（新高二暑假讲义12讲）第4讲 空间向量的应用 解析.pdf

1、1/39第 4 讲空间向量的应用新课标要求能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。知识梳理1空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点以及一个向量确定，这个向量叫做直线的方向向量2若直线 l 垂直于平面，取直线 l 的方向向量 a，则 a，则 a 叫做平面的法向量3.(1)

2、线线垂直：设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，则 lmabab0.(2)线面垂直：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，则 lauaku，kR.(3)面面垂直：若平面的法向量为 u，平面的法向量为，则uu0.4设两异面直线所成的角为，它们的方向向量分别为 a，b，则 cos|ab|a|b|.5设直线 l 与平面所成的角为，直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 n，则 sin|cosa，n|an|a|n|.6设二面角l的平面角为，平面，的法向量分别为 n1，n2，则|cos|n1n2|n1|n2|.名师导学【例 1-1】（焦作期末）若点，在直线 l 上，则直线 l 的一个

3、方向向量为A.B.C.D.【分析】本题考查直线的方向向量，向量的共线定理，属于基础题先由题意求出2，再由选项判断与共线的向量即可2/39【解答】解：因为2，而2，所以是直线 l 的一个方向向量故选 A【例 1-2】（广州期末）（武侯区校级期末）设是直线 l 的方向向量，是平面的法向量，则A.B.C.或D.或【分析】本题考查空间线面位置关系、法向量的性质，属于基础题利用空间线面位置关系、法向量的性质即可判断出结论【解答】解：，或，故选 D【变式训练 1-1】（沙坪坝区校级模拟）若直线 l 的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是A.B.C.D.【分析】本题考查了运用空间向量判断线面平行，属于基础

4、题根据时，分别判断 A、B、C、D 是否满足条件即可【解答】解：若，则，而 A 中，不满足条件；B 中，不满足条件；C 中，不满足条件；D 中，满足条件故选 D3/39【变式训练 1-2】（东阳市模拟）已知，分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有A.3 对B.2 对C.1 对D.0 对【分析】本题考查利用空间向量研究平面垂直问题，属基础题依题意，分别求出，即可求得结果【解答】解：，所以与不垂直，所以与不垂直，所以与不垂直，故选 D【例 2-1】（浙江模拟）已知在正四棱柱中，点 E 为的中点，点 F 为的中点求证：【分析】本题考查利用空间向量法判定线性垂直及平行，属于基础题建立空间直角

5、坐标系，写出坐标，得，EF 与 AC 不共线，故【解答】证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则0，0，1，由于，显然，故又 EF 与 AC 不共线，故4/39【例 2-2】（柯城区校级模拟）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面 ABCD，且，点 E 是 PD 的中点求证：平面 AEC【解答】证明如图，以 A 为坐标原点，AC，AB，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，设，则有0，b，0，0，5/390，b，由已知得，设平面 AEC 的一个法向量为，则且，可得1，又平面 AEC，平面 AEC【例 2-3】（金华期末）如图，已知棱长为 4 的正方体中，M

6、，N，E，F 分别是棱，的中点，求证：平面平面 EFBD【分析】本题考查的知识点是平面与平面平行的判断，利用向量证明面面平行，难度中档建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：平面 EFBD，平面 EFBD，进而得到平面平面 EFBD【解答】证明：由题意，正方体的棱长为 4，如图建立空间直角坐标系，则0，0，0，2，4，2，4，取 MN 的中点 K，EF 的中点 G，BD 的中点 O，则2，1，3，2，2，1，1，6/39平面 EFBD，平面 EFBD，平面平面 EFBD【变式训练 2-1】（宿迁期末）如图，在长方体中，点 P 在棱上，且，点 S 在棱上，且，点 Q、R 分别是棱、AE 的中点求

