第五章 二次型-优质课件.ppt

1、2022-7-29线性代数2第五章 二次型1 二次型及其标准形2 用合同变换化二次型为标准型3 用正交变换化二次型为标准型4 二次型的分类2022-7-29线性代数31 二次型及其标准形一、二次型的概念及矩阵表示二、非退化的线性交换三、用配方法化二次型为标准形2022-7-29线性代数4一、二次型的概念及矩阵表示一、二次型的概念及矩阵表示考虑方程考虑方程在平面上代表什么曲线？在平面上代表什么曲线？172137210721322yxyx(1)2022-7-29线性代数5将坐标系（将坐标系（O,x,y)顺时针旋转顺时针旋转45,即令即令vux2222vuy2222(2)则得曲线在坐标系则得曲线在坐

2、标系(O,u,v)中的方程：中的方程：14922vu(3)从而曲线为一从而曲线为一椭圆椭圆。xyuvo2022-7-29线性代数6 定义定义 1将将 n 元二次齐次式元二次齐次式),(21nxxxf2111xa2222xa2nnnxa21122xxa31132xxannnnxxa1,12称为称为 n 元二次型元二次型。二次型依其系数是实数或复数而分别称为二次型依其系数是实数或复数而分别称为实二实二次型或复二次型次型或复二次型。我们。我们仅讨论实二次型仅讨论实二次型。取取 a i j=a j i;则则 2ai j xi xj=ai j xi xj+aj i xj xi所以所以f(x1,x2,xn

3、)ni 1njjijixxa1.(4)二次型还可以用矩阵表示二次型还可以用矩阵表示2022-7-29线性代数7则：则：f(x1,x2,xn)=x1(a11 x1+a12 x2+a1n xn)+x2(a21 x1+a22 x2+a2n xn)+xn(an1 x1+an2 x2+ann xn)=(x1,x2,xn)a11 x1+a12 x2+a1n xna21 x1+a22 x2+a2n xnan1 x1+an2 x2+ann xn=(x1,x2,xn)nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nxxx212022-7-29线性代数8简记为简记为f=X T AX(5)其中：其中：nxx

4、x21X=称矩阵称矩阵 A 为二次型为二次型 f 的矩阵的矩阵，方阵方阵 A 的秩的秩 为为 二次型的秩二次型的秩。,A321333323122322211131211nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa显然显然(1)A是对称矩阵是对称矩阵f(x1,x2,xn)A(2)2022-7-29线性代数9例例1写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：212422214321232),(xxxxxxxxxf433246xxxx解解:,A1100100230300223则则XXxxxxfA),(T4321,4321xxxxX令令2022-7-29线性代数10例例2写出二

5、次型的矩阵和矩阵表示式：写出二次型的矩阵和矩阵表示式：),(4321xxxxf解解:A120300令令,),(T4321xxxxX 则则XXxxxxfA),(T4321矩阵是对角矩阵矩阵是对角矩阵24222132xxx2022-7-29线性代数11 定义定义2只含有平方项只含有平方项的二次型的二次型),(21nxxxf2111xa2222xa2nnnxa称为称为 n 元二次型的元二次型的标准形标准形。显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。2022-7-29线性代数12定义定义3对于线性交换对于线性交换x1=q11 y1+q12 y2+q1n ynx2=q21

6、y1+q22 y2+q2n yn xn=qn1 y1+qn2 y2+qnn yn(6)当当nnnnnnqqqqqqqqqQ212222111211是是满秩满秩(可逆可逆)矩阵时矩阵时,称线性变换称线性变换(6)为为非退化非退化(或或 满秩满秩)的线性变换的线性变换。二、非退化的线性交换二、非退化的线性交换2022-7-29线性代数13简记为简记为X=QY其中：其中：,21nxxxX.21nyyyYx1=q11 y1+q12 y2+q1n ynx2=q21 y1+q22 y2+q2n yn xn=qn1 y1+qn2 y2+qnn yn,212222111211nnnnnnqqqqqqqqqQ2

7、022-7-29线性代数14定理定理1任一二次型任一二次型 f ，2222211nnyyyf其中其中:y1,y2,yn 是原变量是原变量 x1,x2,xn经满秩经满秩的线性变换后得到的新变量。的线性变换后得到的新变量。XX AT通过通过非退化的线性变换非退化的线性变换化成标准型化成标准型都可都可化二次型为标准型的方法：化二次型为标准型的方法：1.配方法配方法2.合同变换合同变换3.正交变换正交变换2022-7-29线性代数15例例3化二次型化二次型 f=x12+2x22 x32+4x1x2 4x1x3 4x2x3 为标准形，并写出所作的线性变换。为标准形，并写出所作的线性变换。=x12+4x1

