2019年江苏省高考数学真题试卷(附答案及详细解析).pdf

1、一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上20192019年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷.1（5 分）已知集合 A1，0，1，6，Bx|x0，x R R，则 AB2（5 分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为 0，其中 i为虚数单位，则实数a的值是3（5 分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是4（5 分）函数 y的定义域是5（5 分）已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是6（5 分）从 3 名男同学和 2 名女同学中任选

2、 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1名女同学的概率是7（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2近线方程是8（5 分）已知数列an（n N N*）是等差数列，Sn是其前 n 项和若 a2a5+a80，S927，则 S8的值是9（5分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积是 120，E 为 CC1的中点，则三棱锥 EBCD 的体积是1（b0）经过点（3，4），则该双曲线的渐10（5分）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 yx+（x0）上的一个动点，则点 P 到直线 x+y0 的距离的最小值是11（5分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线yl

3、nx上，且该曲线在点A 处的切线经过点（e，1）（e为自然对数的底数），则点 A 的坐标是12（5分）如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE 2EA，AD 与 CE 交于点 O 若6，则的值是13（5 分）已知，则 sin（2+）的值是14（5 分）设 f（x），g（x）是定义在 R R 上的两个周期函数，f（x）的周期为 4，g（x）的周期为 2，且 f（x）是奇函数当 x（0，2时，f（x），g（x）其中k0若在区间（0，9上，关于 x 的方程 f（x）g（x）有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共

4、计小题，共计 9090 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤明过程或演算步骤.15（14分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c（1）若 a3c，b（2）若，cosB，求 c的值；，求 sin（B+）的值16（14分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB BC 求证：（1）A1B1平面 DEC1；（2）BE C1E17（14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：+1（ab0）的焦点为 F1（1，0），F2（1，0）过 F2作 x轴的垂

5、线 l，在 x轴的上方，1与圆 F2：（x1）2+y24a2交于点 A，与椭圆C 交于点 D 连结 AF1并延长交圆 F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1已知 DF1（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标18（16 分）如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB（AB是圆 O 的直径）规划在公路 l上选两个点 P，Q，并修建两段直线型道路 PB，QA，规划要求：线段PB，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆 O 的半径已知点A，B 到直线 l的距离分别为AC 和 BD，测得 AB 10，AC 6，BD 12（单位

6、：百米）（C，D 为垂足）（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米），求当 d最小时，P、Q 两点间的距离19（16分）设函数 f（x）（xa）（xb）（xc），a，b，c R R，f（x）为 f（x）的导函数（1）若 abc，f（4）8，求 a 的值；（2）若 ab，bc，且 f（x）和 f（x）的零点均在集合3，1，3中，求 f（x）的极小值；（3）若 a0，0b1，c1，且 f（x）的极大值为 M，求证：M 20（16分）定义首项为

7、1且公比为正数的等比数列为“M 数列”（1）已知等比数列an（n N N*）满足：a2a4a5，a34a2+4a10，求证：数列an为“M 数列”；（2）已知数列bn（n N N*）满足：b11，求数列bn的通项公式；成立，求 m 的最大值，其中 Sn为数列bn的前 n项和 设 m 为正整数，若存在“M 数列”cn（n N N*），对任意正整数 k，当 km 时，都有 ckbkck+1【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A A、B B、C C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则若多做，则按作答的前两小题评分按作答的

8、前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.A.选修选修 4-24-2：矩阵与变换：矩阵与变换（本（本小题满分小题满分 1010 分）分）21（10分）已知矩阵 A（1）求 A2；（2）求矩阵 A 的特征值B.B.选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 1010分）分）22（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，3（1）求 A，B 两点间的距离；（2）求点 B 到直线 l的距离C.C.选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 1010分）分）23（10分）设 x R

9、 R，解不等式|x|+|2 x1|2【必做题】第【必做题】第 2424 题、第题、第 2525 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤.），B（，），直线 l的方程为 sin（+）24（10分）设（1+x）na0+a1x+a2x2+anxn，n4，n N N*已知 a322a2a4（1）求 n 的值；（2）设（1+）na+b，其中 a，b N N*，求 a23b2的值25（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设点集 An（0，0），（1

10、，0），（2，0），（n，0），Bn（0，1），（n，1），n（0，2），（1，2），（2，2），（n，2），n N N*令 MnAnBnn从集合 Mn中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离（1）当 n1时，求 X 的概率分布；（2）对给定的正整数 n（n3），求概率 P（Xn）（用 n 表示）20192019 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5 分）已