7、证：【分析】本题考查了利用空间向量平行的判断，是容易题建立空间直角坐标系，根据向量的共线关系进行证明【解答】证明：如图，建立空间直角坐标系，则0，4，0，0，4，Q，R 分别是棱，AE 的中点，2，2，于是7/39，【变式训练 2-2】（朝阳区期末）已知正方体的棱长为 2，E，F 分别是，的中点，求证：平面 ADE；平面平面F.【分析】本题考查利用空间向量证明线性、线面平行如图，建立空间直角坐标系，求出和平面 ADE 的法向量，由，又平面 ADE，推证结果；进一步求出平面的法向量，由两个平面的法向量平行推证结果【解答】证明：如图，建立空间直角坐标系，则0，0，2，2，2，0，所以，设，分别是平

8、面 ADE、平面的法向量，则，取，则同理可求，8/39，又平面 ADE，平面 ADE，平面平面F.【例 3-1】（扬州期末）如图，在四棱锥中，底面 ABCD 为直角梯形，底面 ABCD，且，M 为 PC 的中点求证：【分析】本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量证明直线垂直，属于中档题由可得【解答】证明：结合图形，知，则，所以，即【例 3-2】（上城区校级模拟）如图所示，在正方体中，E，F 分别是，DC 的中点，求证：平面F.9/39【分析】本题考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用设正方体的棱长为 1，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面F.

9、【解答】证明：设正方体的棱长为 1，如图所示，建立空间直角坐标系，则0，0，0，即，又，平面F.【例3-3】（点军区校级月考）如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD，M 为 EC 的中点，求证：平面平面 CDE【分析】本题主要考查利用空间向量证明面面垂直首先利用空间向量证明线面垂直，即可得面面垂直10/39【解答】证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点，设，依题意得0，1，2，1，0，则，又，又，平面 AMD而平面 CDE，平面平面 AMD【变式训练 3-1】（三明模拟）已知空间四边形 ABCD 中，求证：【分析】本题主要考查了利用空间向量证明线线垂直，是基础题将用、表示；

10、用、表示；利用向量数量积的运算律求出；最后根据数量积为 0 判断出垂直【解答】证明：，11/39，从而【变式训练 3-2】（镇海区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面 ABCD 是矩形且，底面 ABCD，E 是 AD 的中点，F 在 PC 上F 在何处时，平面 PBC？【分析】本题考查空间直线与平面垂直的判定以及线线垂直的判定，属基础题目以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用向量判断线线垂直和线面垂直【解答】解：如图，以 A 为坐标原点，射线 AD，AB，AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，0，0，0，设y，则平面 PBC，即，在 PC 上，可令，1

11、2/39则，将，代入可得，则，此时 F 为 PC 的中点【变式训练 3-3】（未央区校级月考）在四面体 ABCD 中，平面 BCD，E，F 分别是 AC，AD 的中点，求证：平面平面 ABC【分析】本题主要考查了空间向量在立体几何中证明垂直的应用建立空间直角坐标系，设，得出相关点坐标，进而得出向量的坐标，计算，可得平面 ABC，由面面垂直的判定定理证得结论【解析】证明：建系如图，取0，则易得0，则有，又，平面 ABC又平面 BEF，平面平面 ABC13/39【例 4-1】（海淀区校级期末）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，平面 ABCD，且，E，F 分别为 AB，BC 的中点求点 D

12、到平面 PEF 的距离；求直线 AC 到平面 PEF 的距离【分析】本题目主要考查空间两点的距离公式，空间直角坐标系，属于一般题（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面 PEF 的法向量，再得点 D 到平面 PEF 的距离（2）通过 E，F 分别为 AB，AC 的中点，平面 PEF，所以平面 PEF，再得直线 AC到平面 PEF 的距离【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则0，0，0，1，0，设平面 PEF 的法向量为y，则即解得，令，得2，因此，点 D 到平面 PEF 的距离为由知0，14/39因为 E，F 分别为 AB，AC 的中点，所以，又平面 PEF，所以平面 PEF，所以 AC 到平