8、(x2 x3)=(x1+2x2 2x3)2 2x22+4x2x3 5x32=(x1+2x2 2x3)2 2(x22 2x2x3+x32)3x32=(x1+2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 3x32解：解：+2x22 x32 4x2x3x12+4x1(x2 x3)f=4(x2 x3)2+2x22 x32 4x2x3+4(x2 x3)2三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形2022-7-29线性代数16令：令：y1=x1+2x2 2x3y2=x2 x3y3=x3则：则：f=y12 2y22 3y32为标准型为标准型其中：其中：是非退化的线性变换。是非退化的线性变换。f=(x

9、1+2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 3x32即：即：321yyy100110221321xxx线性变换为：线性变换为：,321yyy1100110221321xxxx1=y1 2y2 x2=y2+y3x3=y3即：即：2022-7-29线性代数17例例4化二次型化二次型 f=2x1x2+2x1x3 6x2x3 为为标准形，并写出所作的线性变换。标准形，并写出所作的线性变换。解：解：由于由于 f 中不含平方项，故先通过线性变换来中不含平方项，故先通过线性变换来构造平方项。构造平方项。令：令：x1=y1+y2 x2=y1 y2,x3=y3即：即：321xxx100011011321yyy2

10、022-7-29线性代数18则则f=2 y12 2 y22+2 y1 y3+2 y2 y3 6 y1 y3+6 y2 y3=2 y12 4 y1 y3 2 y22+8 y2 y3=2(y12 2 y1 y3+y32)2 y32 2 y22+8 y2 y3=2(y1 y3)2 2(y22 4 y2 y3+4y32)+6 y32=2(y1 y3)2 2(y2 2 y3)2+6 y32 令：令：z1=y1 y3 z2=y2 2y3,z3=y3即：即：321zzz100210101321yyy则二次型化为标准型则二次型化为标准型 f =2 z 12 2 z 22+6 z 32 2022-7-29线性代

11、数19其中：其中：321xxx100011011321yyy1000110111100210101321zzz100111311321zzz因为：因为：,0100110311所以所作的线性变换是所以所作的线性变换是非退化的非退化的。2022-7-29线性代数20定理定理2任意一个二次型都可以用配方任意一个二次型都可以用配方法化成标准形。法化成标准形。注注1：化二次型为标准形时，所用的非退化的化二次型为标准形时，所用的非退化的线性变换不同，标准形的系数不一定相线性变换不同，标准形的系数不一定相同，因此，二次型的标准形不是唯一的。同，因此，二次型的标准形不是唯一的。2022-7-29线性代数21例

12、如：例如：f=2x1x2+2x1x3 6x2x3化为标准形：化为标准形：f=2z12 2z22+6z32232221)6()2()2(zzz再作非退化的线性交换再作非退化的线性交换12zu,22zv 36zw 得新标准形：得新标准形：f=u2 v 2+w 2321xxx100111311321zzz由非退化的线性变换由非退化的线性变换即：即：321xxx100111311610002100021wvu2022-7-29线性代数222 用合同变换化二次型为标准型一、矩阵间的合同关系二、用合同变换化二次型为标准型请点击请点击2022-7-29线性代数23对于二次型对于二次型f=X T AX令非退化

13、线性变换为令非退化线性变换为X=QY,其中：其中：|Q|0则则:f =(QY)TA(QY)其中：其中：B=Q T AQ得得:f =Y T BY。=Y T(Q T AQ)YY 的二次型新变量 X 的二次型变量 可以是对角阵可以是对角阵一、矩阵间的合同关系一、矩阵间的合同关系2022-7-29线性代数24 定义定义 1设有两个方阵设有两个方阵 A 与与 B，若存在一个，若存在一个可逆阵可逆阵 Q，B.A 则称则称 A 合同于合同于 B，记作，记作B=Q T AQ使使2022-7-29线性代数25性质性质A;A)(i反身性反身性A.B C;ACBB,A)(iii传递性传递性证证(ii)若若 B=Q