11、知集合 A1，0，1，6，Bx|x0，x R R，则 AB1，6【解答】解：A1，0，1，6，Bx|x0，x R R，AB1，0，1，6x|x0，x R R 1，6故答案为：1，62（5 分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为 0，其中 i为虚数单位，则实数a的值是2【解答】解：（a+2i）（1+i）（a2）+（a+2）i的实部为 0，a20，即 a2故答案为：23（5 分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是5【解答】解：模拟程序的运行，可得x1，S0S0.5不满足条件 x4，执行循环体，x2，S1.5不满足条件 x4，执行循环体，x3，S3不满足条件 x4，执行循环体，x4，S5此时

12、，满足条件 x4，退出循环，输出 S 的值为 5故答案为：54（5 分）函数 y的定义域是1，7【解答】解：由 7+6xx20，得 x26x70，解得：1x7函数 y的定义域是1，7故答案为：1，75（5 分）已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是【解答】解：一组数据 6，7，8，8，9，10的平均数为：（6+7+8+8+9+10）8，该组数据的方差为：S2（68）2+（78）2+（88）2+（88）2+（98）2+（108）2故答案为：6（5 分）从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1名女同学的概率是【解答】解：

13、从 3名男同学和 2 名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，基本事件总数 n10，选出的 2名同学中至少有 1 名女同学包含的基本事件个数：m+7，选出的 2 名同学中至少有 1名女同学的概率是 p故答案为：7（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2近线方程是y1（b0）经过点（3，4），则该双曲线的渐【解答】解：双曲线 x21（b0）经过点（3，4），解得 b22，即 b又 a1，该双曲线的渐近线方程是y故答案为：y8（5 分）已知数列an（n N*）是等差数列，Sn是其前 n 项和若 a2a5+a80，S927，则 S8的值是16【解答】解：设等差数列an的首项为 a1，公

14、差为 d，则，解得故答案为：168（5）+56169（5分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积是 120，E 为 CC1的中点，则三棱锥 EBCD 的体积是10【解答】解：长方体 ABCD A1B1C1D1的体积是 120，E 为 CC1的中点，AB BC DD1120，三棱锥 EBCD 的体积：VEBCDAB BC DD110故答案为：1010（5分）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 yx+（x0）上的一个动点，则点 P 到直线 x+y0 的距离的最小值是4【解答】解：由 yx+（x0），得 y1，），设斜率为1的直线与曲线 yx+（x0）切于（x0，由，解得（x00）曲线

15、 yx+（x0）上，点 P（最小值为故答案为：4）到直线 x+y0 的距离最小，11（5分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ylnx上，且该曲线在点A 处的切线经过点（e，1）（e为自然对数的底数），则点 A 的坐标是（e，1）【解答】解：设 A（x0，lnx0），由 ylnx，得 y，则该曲线在点 A 处的切线方程为 ylnx0，切线经过点（e，1），则 x0e即A 点坐标为（e，1）故答案为：（e，1）12（5分）如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE 2EA，AD 与 CE 交于点 O 若6，则的值是【解答】解：设+（+（），）（1）+，（6（+），）

16、（+，+，）+）6（，3，则 sin（2+）的值是故答案为：13（5 分）已知【解答】解：由，得，解得 tan 2或 tan当 tan 2 时，sin2 ，cos2，sin（2+）；当 tan 时，sin2 ，cos2，sin（2+）的值是综上，sin（2+故答案为：14（5 分）设 f（x），g（x）是定义在 R 上的两个周期函数，f（x）的周期为 4，g（x）的周期为 2，且 f（x）是奇函数当 x（0，2时，f（x），g（x）其中k0若在区间（0，9上，关于 x 的方程 f（x）g（x）有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是，）【解答】解：作出函数 f（x）与 g（x）的图象如图，

17、由图可知，函数 f（x）与 g（x）（1x2，3x4，5x6，7x8）仅有 2 个实数根；要使关于 x的方程 f（x）g（x）有 8个不同的实数根，则 f（x），x（0，2与 g（x）k（x+2），x（0，1的图象有 2个不同交点，解得 k（k0），由（1，0）到直线 kxy+2k0的距离为 1，得两点（2，0），（1，1）连线的斜率 k，k即 k的取值范围为，故答案为：，）二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤明过程或演算步骤.

18、15（14分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c（1）若 a3c，b（2）若，cosB，求 c的值；，求 sin（B+）的值【解答】解：（1）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，ca3c，b，cosB，由余弦定理得：cosB，解得 c（2），由正弦定理得：2sin BcosB，sin2B+cos2B1，sin Bsin（B+，cosB）cosB，16（14分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB BC 求证：（1）A1B1平面 DEC1；（2）BE C1E【解答】证明：（1）在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D，

19、E 分别为 BC，AC 的中点，DE AB，AB A1B1，DE A1B1，DE平面 DEC1，A1B1平面 DEC1，A1B1平面 DEC1解：（2）在直三棱柱 ABC A1B1C1中，E 是 AC 的中点，AB BC BE AC，直三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1平面 ABC，BE平面 ABC，BE AA1，又 AA1AC A，BE 平面 ACC1A1，C1E平面 ACC1A1，BE C1E17（14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：+1（ab0）的焦点为 F1（1，过 F2作 x轴的垂线 l，在 x轴的上方，1与圆 F2：（x1）2+y24a2交于点 A，与椭圆，