13、面 PEF 的距离为【变式训练 4-1】（房山区期末）如图，在四棱锥中，平面 ABCD，求点 D 到平面 PBC 的距离；求点 A 到平面 PBC 的距离【分析】本题考查利用空间距离的求法，属基础题依题意，建立空间坐标系，求出平面 PBC 的法向量，根据 D 到平面 PBC 的距离，计算即可根据中的数值，利用点 A 到平面 PBC 的距离，计算即可【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，15/39则0，2，2，0，0，2，0，设平面 PBC 的法向量为y，则令，则，点 D 到平面 PBC 的距离由知，平面 PBC 的法向量为，则点 A 到平面 PBC 的距离知识点 5用空间向量研究空间中的夹

14、角问题【例 5-1】（宝山区校级期末）如图，ABCD 为矩形，AB2，AD4，PA面 ABCD，PA3，求异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求解【解】以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，P(0,0,3)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，则PB(2,0，3)，AC(2,4,0)设 PB 与 AC 所成的角为，则 cos|PBAC|PB|AC|42232 22424132 52 6565.【例 5-2】（常州期末）已知在正三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长与底面边长相等，求 AB1与侧面 ACC1A1所成角的

15、正弦值16/39【分析】解决此类问题的关键是建立空间直角坐标系，利用公式求解【解】建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz，其中坐标原点 E 为 A1C1的中点，设棱长为 1，则A12，0，1，B10，32，0，AB112，32，1.显然平面 ACC1A1的一个法向量为 n(0,1,0)，设 AB1与侧面 ACC1A1所成的角为，则 sin|cosAB，n|AB1n|AB1|n|32264.AB1与面 ACC1A1所成的角的正弦值为64.【例 5-3】（漳州三模）已知，PA平面 ABC，ACBC，PAAC1，BC 2.求二面角 APBC 的余弦值【分析】解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平

16、面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解【解】解法一：如图，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(2，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，AP(0,0,1)，AB(2，1,0)设平面 PAB 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，由n1AP0，n1AB0，得z10，2x1y10.令 x11，则 n1(1，2，0)17/39又CP(0，1,1)，CB(2，0,0)设平面 PBC 的法向量为 n2(x2，y2，z2)，由n2CP0，n2CB0，得y2z20，2x20.令 z21，则 n2(0,1,1)cosn1，n2n1n2|

17、n1|n2|23 233.所求二面角为锐角，二面角 APBC 的余弦值为33.解法二：如图所示，取 PB 的中点 D，连接 CD.PA平面 ABC，PAAC.PCPA2AC2 2.PCBC 2，CDPB.作 AEPB 于 E，那么二面角 APBC 平面角的大小就等于DC与EA的夹角.PA平面 ABC，BCAC，PCBC.PBPC2BC22.PD1，PEPA2PB12.DEPDPE12.又AEAPABPB32，CD1，AC1，ACAEEDDC，且AEED，EDDC，|AC|2|AE|2|ED|2|DC|22|AE|DC|cos()，即 1341412321cos，解得 cos 33，18/39故

18、二面角 APBC 的余弦值为33.【变式训练 5-1】（沭阳县期中）如图，在正四棱柱中，点 M 是 BC的中点求异面直线与 DM 所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值求平面与平面 ABCD 所成角的正弦值【分析】本题主要考查了利用空间向量求线线、线面、面面的夹角，是中档题在正四棱柱中，以点 D 为原点，DA、DC、分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则由以及即可求得；先求出平面的法向量，再利用夹角公式求解即可；先求出平面 ABCD 的法向量以及平面与平面 ABCD 所成角的余弦值，在用求解即可【解答】解：在正四棱柱中，以点 D 为原点，DA、DC、分别为 x 轴、y 轴、z轴

19、建立空间直角坐标系，因为，所以，则由题意得，19/39则，异面直线与 DM 所成角的余弦值为；由题意知，设平面的法向量为，则，解得，直线与平面所成角的正弦值为；在正四棱柱中，平面 ABCD 的法向量为，平面与平面 ABCD 所成角的余弦值为，则，平面与平面 ABCD 所成角的正弦值为名师导练A 组-应知应会1.（杨浦区校级期中）若直线 l 的方向向量为0，平面的法向量为0，则A.B.C.D.l 与斜交【分析】本题考查利用空间向量判断线面的位置关系 属基础题由直线 l 的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可【解答】解：，故选 B2.（安徽模拟）已知，则向量与向量的夹角为A.B.C.D.20/

