运筹学OR1-Ch2-LP解法课件.ppt
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- 运筹学 OR1 Ch2 LP 解法 课件
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1、第二章第二章 线性规划解法线性规划解法Solution of Liner Programming2-1 单纯形法及其计算步骤单纯形法及其计算步骤2-2 人工变量处理方法人工变量处理方法2-3 改进单纯形法简介改进单纯形法简介2-4 LP的计算机求解的计算机求解2-5 案例分析案例分析2-1 单纯形法及其计算步骤单纯形法及其计算步骤1.单纯形表假定经过标准化及加入松弛变量和人工变量后的线性规划模型中,其约束方程中已经存在m个线性独立的单位列向量,一般形式可以表示为:1nn11m1m11bxaxax,2nn21m1m22bxaxax,mnnm1m1mmmbxaxax,将其系数矩阵A和资源列向量b写
2、在一个矩阵中,构成系数增广矩阵:mnmmmnmnmbaabaabaa,1,2,21,21,11,11000100012022年7月29日11时37分Page 2 of 37 1.单纯形表将系数增广矩阵及目标函数方程用一个表表示单纯形表。100001002-1 单纯形法及其计算步骤单纯形法及其计算步骤jnmjijiixabx1jijmiinmjjimiixaccbcz)(111jc1cmc1mcncBCBX1xmx1mxnxb1c2cmc1x2xmx1,1ma1,2ma1,mmana,1na,2nma,1b2bmb12mj1,11mimiimaccinmiinacc1imiibc12022年7月
3、29日11时37分Page 3 of 37 2-1 单纯形法及其计算步骤单纯形法及其计算步骤2.单纯形法的计算步骤 模型标准化找初始可行基确定初始基本可行解建初始单纯形表所有?0j同时 j0存在 pj0?得到最优解,停止无最优解,停止选择进基变量kjmax选择出基变量lklikiiabab)(min以主元素lka旋转迭代,得新的单纯形表图 2-1:单纯形计算过程示意图2022年7月29日11时37分Page 4 of 37 2-1 单纯形法及其计算步骤单纯形法及其计算步骤v例2-1 用单纯形法求解例1-1v解:例1-1标准化后的模型为:5432100032maxxxxxxz82321xxx16
4、441 xx12452 xx51,0jxj列出初始单纯形表如下:Cj23000CBXBx1 x2 x3 x4 x5b000 x3 x4 x512100400100400181612cjzj2300008/2=412/4=32022年7月29日11时37分Page 5 of 37 2-1 单纯形法及其计算步骤单纯形法及其计算步骤v例2-1 用单纯形法求解例1-1Cj23000CBXBx1 x2 x3 x4 x5b003 x3 x4 x210101/24001001001/42163cjzj20003/49Cj23000CBXBx1 x2 x3 x4 x5b000 x3 x4 x512100400
5、100400181612cjzj2300008/2=412/4=32/1=216/4=42022年7月29日11时37分Page 6 of 37 2-1 单纯形法及其计算步骤单纯形法及其计算步骤v例2-1 用单纯形法求解例1-1Cj23000CBXBx1 x2 x3 x4 x5b003 x3 x4 x210101/24001001001/42163cjzj20003/49Cj23000CBXBx1 x2 x3 x4 x5b203 x1 x4 x210101/20041201001/4283cjzj00201/4138/2=43/1/4=122/1=216/4=42022年7月29日11时37分
6、Page 7 of 37 2-1 单纯形法及其计算步骤单纯形法及其计算步骤v例2-1 用单纯形法求解例1-1Cj23000CBXBx1 x2 x3 x4 x5b203 x1 x4 x210101/20041201001/4283cjzj00201/4138/2=43/1/4=12Cj23000CBXBx1 x2 x3 x4 x5b203 x1 x5 x21011/400021/21011/21/80442cjzj003/21/80142022年7月29日11时37分Page 8 of 37 2-2 人工变量处理方法人工变量处理方法v为了构造单纯形表的初始基,在有些情况下需要在模型中加入人工变量
7、。人工变量是实际问题原模型中美有的人为的虚拟变量,因而在最终解中人工变量必须等于零,即最终应为非基变量。为确保这一点,有两种方法可以实现。1.大M法在目标函数中给每一个人工变量设定一个负系数M(M为任意大正数)。下式中yi(i=1m)为人工变量mnnMyMyMyxcxcxcz212211max11nn1111byxaxa22nn2121byxaxammnmn11mbyxaxaminjyxij1;1,0,02022年7月29日11时37分Page 9 of 37 2-2 人工变量处理方法人工变量处理方法大大M法法1.大M法例2-2:用大M法求解下列线性规划解:为确定初始基,引入人工变量x5,x6
8、,模型变成为43214235maxxxxxz41j0 x10 x2x3x4x210 x8xxx5j43214321,6543214235maxMxMxxxxxz61j0 x10 xx2x3x4x210 xx8xxx5j6432154321,2022年7月29日11时37分Page 10 of 37 2-2 人工变量处理方法人工变量处理方法大大M 法法v根据上述标准型列单纯形表如下:Cj5324MMCBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6bMM x5 x65118102432011010cjzj7M+5M+4M+10M+0020M10/810/2Cj5324MMCBXBx1 x2 x3 x4
