(新高二暑假讲义12讲)第3讲 空间向量及其运算的坐标表示 解析.docx
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1、第3讲 空间向量及其运算的坐标表示新课标要求了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。掌握空间向量的数量积及其坐标表示。知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),则:(1)ab(a1b1,a2b2,a3b3);(2)ab(a1b1,a2b2,a3b3);(3)a(a1,a2,a3)(R);(4)aba1b1a2b2a3b3;(5)ab aba1b1,a2b2,a3b3(R);(6)abab0a1b1a2b2a3b30;(7)|a| ;(8)cosa,b .2空间中向量的坐标及两点间的距离公式在
2、空间直角坐标系中,设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则:(1)(a2a1,b2b1,c2c1);(2)dAB| .名师导学知识点1 空间直角坐标系【例1-1】(武汉期末)点,2,关于平面对称的点的坐标是A,2,B,C,2,D,【分析】点,2,关于平面对称的点,即,不变,变为相反数【解答】解:点,2,关于平面对称的点,即,不变,变为相反数,点,2,关于平面对称的点的坐标是,故选:【变式训练1-1】(河南月考)在空间直角坐标系中,点,关于轴对称的点为A,B,C,2,D,2,【分析】空间直角坐标系中,点关于轴对称,则值不变,和的值改变符号【解答】解:空间直角坐标系中,点,关于轴对称的
3、点为,故选:知识点2 空间向量的坐标运算【例2-1】(钦州期末)已知,2,则等于A,B,0,C,0,D,0,【分析】利用向量坐标运算性质即可得出【解答】解:,2,0,故选:【例2-2】(济南模拟)已知空间三点A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设a,b.(1)求a与b夹角的余弦值;(2)若kab与ka2b互相垂直,求k的值;(3)设|c|3,c,求c.【分析】对于(1)直接套两向量的夹角公式即可;对于(2)将向量垂直,转化为数量积为0求解;对于(3)利用共线向量求解【解答】(1)a(1,1,0),b(1,0,2),ab1(1)10021,|a|,|b|,cosa,b.(2)k
4、abk(1,1,0)(1,0,2)(k1,k,2),ka2bk(1,1,0)2(1,0,2)(k2,k,4)(kab)(ka2b),(k1)(k2)k280,即2k2k100,得k2或k.(3)c,又(2,1,2),设c(2,2),又|c|3,(2)2()2(2)29,得1.c(2,1,2)或c(2,1,2)【变式训练2-1】(菏泽期末模拟)已知a(2,1,3),b(0,1,2)求:(1)ab;(2)2a3b;(3)ab;(4)(ab)(ab)【分析】利用空间向量坐标运算公式计算即可.【解答】(1)a(2,1,3),b(0,1,2)ab(20,11,32)(2,2,5)(2)2a3b2(2,1
5、,3)3(0,1,2)(4,2,6)(0,3,6)(4,1,0)(3)ab(2,1,3)(0,1,2)20(1)(1)327.(4)|a|,|b|,(ab)(ab)a2b21459.【变式训练2-2】(烟台期末)已知A(1,0,0),B(0,1,1),若与(O为坐标原点)的夹角为120,则的值为()A. BC D【分析】利用向量数量积的计算公式变形和已知条件,将坐标带代入计算即可.【解答】(1,),(0,1,1),cos 120,可得0,解得.知识点3 空间两点间的距离【例3-1】(淄博调研)已知ABC的三个顶为A(3,3,2),B(4,3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为()A2
6、 B3C4 D5【分析】先求出BC中点D的坐标,再代入两点间距离公式即可计算.【解答】B(4,3,7),C(0,5,1),BC边上的中点D(2,1,4)又A(3,3,2),|AD| 3.【变式训练3-1】(温州期中)点,2,是空间直角坐标系中的一点,点关于轴对称的点的坐标为 ,【分析】点,关于轴对称的点的坐标为,利用两点间距离公式能求出【解答】解:点,2,是空间直角坐标系中的一点,点关于轴对称的点的坐标为,故答案为:,名师导练A组-应知应会1(安徽期末)空间直角坐标系中,点,关于点,2,的对称点的坐标为A,1,B,5,C,D,3,【分析】利用对称的性质和中点坐标公式直接求解【解答】解:设空间直
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