20、39【分析】本题考查利用空间向量的数量积求向量夹角，属于基础题根据空间向量夹角公式求解即可【解答】解：，向量与的夹角为故选 C3.（闵行区校级模拟）已知四边形 ABCD 是直角梯形，平面 ABCD，则 SC 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为A.B.C.D.【分析】本题主要考查利用空间向量求直线与平面的所成角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题。由题意可得是平面 ABCD 的一个法向量，设与的夹角为，利用夹角公式，向量的加减运算以及向量的模长公式，即可得出，则 SC 与平面 ABCD 所成角可得【解答】解：由题意可知，是平面 ABCD 的一个法向量，设与的夹角为，又，与平面 ABCD

21、所成角的余弦值故选 C4.（贵阳模拟）在正方体中，棱长为 a，M，N 分别为和 AC 上的点，则 MN 与平面的位置关系是A.垂直B.相交C.平行D.不能确定21/39【分析】本题考查线面平行的判定，在适当条件下，可以用向量法证明，只需证明该直线的一个方向向量与该平面的一个法向量垂直即可要注意的是这两个向量必须用同一组基底来表示属于一般难度题由于平面，所以是平面的法向量，因此只需证明向量与垂直即可，而和又可以作为一组基底表示向量，因此可以证明【解答】解：正方体棱长为 a，又是平面的法向量，且，平面故选 C5.（温州期末）如图，在长方体中，E 为 CD 的中点，点 P 在棱上，且平面，则 AP

22、的长为A.B.C.1D.与 AB 的长有关【分析】本题考查利用空间向量解决线面平行问题建立如图所示的空间坐标系，设出 P 点坐标，求出面的一个法向量，由即可求解【解答】解：以点 A 为原点，的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 如图 22/39设，则0，1，1，0，设点 P 的坐标为0，故0，1，又设平面的法向量为y，因为平面，所以，得取，得平面的一个法向量为因为平面，所以，有，解得所以 AP 的长为6.（鼓楼区校级模拟）二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB，已知，则该二面角的大小为A.B.C.D.【分析】本

23、题考查利用空间向量求二面角的大小，考查空间向量的加法、模、夹角及数量积运算 属于基础题由题意及空间向量的加法可知，根据空间向量的数量积运算，结合空间向量的模、夹角，可得，求出，即可得出二面角的大小【解答】解：由题意知，23/39解得，则，所以二面角的大小为，故选 C7.（和平区校级二模）如图所示，在正方体中，点 P 是棱 AB 上的动点点可以运动到端点 A 和 B，设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则A.B.C.D.【分析】本题考查正方体的结构特征，利用空间向量求解平面的法向量和夹角问题，属于中档题适当建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，结合空间向量的夹角与模长公式求解即可【解

24、答】解：以点 D 为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则易得0，a，1，则，设平面的法向量为，则令，得平面的一个法向量为，同理易得平面的一个法向量为，由图易得平面与平面所成的角为锐角，设其为，则其余弦值为，易得当平面与平面所成的角取得最小值时，此时有，故选 D24/398.（多选）（东阳市模拟）已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果，2，2，下列结论正确的有A.B.C.是平面 ABCD 的一个法向量D.【分析】本题考查空间向量垂直平行的判定，属于基础题根据向量垂直的充要条件是向量积为 0 来进行判断即可【

25、解答】解：，即，A 正确；，即，B 正确；由，可得是平面 ABCD 的法向量，C 正确；BD 在平面 ABCD 内，可得，D 错误故答案为 ABC9.（江苏模拟）已知，若，且平面 ABC，则y，等于_【答案】【分析】本题考查空间向量的坐标运算及利用空间向量证明线面位置关系 属基础题由题意，且，列方程求解即可【解答】解：，故，且，得，10.（南通模拟）已知正三棱柱的各条棱长都相等，M 是侧棱的中点，则向量与所成角的大小是25/39【答案】【分析】本题考查空间向量所成的角，属于基础题根据题意，利用向量的夹角公式即可得出结果【解答】解：不妨设棱长为 2，则，故向量与所成角的大小是11.（清江浦区校级