9、x5 x6b4M x4 x65/81/81/811/803/415/411/401/415/415/2cjzj3/4M+15/4M+11/4M+05/4M0515/2M10 22022年7月29日11时37分Page 11 of 37 2-2 人工变量处理方法人工变量处理方法大大M 法法v继续上述单纯形表计算Cj5324MMCBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6b43 x4 x23/501/3011/5111/15012cjzj201/30105/3 10Cj5324MMCBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6b53 x1 x2101/185/30113/181/35/35/3cjzj0
10、0-4/9-10/340/3最优解为:X*=(5/3,5/3,0,0,0,0)T Z=40/32022年7月29日11时37分Page 12 of 37 2-2 人工变量处理方法人工变量处理方法两阶段法两阶段法2.两阶段法对于含有人工变量的LP的标准型,因在最终解中所有人工变量必须都是非基变量而等于零。因而可以分成两个阶段来求解:第一阶段:判断原问题是否有解首先建立一个辅助LP规划,其目标函数取所有人工变量之和,并取其极小,约束条件为加入人工变量后的原约束。myyyw21min11nn1111byxaxa22nn2121byxaxammnmn11mbyxaxam1in1j0y0 xij;,20
11、22年7月29日11时37分Page 13 of 37 2-2 人工变量处理方法人工变量处理方法两阶段法两阶段法v对辅助线性规划问题的求解结果有两种情况:1)目标函数值等于零。它说明所有的人工变量都等于零,即所有的人工变量都变成了非基变量。同时也表明了原问题已得到了一个基本可行解它所对应的基恰好是一个单位阵。由此就可以转入第二阶段继续迭代。2)目标函数值大于零。它说明至少有一个人工变量不能从基变量中替换出来。于是,原问题没有可行解,停止计算。第二阶段:求原问题的最优解。对于上述第一种情况,在当前基中不含有人工变量,将目标函数变为原问题的目标函数,在单纯形表中将价值系数行换为原问题的价值系数。划
12、去人工变量所在的列即得到原问题的初始单纯形表。然后重新求检验数,继续迭代,直到求得原问题的最优解。2022年7月29日11时37分Page 14 of 37 2-2 人工变量处理方法人工变量处理方法两阶段法两阶段法v例2-3:用两阶段法解例2-2解:对原模型加入人工变量后,构造辅助线性规划如下:61j0 x10 xx2x3x4x210 xx8xxx5j6432154321,65minxxwCj000011CBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6b11 x5 x65118102432011010cjzj75410002010/810/22022年7月29日11时37分Page 15 of 37
13、 2-2 人工变量处理方法人工变量处理方法两阶段法两阶段法v例2-3:用两阶段法解例2-2(续)Cj000011CBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6b01 x4 x65/81/81/811/803/415/411/401/415/415/2cjzj3/415/411/405/4015/210 2Cj000011CBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6b00 x4 x23/501/3012/151/301/5111/1501/154/1512cjzj00001105/3 10第一阶段结束,用此单纯形表换成原目标函数的价值系数,继续求解:2022年7月29日11时37分Page 16 of
14、 37 2-2 人工变量处理方法人工变量处理方法两阶段法两阶段法v例2-3:用两阶段法解例2-2(续)Cj5324CBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6b43 x4 x23/501/3011/5111/15012cjzj000005/3 10Cj5324CBXBx1 x2 x3 x4 x5 x6b53 x1 x2101/185/30113/181/35/35/3cjzj00-4/9-10/340/3最优解为:X*=(5/3,5/3,0,0,0,0)T Z=40/32022年7月29日11时37分Page 17 of 37 2-2 人工变量处理方法人工变量处理方法两阶段法两阶段法v注意:退化
15、解的处理v当我们采用规则确定出基变量时,有可能存在两个或两个以上相同的最小值,选定其中一个所对应的基变量出基,这样,在得到的新的基本可行解中除了非基变量等于零之外,还有一个或一个以上的基变量等于零。这就出现了所谓退化解。在这种情况下,如果用单纯形表求解时处理不当,有可能出现死循环。为解决这一问题,已经提出了一些方法,如“摄动法”、“辞典序法”等等。还有一种简便的方法称为勃兰特法,其规则如下:1)选取中下标最小的非基变量进基;2)当按规则计算存在两个或两个以上最小值时,选取下标最小的基变量出基。0jjjzc2022年7月29日11时37分Page 18 of 37 2-3 改进单纯形法简介改进单
16、纯形法简介1.单纯形法的矩阵描述 用矩阵来描述单纯形法有助于对这一方法进一步的理解。0maxXbAXCXz0,00maxsssXXbIXAXXCXz标准化为求解此标准型线性规划问题,对上式作如下分解:),(),(NBIA),(),(NBSXXXX),(),(NBCC0C则上述标准型变为:NNBBTNBNBXCXCXXCCMaxZ),)(,(bNXBXXXNBNBTNB),)(,(0,NBXX2022年7月29日11时37分Page 19 of 37 2-3 改进单纯形法简介改进单纯形法简介单纯形法的矩阵描述 v对约束式移项得:v左乘B-1得:v代入目标函数得:v v若令非基变量 XN=0得:v
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