14、T AQ,则则 (Q T)1 BQ 1=A即即 A=(Q 1)T BQ 1,对称性对称性A;BBA)(ii(iii)若若 B=Q1 T AQ1,C=Q2 T BQ2,则则 C=Q2 T(Q1 T AQ1)Q2 即即 C=(Q1 Q2)T A(Q1 Q2),CA 2022-7-29线性代数2611pApT表示对表示对 A 作作一次行初等变换一次行初等变换后再作后再作同一类型的列变换同一类型的列变换。结论：结论：A 可经过一系列同一类型的行列初等变可经过一系列同一类型的行列初等变换换(也称合同变换也称合同变换)化成对角矩阵化成对角矩阵B。存在存在可逆阵可逆阵Q，由由 Q 可逆可逆,则则 Q=p1

15、p2 pm有有B,BA 若若B=Q T AQ,使使(p1 p2 pm)T A(p1 p2 pm)Tmp()P2T P1T A P1 P2mp2022-7-29线性代数27问题：求问题：求 Q？Q=p1 p2 pm=E p1 p2 pm即：即：对对 E 施行与施行与 A 同类型同类型的的列初等变换列初等变换，即得，即得 Q进行一系列行列同型的初等变换进行一系列行列同型的初等变换只进行同类型的列初等变换只进行同类型的列初等变换Tmp()P2T P1T A P1 P2mpBAEBQ2022-7-29线性代数28例例1化二次型 f=x12+2x1x2 4x1x3+3x22为标准型。解：解：f =(x1

16、 x2 x3)002031211321xxx100010001002031211r2 r11000100010022110 2 2c2 c1021AE2022-7-29线性代数29100010211420220001得得.100110311Q作变换 X=QY,化二次型 f 为标准型f =Y T BY=y12+2y22 6y32r3 2r1c3 2c1r3 r2c3 c2BQ=10011031100000012 6B=Q T AQ其中其中:12 6002022-7-29线性代数303 用正交变换化二次型为标准型一、正交矩阵二、正交变化三、实对称方阵的特征值、特征向量四、用正交变换化二次型为标准型

17、请点击请点击2022-7-29线性代数31二、正交变化二、正交变化1.定义定义2若若 P 为正交矩阵为正交矩阵，则称线性交换，则称线性交换X=PY 为为正交变换正交变换。注注1:正交变换是非退化正交变换是非退化(满秩满秩)的线性变换。的线性变换。注注2:若若 X=PY 为正交变换，则为正交变换，则XXT|X|=YPPYTTYYT|Y即即 正交变换保持向量的长度不变。正交变换保持向量的长度不变。2022-7-29线性代数32定理定理对二次型对二次型 f=X T AX 一定一定存在正交变换存在正交变换 X=PY 化二次型为化二次型为标准型标准型f =X T AX=Y T P T A P Y=Y T

18、n21Y2022-7-29线性代数33若存在正交阵若存在正交阵 P，n21使使 P T A P=而而 P T=P 1，记记 P 的列向量组为的列向量组为 1,2 ,n 分析：如何求分析：如何求 P？A P=n21P则有则有2022-7-29线性代数34有有 A(1,2 ,n)=(1,2 ,n)n21(A 1,A 2 ,A n)=(1 1,2 2 ,n n)即即A i=i i,i=1,2,n.i 0 i 是是 A 的特征值，的特征值，标准型中标准型中的系数的系数 1,2,n 可由求可由求 A 的的特征值特征值得出。得出。得出，得出，正交矩阵正交矩阵 P,是由求是由求特征向量特征向量 1,2 ,n

19、而而 i 是属于是属于 i 的特征向量的特征向量.且且 1,2 ,n是是正交的单位向量组正交的单位向量组。2022-7-29线性代数35三、实对称方阵的特征值、特征向量三、实对称方阵的特征值、特征向量引理引理1实对称方阵实对称方阵 A 的特征值都是实数的特征值都是实数证：证：设设 是是 A 的特征值，的特征值，X 是对应的特征向量，即是对应的特征向量，即AX=X,X 0两边取共轭两边取共轭:A X=X,再两边取转置再两边取转置:X TA=X T由于由于 AX=X ，代入，代入(3)式式,XXXXTT得得即即0)(XXT得得XXAXXTT(3)由由 X 0，.即即 为实数。为实数。所以所以202