26、模拟）在四棱锥中，底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，且，G 为的重心，则 PG 与底面 ABCD 所成角的正弦值为【答案】【分析】本题主要考查向量法求线面角，考查三角形重心的坐标公式 属于中档题，求出 PG 的方向向量及面 ABCD 的法向量代入公式计算即可，【解答】解：如图，分别以 DA，DC，DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由已知，得0，0，0，1，1，则重心，因而0，设 PG 与底面 ABCD 所成的角为，则，12.（沭阳县期中）在四棱锥中，底面 ABCD 为矩形，侧棱底面 ABCD，26/39，E 为 PD 的中点，点 N 在面 PAC 内，且平面

27、PAC，则点 N 到 AB 的距离为_【答案】【分析】本题考查点到直线的距离的求法，是中档题，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点N 到 AB 的距离【解答】解：如下图，因为棱底面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，所以在四棱锥中，以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线为 x、y、z 轴，连立空间直角坐标系，已知，则0，0，1，1，0，PD 的中点，点 N 在面 PAC 内，则其在面 ABCD 的投影在 AC 上，设y，平面 PAC，所以，联立解得则点 N 到 AB 的距离为故答案为13.（滨海新区模拟）如图

28、，在四棱锥中，底面 ABCD 为平行四边形，27/39底面 ABCD，则二面角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】本题考查应用空间向量求空间角问题，考查同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力令，则因为，由余弦定理得，可得，建立空间直角坐标系，写出点 A，B，C，P 的坐标，求平面 PAB 的法向量，平面 PBC 的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可【解答】解：令，则又，由余弦定理知，所以，即建立如图坐标系则0，、0，、，28/39设平面 PAB 的法向量为y，0，取1，同理平面 PCB 的法向量为1，记二面角的夹角为，如图可知为钝角，故二面角的余弦值为故答案为14.（浦东新区

29、校级月考）如图，在正方体中，E 为的中点，求异面直线 CE与 BD 所成的角【分析】本题考查异面直线所成角的大小的求法，属于基础题以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 CE与 BD 所成的角的大小【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则相关点的坐标为1，1，0，所以，29/39所以，所以，即所以 CE 与 BD 所成的角为15.（江宁区校级月考）如图，四边形 ABCD 是正方形，平面 ABCD，F 为 PD 的中点求证：；求证：平面 PEC【分

30、析】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行，直线与直线垂直的证明方法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题以 A 为原点，分别以、的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系求出相关点的坐标，通过计算，证明；取 PC 的中点 M，连接证明，然后证明平面 PEC【解答】证明：依题意，平面 ABCD，如图，以 A 为原点，分别以、的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，可得0，4，4，0，0，4，0，；证明：取 PC 的中点 M，连接 EM30/392，平面 PEC，平面 PEC，平面 PEC；16.（临泉县校级月考）正方体中，E，F 分别是，CD

31、 的中点求证：平面平面；在 AE 上求一点 M，使得平面 DAE【分析】本题考查利用空间向量判断线面垂直和线线垂直，属于较难题建立空间坐标系，求两个平面的法向量，利用平面 ADE 和平面的法向量的垂直关系证明两个平面垂直设2，可得，因为得出，点 M在线段 AE 上且满足平面 DAE【解答】解：证明：以 D 为原点，DA，DC，所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，不妨设正方体的棱长为 2，则0，0，2，1，0，0，0，2，2，设平面 AED 的法向量为，则即令，得1，同理可得平面的一个法向量为2，31/39平面平面由于点 M 在 AE 上，可设2，可得，