20、F2（1，0）0）C 交于点 D 连结 AF1并延长交圆 F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1已知 DF1（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标【解答】解：（1）如图，F2AF2B，F2AB F2BA，F2A2aF2D+DA F2D+F1D，AD F1D，则DAF1DF1A，DF1AF2BA，则 F1D BF2，c1，b2a21，则椭圆方程为，取 x1，得又 DF1，则 AD 2a，解得 a2（a0）；椭圆 C 的标准方程为（2）由（1）知，D（1，），F1（1，0），则 BF2：y，联立，得 21x218x390解得 x11 或（舍）即点 E 的坐标为（

21、1，）18（16 分）如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB（AB是圆 O 的直径）规划在公路 l上选两个点 P，Q，并修建两段直线型道路 PB，QA，规划要求：线段PB，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆 O 的半径已知点A，B 到直线 l的距离分别为AC 和 BD（C，D 为垂足），测得 AB 10，AC 6，BD 12（单位：百米）（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米），求当 d最

22、小时，P、Q 两点间的距离【解答】解：设 BD 与圆 O 交于 M，连接 AM，AB 为圆 O 的直径，可得 AM BM，即有 DM AC 6，BM 6，AM 8，B（8，12），D（8，0）以 C 为坐标原点，l为 x轴，建立直角坐标系，则A（0，6），PB AB，（1）设点 P（x1，0）则 kBPkAB1，即1，15；，PB 解得 x117，所以 P（17，0）（2）当 QA AB 时，QA 上的所有点到原点 O 的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则 kQAkAB1，即1，解得 x2，Q（，0），由178，在此范围内，不能满足PB，QA 上所有点到 O 的距离不小于圆的半径，所

23、以 P，Q 中不能有点选在 D 点；（3）设 P（a，0），Q（b，0），由（1）（2）可得 a17，b，由两点的距离公式可得PB2（a+8）2+144225，当且仅当 a17时，d|PB|取得最小值 15，又 QA2b2+36225，则 b3，当 d 最小时，a17，b3，PQ 17+319（16分）设函数 f（x）（xa）（xb）（xc），a，b，c R，f（x）为 f（x）的导函数（1）若 abc，f（4）8，求 a 的值；（2）若 ab，bc，且 f（x）和 f（x）的零点均在集合3，1，3中，求 f（x）的极小值；（3）若 a0，0b1，c1，且 f（x）的极大值为 M，求证：M【解

24、答】解：（1）abc，f（x）（xa）3，f（4）8，（4a）38，4a2，解得 a2（2）ab，bc，设 f（x）（xa）（xb）2令 f（x）（xa）（xb）20，解得 xa，或 xb（xb）（xb）（3xb2a）f（x）（xb）2+2（xa）令 f（x）0，解得 xb，或 xf（x）和 f（x）的零点均在集合A3，1，3中，若：a3，b1，则a1，b3，则a3，b3，则A，舍去A，舍去1 A，舍去 a3，b1，则a1，b3，则a3，b3，则因此 a3，b3，A，舍去A，舍去1 A，1 A，可得：f（x）（x3）（x+3）2f（x）3x（3）（x1）可得 x1时，函数 f（x）取得极小值，

25、f（1）24232（3）证明：a0，0b1，c1，f（x）x（xb）（x1）f（x）（xb）（x1）+x（x1）+x（xb）3x2（2b+2）x+b4（b+1）212b4b24b+44令 f（x）3x2（2b+2）x+b0解得：x1x1+x2，x1x2，x2x1x2，+33可得 xx1时，f（x）取得极大值为 M，f（x1）可得：b（2b+2）x1+b0，令 x1t，（x11）t（t b）（t 1）M f（x1）x1（x1b）M 令 g（t）6t3+12t28t+2，g（t）18t2+24t 82（3t 2）20，函数 g（t）在 t 上单调递减，0t g（t）0M 0函数 M（t）在 t M

26、（t）上单调递增，20（16分）定义首项为 1且公比为正数的等比数列为“M 数列”；（1）已知等比数列an（n N N*）满足：a2a4a5，a34a2+4a10，求证：数列an为“M 数列”（2）已知数列bn（n N N*）满足：b11，求数列bn的通项公式；成立，求 m 的最大值，其中 Sn为数列bn的前 n项和 设 m 为正整数，若存在“M 数列”cn（n N N*），对任意正整数 k，当 km 时，都有 ckbkck+1【解答】解：（1）设等比数列an的公比为 q，则由 a2a4a5，a34a2+4a10，得数列an首项为 1 且公比为正数即数列an为“M 数列”；（2）b11，当 n