20、2-7-29线性代数36引理引理2实对称方阵实对称方阵 A 对应于对应于不同特征值不同特征值的的特征特征向量向量是相互是相互正交正交的。的。证：证：设设 是是 A 不同特征值，不同特征值，、分别是属于分别是属于 和和 的特征向量，的特征向量，则则 T =(A )T =T A T =T(A )=T =T()因因 ,故故 T =0而而()T =0,即即 与与 正交正交.2022-7-29线性代数37引理引理3若若 是是 n 阶实对称方阵阶实对称方阵 A 的的 k 重根重根，则，则 A 的对应于的对应于 的线性无关特征向量的最的线性无关特征向量的最大个数恰为大个数恰为 k.2022-7-29线性代数

21、38四、用正交变换化二次型为标准型四、用正交变换化二次型为标准型(化实对称阵为对角阵化实对称阵为对角阵)步骤：步骤：(1)解特征方程解特征方程|A E|=0,得得 n 个特征实根个特征实根 1,2,n.(2)对每个对每个 i(i=1,2,n)，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组(A E)X=0求出对应于求出对应于 i 的特征向量的特征向量.若若 i 是是 k 重根重根，有，有 k 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.,21kiiiXXX2022-7-29线性代数39(3)将属于同一特征值的将属于同一特征值的kiiiXXX,21正交化正交化(4)单位化单位化得得正交的单位向量组正交的单位向

22、量组 1,2,n取取 P=(1,2,n)则正交变换则正交变换 X=PY，化二次型为标准型，化二次型为标准型n21f=Y TY=1 y12+2 y22+n yn22022-7-29线性代数40(1)解解A01 110110 10111111|EA|1111111111113)1)(3(特征根：311432标准形式为：242322213yyyyf例例1：用正交化方法化二次型用正交化方法化二次型212 xxf312 xx412 xx322xx422xx432xx为标准型为标准型2022-7-29线性代数41(2)对对 1=3，即：即：31111311113111134321xxxx0000得基础解系

23、：得基础解系：1111X 1(A+3E)X=0解线性方程组解线性方程组2022-7-29线性代数42即即11111111111111114321xxxx0000系数矩阵的秩为系数矩阵的秩为1，基础解系含有三个向量，基础解系含有三个向量,0011X 2,0101X 3.1001X 4对对 2=3=4=1,解线性方程组解线性方程组(A E)X=02022-7-29线性代数43(3)将将 X2,X3,X4 正交化正交化取取 2=X2,0011 3=X3 22223),(),(X,012121 4=X4 22224),(),(X33334),(),(X13131312022-7-29线性代数44(4)

24、单位单位化化,2121212111|1XX 122|1 2,00212133|1,0626161 3.23321321321 44|1 42022-7-29线性代数45故取正交矩阵故取正交矩阵P=(1 2 3 4)2300032162021321612121321612121作作正交变换正交变换 X=P Y,即即2022-7-29线性代数4643211321612121yyyyx43212321612121yyyyx42133216221yyyx4142321yyx就将二次型就将二次型 f 化成标准型化成标准型f =3 y12 +y22 +y32 +y422022-7-29线性代数474 二次

25、型的分类一、惯性定理二、实二次型的分类三、正定二次型的判定请点击请点击2022-7-29线性代数48一、惯性定理一、惯性定理对于二次型对于二次型 f=X T AX，经过非退化的线性变换，经过非退化的线性变换X=QY其中其中:则则 r(A)=r(B)=r,且且 r 为对角线上非零元的个数为对角线上非零元的个数B=Q T AQ00n21化成标准型化成标准型 f=Y T BY2022-7-29线性代数49定理定理1(惯性定理惯性定理)设二次型设二次型 f=X T AX 的秩为的秩为 r n 若有两个非退化的线性变换将若有两个非退化的线性变换将 f 分别化为分别化为:f=1 y12+2 y22+r y

26、r2,(i 0,i=1,2,r)f=l1 z 12+l2 z22+l r z r2,(l i 0,i=1,2,r)则则 i 中正数个数中正数个数与与 l i 中正数个数相同中正数个数相同.(从而负数个数也同从而负数个数也同)2022-7-29线性代数50其中：其中：系数系数 i 中中正数的个数正数的个数 p,负数的个数负数的个数 g=r p,p g,称为称为符号差符号差.f=1 y12+2 y22+r yr2,称为二次型称为二次型 f 的的正惯性指数正惯性指数。称为二次型称为二次型 f 的的负惯性指数负惯性指数。2022-7-29线性代数51例如：例如：二次型二次型 f=2x1x2+2x1x3