32、于是要使平面 DAE，因为，只需，2，解得故当时，即点 M 的坐标为时，平面 DAE17.（兴宁区校级期末）如图，在四棱锥中，底面 ABCD 为直角梯形，且，平面 ABCD求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；在棱 PD 上是否存在一点 E 使得？若存在，求 AE 的长；若不存在，请说明理由【分析】本题考查空间直线与平面所成的角以及利用向量判定垂直问题，是一般题建立空间直角坐标系，根据法向量与平面所成角余弦值的绝对值就等于直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；设，则，则，由得根据方程的解可以确定的值【解答】解：以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 所在的直线为 x 轴、y

33、 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则0，0，1，2，32/39从而，设平面 PCD 的法向量为，则且，即且不妨取，则，所以平面 PCD 的一个法向量为设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为，则，所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为设，则，则，由得化简得，该方程无解，故在棱 PD 上不存在一点 E 使得33/3918.（沙坪坝区校级期末）如图，正三棱柱的底面边长是 2，侧棱长是，D 是 AC 的中点求二面角的大小在线段上是否存在一点 E，使得平面平面若存在，求出 AE 的长 若不存在，说明理由【分析】本题考查了二面角的求法以及面面垂直的判定，是一般题先求出平面和平面 AB

34、D 的法向量，根据法向量求出二面角的大小；先证明线面垂直，再证明面面垂直【解答】解：如图，作于点 O，所以平面，所以在正三棱柱中，建立空间直角坐标系因为，D 是 AC 的中点，所以0，0，0，所以，0，设y，是平面的法向量，所以，即令，则，所以2，是平面的一个法向量34/39由题意可知是平面 ABD 的一个法向量，所以由题图知二面角为锐角，所以它的大小为存在设，因为，所以，0，设平面的法向量为，所以，即令，则，所以为平面的一个法向量，又，即，解得所以存在点 E，使得平面平面，且35/39B 组-素养提升1.（齐齐哈尔期末）如图，在圆锥 SO 中，A，B 是上的动点，是的直径，M，N 是 SB

35、的两个三等分点，记二面角，的平面角分别为，若，则 的最大值是A.B.C.D.【分析】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用，涉及空间向量的数量积及及其坐标表示，平面的法向量、空间向量的夹角等，属于中档题根据题意，设底面圆的半径为 r，以所在直线为 x 轴，以垂直于所在直线为 y 轴，以 OS所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，设平面 NOA 的法向量为，平面的法向量为，根据，求得平面的法向量，结合可得，即可求解36/39【解答】解：设底面圆的半径为 r，以所在直线为 x 轴，以垂直于所在直线为 y 轴，以OS 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系如下图所示：则由，可得0，0，0，0，

36、M，N 是 SB 的两个三等分点，则0，0，所以，0，设平面 NOA 的法向量为，则代入可得，化简可得，令，解得，所以，平面 OAB 的法向量为0，由图可知，二面角的平面角为锐二面角，所以二面角的平面角满足，设平面的法向量为，则37/39代入可得，化简可得，令，解得，所以，平面的法向量为0，由图可知，二面角的平面角为锐二面角，所以二面角的平面角满足，由二面角的范围可知，结合余弦函数的图象与性质可知，即，化简可得，且，所以，所以 的最大值是，故选 B2.（如皋市期末）如图，在长方体中，E 是的中点，点 F 是 AD 上一点，动点 P 在上底面上，且满足三棱锥的体积等38/39于 1，则直线 CP

37、 与所成角的正切值的最小值为_【分析】本题考查空间向量在解立体几何问题中的应用，考查计算能力和推理能力，属于难题根据题意建立空间直角坐标系，设n，求出平面 BFE 的法向量，然后利用棱锥的体积公式和异面直线角的公式即可得【解答】解：以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设n，则0，0，2，2，0，所以，设平面 BFE 的法向量为，则，令，则，所以平面 BFE 的一个法向量为，因为，所以点 P 到平面 BFE 的距离，因为，39/39所以，因为所以，所以或舍，设直线 CP 与所成的角为，则所以，所以的最大值为，此时 最小，所以即直线 CP 与所成角的正切值的最小值为故答案为