27、1 时，b22，b33，b44，当 n2时，当 n3时，猜想 bnn，下面用数学归纳法证明；（i）当 n1 时，b11，满足 bnn，（ii）假设 nk时，结论成立，即 bkk，则 nk+1 时，由，得k+1，故 nk+1 时结论成立，根据（i）（ii）可知，bnn 对任意的 n N N*都成立故数列bn的通项公式为 bnn；存在“M 数列”cn（n N N*），对任意正整数 k，当 km 时，都有 ckbkck+1成立，即 qk 1kqk对 km 恒成立，设cn的公比为 q，当 k1 时，q1，当 k2 时，当 k3，两边取对数可得，令 f（x），则，对 km 有解，即，当 x3 时，f （

28、x）0，此时 f（x）递减，当 k3时，令 g（x），则，令，则，当 x3 时，（x）0，即 g（x）0，g（x）在3，+）上单调递减，即 k3 时，下面求解不等式，则，化简，得 3lnm（m 1）ln 30，令 h（m）3lnm（m 1）ln 3，则 h（m）ln 3，由 k3得 m 3，h（m）0，h（m）在3，+）上单调递减，又由于 h（5）3ln 54ln 3ln 125ln 810，h（6）3ln 65ln 3ln 216ln 2430，存在 m0（5，6）使得 h（m0）0，m 的最大值为 5，此时 q，【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A A、B B、C C 三小题，请选定其

29、中两小题，并在相应的答题区域内作答三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则若多做，则按作答的前两小题评分按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.A.选修选修 4-24-2：矩阵与变换：矩阵与变换（本（本小题满分小题满分 1010 分）分）21（10分）已知矩阵 A（1）求 A2；（2）求矩阵 A 的特征值【解答】解：（1）AA2（2）矩阵 A 的特征多项式为：f（）25+4，令 f（）0，则由方程 25+40，得 1 或 4，矩阵 A 的特征值为 1 或 4B.B.选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程

30、：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 1010分）分）22（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，3（1）求 A，B 两点间的距离；（2）求点 B 到直线 l的距离），B（，），直线 l的方程为 sin（+）【解答】解：（1）设极点为 O，则在OAB 中，由余弦定理，得AB2OA2+OB22OAAB（2）由直线 l的方程 sin（+）3，知，；直线 l过（3又 B（，），），倾斜角为，点 B 到直线 l的距离为C.C.选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 1010分）分）23（10分）设 x R R，解不等式|x|+|2 x1|2【解答】解：|x|+|2

31、 x1|，|x|+|2 x1|2，或或，x1 或 x 或 x，不等式的解集为x|x或 x1【必做题】第【必做题】第 2424 题、第题、第 2525 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤.24（10分）设（1+x）na0+a1x+a2x2+anxn，n4，n N N*已知 a322a2a4（1）求 n 的值；（2）设（1+）na+b，其中 a，b N N*，求 a23b2的值【解答】解：（1）由（1+x）nC+Cx+Cx2+Cxn，n4，

32、可得 a2Ca322a2a4，可得（解得 n5；（2）方法一、（1+）5C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5a+b，a3C）22，a4C，由于 a，b N N*，可得 aC+3C+9C1+30+4576，bC+3C+9C44，可得 a23b2762344232；方法二、（1+（1）5C+C+C（）+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5a+b，）5C+C（+C（）2+C（）3+C（）5，）4+C（）5CC）2C（）3+C（，）4C（由于 a，b N N*，可得（1可得 a23b2（1+）5ab）5（1）5（13）53225（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设点集 An（0，0

33、），（1，0），（2，0），（n，0），Bn（0，1），（n，1），n（0，2），（1，2），（2，2），（n，2），n N N*令 MnAnBnn从集合 Mn中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离（1）当 n1时，求 X 的概率分布；（2）对给定的正整数 n（n3），求概率 P（Xn）（用 n 表示）【解答】解：（1）当 n1时，X 的所有可能取值为 1，X 的概率分布为 P（X1）；P（X），2，；P（X2）；P（X）；（2）设 A（a，b）和 B（c，d）是从 Mn中取出的两个点，因为 P（Xn）1P（Xn），所以只需考虑 Xn的情况，若 bd，则 AB n，不存在 Xn 的取法；若 b0，d1，则 AB 此时 a0cn或 an，c0，有两种情况；若 b0，d2，则 AB 若 b1，d2，则 AB，所以 Xn当且仅当 AB，所以 Xn当且仅当 AB，所以 Xn当且仅当 AB，此时 a0cn或 an，c0，有两种情况；此时 a0cn或 an，c0，有两种情况；综上可得当 Xn，X 的所有值是且 P（X），P（X或），可得 P（Xn）1P（X）P（X）1