27、 6x2x3 经非退化的线性变换经非退化的线性变换321321100111311yyyxxx化成标准型化成标准型f=2 y12 2 y22 +6 y32还可经非退化的线性变换还可经非退化的线性变换321xxx6100612121632121321zzz化为标准型化为标准型f=z12 z22 +z322022-7-29线性代数52推论：推论：任一二次型任一二次型 f=X T AX 都可经非退化的都可经非退化的线性变换化成线性变换化成规范型规范型f=z12+z22+z p2 z 2p+1 z r2且规范型是唯一的且规范型是唯一的.2022-7-29线性代数53二、实二次型的分类二、实二次型的分类定

28、义定义1对于二次型对于二次型 f(x1,x2 ,xn)=X T AX 如果对于如果对于任意一组不全为任意一组不全为0的实数的实数 c1,c2 ,cn(1)恒有恒有 f(c1,c2 ,cn)0,矩阵矩阵 A 为为正定矩阵正定矩阵;(2)恒有恒有 f(c1,c2 ,cn)0,则称二次型是则称二次型是负定的负定的;(3)恒有恒有 f(c1,c2 ,cn)0,则称二次型是则称二次型是半正定的半正定的;(4)恒有恒有 f(c1,c2 ,cn)0,则称二次型是则称二次型是半负定的半负定的;(5)恒有恒有 f(c1,c2 ,cn)有时为正，有时为负有时为正，有时为负,则称二次型是则称二次型是不定的不定的.则

29、称二次型是则称二次型是正定的正定的，2022-7-29线性代数54定理定理2设秩为设秩为 r 的的 n 元元二次型二次型 f=X T AX经非退化的线性变换经非退化的线性变换 X=QY 化为标准型化为标准型f=k1 y12+k2 y22+k r yr2,(k i 0,i=1,2,r)且设且设 f 的的正惯性指数正惯性指数为为 p(1 p r),则则(1)当当 p=r=n 时，时，(2)当当 p=r n 时，时，(3)当当 p=0,r=n 时，时，(4)当当 p=0,r n 时，时，(5)当当 0 p 0,022211211aaaa,.0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa设设

30、A 为实对称矩阵，则以下为实对称矩阵，则以下4个命题等价：个命题等价：定理定理3（3）A 与单位阵与单位阵 E 合同；合同；2022-7-29线性代数56定理定理4（1）实二次型）实二次型 f=X T AX 为为负定负定的；的；（3）A 的的顺序主子式的符号为负正相间顺序主子式的符号为负正相间.即即:a11 0,084223028520242023故二次型故二次型 f 是是正定正定的。的。2022-7-29线性代数58(2)f=5x12 6x22 4x32+4x1x2+4x1x3二次型二次型 f 的矩阵为的矩阵为解：解：.402062225A由由 5 0,X T BX 0.所以，所以，X T(

31、A+B)X即，即，A+B 是是正定正定矩阵矩阵=X T AX+X T BX 02022-7-29线性代数60例例3：试证：对于试证：对于正定正定的的实对称实对称方阵方阵 A，存在，存在非奇异方阵非奇异方阵 U,使使 A=UTU.证：证：因为因为 A 是实对称矩阵，故存在正交变换是实对称矩阵，故存在正交变换 X=PY,使使X T AX=(PY)T A(PY)=Y T(P T AP)Y其中其中:1,2,n 为为 A 的的特征值特征值，A 是正定矩阵，是正定矩阵，i 0 (i=1,2,n).=Y TY,n212022-7-29线性代数61即有：即有：P T AP=n21(P T)1P 1A=n21P 1n21 (P 1)T=2022-7-29线性代数62n21n21P 1 (P 1)T=A令令.121PUn则则 U 为非奇异方阵，为非奇异方阵，且且 A=U T U.2022-7-29线性代数63（1）f=X T AX 为为半正定半正定的；的；（4）矩阵）矩阵 A 的顺序的顺序 主子式大于或等于零主子式大于或等于零，设设A 为实对称矩阵，则以下为实对称矩阵，则以下4个命题等价：个命题等价：定理定理5（2）A 的的特征值特征值 ,且大于零的且大于零的 个数小于个数小于n;0且至少有一个且至少有一个顺序顺序 主子式等于零主子式等于零。（3）A 与与 合同；合同；)0,0,1,1(diag