量量为为,d s 因因此此 sgTTd sin sin 21 .d

11、 ),(22sttxu 或或xgxx,tuxx,txuTd )()d(.d ),(22xttxu xgxx,tuxx,txuTd )()d(.d ),(22xttxu d )()()d(22，而而xxx,tuxx,tuxx,txu 于于是是xgxx,tuTd )(22 d ),(22，xttxu 22)(xx,tuT ),(22。gttxu 速度变化很快，即速度变化很快，即 ),(22。gttxu 张力较大时弦振动的张力较大时弦振动的因此可忽略因此可忽略 g，得，得22)(xx,tuT .),(22ttxu 222)(xx,tua .),(22ttxu 方程方程222)(xx,tua 22),

12、(ttxu 称为称为一维波动方程一维波动方程。如果在振动过程中，弦上还另受一个与弦的振动方如果在振动过程中，弦上还另受一个与弦的振动方向平行的外力，向平行的外力，且假定在时刻且假定在时刻 t 弦上弦上 x 点处的外力点处的外力密度为密度为 F(x,t),那么那么 sgTTsFd sin sin d 21 .d ),(22sttxu 经类似的讨论可得经类似的讨论可得 ),(22ttxu ),(),(时时刻刻单单位位质质量量的的弦弦在在点点是是 ttxFtxf x 处所受的外力。处所受的外力。222)(),(xx,tuatxf 自由项自由项称上方程为称上方程为一维强迫振动方程一维强迫振动方程。一维

13、波动方程还可用于描述高频交流电传输过程中一维波动方程还可用于描述高频交流电传输过程中电流和电压的变化规律（高频传输线方程）。电流和电压的变化规律（高频传输线方程）。由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的二、热传导方程二、热传导方程位置的变化。位置的变化。物体内温度的分布。物体内温度的分布。所以，解决热传导问题都要归结所以，解决热传导问题都要归结为求为求应用微元法，应用微元法，在在物体内物体内任取闭曲面任取闭曲面S，所包围的体积所包围的体积为为V。设设 t 时刻时刻物体内物体内点点M(x,y,z)处处温度温度为为u(x,y,z,t),dS曲面元素

14、曲面元素的法向量为的法向量为 n（由内指向外）。（由内指向外）。据热学据热学中的中的 FourierFourier 实验定律，有实验定律，有 d d dtSnukQ d d grad tSnuk d d grad tSuk 其中其中 k 是热传导系数。是热传导系数。即即负号是由于热量的流向和温度负号是由于热量的流向和温度梯度的正向，梯度的正向，的方向相反而产生的。的方向相反而产生的。grad u二、热传导方程二、热传导方程据热学中的据热学中的 FourierFourier 实验定律，有实验定律，有 d d dtSnukQ d d grad tSnuk d d grad tSuk 从从 1t到到

15、 2t时刻经曲面时刻经曲面 S 流入区域流入区域 V 的热量为的热量为,d )d grad(21 1tSukQttS 温度从温度从 ),(1tzyxu变到变到所需热量为所需热量为),(2tzyxu,d ),(),(122vtzyxutzyxucQV 热量守恒，因此热量守恒，因此.21QQ 其中其中c 是物体的比热，是物体的比热，是其密度。是其密度。因此因此tSukttS d )d grad(21 .d ),(),(12vtzyxutzyxucV 即即,21QQ 而而SukSd grad vukVd )div(grad .d 2 Vvuk且且 2QvttucVtt d )d (21 .d )d

16、(21 tvtucttV 于是于是 d )d (21 2tvukttV .d )d (21 tvtucttV 22utu ),(2222222zuyuxu .2 ck 其其中中方程方程称为称为三维热传导方程三维热传导方程。tu )(2222222zuyuxu 若物体内有热源，其强度为若物体内有热源，其强度为F(x,y,z,t),则对应的热则对应的热传导方程为传导方程为 tu ),()(2222222tzyxfzuyuxu .cFf 其其中中一维和二维热传导方程分别为一维和二维热传导方程分别为 .)(,22222222yuxutuxutu 恒温场内温度满足恒温场内温度满足Laplace 方程。方程。在气体或液体的扩散过程中，在气体或液体的扩散过程中，则所得的扩散方程与热传导方程完全相同。则所得的扩散方程与热传导方程完全相同。若扩散系数是常数，若扩散系数是常数，三、其它方程三、其它方程Laplace 方程方程.022222 yuxuuPoisson 方程方程.22222 yuxuuHelmholtz 方程方程.0 22222 uyuxuuu