第四章-中心极限定理与参数估计-优质课件.ppt

1、第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 4.1 切贝谢夫不等式与大数定律切贝谢夫不等式与大数定律 4.2 中心极限定理中心极限定理 4.3 抽样分布抽样分布 4.4 参数的点估计参数的点估计 4.5 参数的区间估计参数的区间估计一 切贝谢夫不等式二 大数定律4.1 切贝谢夫不等式与大数定律 第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 切贝谢夫不等式注意：第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计96.0200160012008000820078002XPXP第四章第四章 中心极限定理与

2、参数估计中心极限定理与参数估计5050050X第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计9.0502501505005504502XPXP第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计1)1(321)(XE12114341412XP第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计3)(XE12.053532XP第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计一、大数定律第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 贝努里大数定律说明说明：当独立重复试验进行多次时，随机事件发生

3、的频率是稳定的，在其概率附近摆动，而摆动中心就是概率，即随机事件发生的频率依概率收敛于它的概率。它为概率的统计定义提供了理论依据。根据贝努里大数定律大数定律，若某随机事件发生的概率很小，则其发生的频率也是很小的。第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 切贝谢夫大数定律说明说明：对于n个相互独立且具有具有相同的有限的数学期望与方差的随机变量，当n充分大时，经过算术平均所得到随机变量的离散程度是很小的，其取值密集在数学期望附近。它为测量工作中以实际观测值的算术平均值作为测量精确值的近似值这一测量方法提供了理论依据。第四章

4、第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 小结与提问：小结与提问：本次课，我们介绍了切贝谢夫不等式与大数定律，应掌握利用切贝谢夫不等式估计有关事件概率的方法；充分了解贝努里大数定律及其说明的问题；充分了解切贝谢夫大数定律及其说明的问题。VIIVII课外作业：课外作业：一 林德伯格莱维中心极限定理二 德莫佛拉普拉斯定理 4.2 中心极限定理中心极限定理第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计一、林德伯格莱维中心极限定理第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计.,121近似地服从正态分布近似地服从正态分布很大时很大时当当那么它们的和那么它们的和只要满

5、足定理的条件只要满足定理的条件分布分布服从什么服从什么无论各个随机变量无论各个随机变量nXXXXnkkn 定理定理4.2.14.2.1表明表明:第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计801iiXX由题意得到数学期望根据随机变量数学期望的性质，计算数学期望1602)()()(801801801iiiiiXEXEXE第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计28018018018648.0)()()(iiiiiXDXDXD第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计例例2、袋装食糖用机器装袋

6、，每袋食糖净重的数学期望为100g，标准差为4g，一盒内装100袋，求一盒食糖净重大于10100g的概率。1001iiXX第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计根据随机变量数学期望的性质，计算数学期望10000)()()(10011001iiiiXEXEXE210011001100140160016)()()(iiiiiXDXDXD第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计10100 10000101001()401(2.5)1 0.99380.0062P X 所以一盒食糖净重大于10100g的概率为0.0062。第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限

7、定理与参数估计二、德莫佛拉普拉斯定理定理定理4.224.22表明表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计.105,)1,0(,)20,2,1(20201的近似值的近似值求求记记上服从均匀分布上服从均匀分布且都在区间且都在区间机变量机变量设它们是相互独立的随设它们是相互独立的随个噪声电压个噪声电压一加法器同时收到一加法器同时收到 VPVVkVkkk解解,5)(kVE).20,2,1(12

8、100)(kVDk由定理四由定理四,随机变量随机变量 Z 近似服从正态分布近似服从正态分布 N(0,1),例例1第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计2012100520201 kkVZ2012100520 V其中其中 105VP20121005201052012100520 VP387.02012100520 VP387.020121001001 VP 387.02de2112tt)387.0(1 .348.0 第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击,纵摇角大于纵摇

9、角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,.)31,00090(bX且且例例2第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计所求概率为所求概率为3050029500 XP.3231

10、90000900003050029501kkkk 分布律为分布律为kXP,32310009000090kkk .00090,1 k直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 )1(30500)1(295002de212pnpnppnpnptt )1(29500)1(30500pnpnppnpnp ,31,90000 pn3050029500 XP 225225 .9995.0 第四章第四章 中心极限定理与

11、参数估计中心极限定理与参数估计 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元.若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元.设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,),(pnBX则则,017.0,10000 pn其中其中由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例3第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计2001000010000 X

12、P200 XP )1(200)1(pnpnppnpnpXP 321.2)1(pnpnpXP.01.0)321.2(1 保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 对于一个学生而言对于一个学生而言,来参加家长会的家长来参加家长会的家长人数是一个随机变量人数是一个随机变量.设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名名家长、家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加设各学生参加会议的家长数相互独立会议的家长数相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.(

13、1)求求参加会议的家长数参加会议的家长数 X 超过超过450的概率的概率;(2)求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解,)400,2 ,1()1(长数长数个学生来参加会议的家个学生来参加会议的家第第记记以以kkXk 例例4第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 的分布律为的分布律为则则kX15.08.005.0210kkpX,1.1)(kXE易知易知)400,2,1(,19.0)(kXDk ,4001 kkXX而而根据根据独立同分布的中心极限理，独立同分布的中心极限理，19.04001.1400 4001 kkX随机变

14、量随机变量 19.04001.1400 X),1,0(N近似服从正态分布近似服从正态分布第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 19.04001.140045019.04001.1400 XP450 XP于是于是 147.119.04001.14001 XP;1357.0)147.1(1 第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 ,)2(议的学生数议的学生数记有一名家长来参加会记有一名家长来参加会以以Y ),8.0,400(bY则则由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,350 XP 2.08.04008.04003402.08.04008.0400

15、 YP 5.22.08.04008.0400 YP.9938.0)5.2(第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计.,1,),2,1()1,1(,1221并指出其分布参数并指出其分布参数正态分布正态分布近似服从近似服从随机变量随机变量充分大时充分大时证当证当试试上服从均匀分布上服从均匀分布在区间在区间且且相互独立相互独立设随机变量设随机变量 nininiXnZnniXXXX证证),2,1(,2niXYii 记记)()(2iiXEYE)(iXD,31 22)()()(iiiYEYEYD .)()(24iiYEXE 例例5第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计

16、 1144d21)(iiixxXE因为因为,51 23151)(iYD所以所以,454 ,21相互独立相互独立因为因为nXXX .,21相互独立相互独立所以所以nYYY根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 niniXZn12 niiY1,454,3 nnN近似服从正态分布近似服从正态分布.454,31 nNZ 近似地服从正态分布近似地服从正态分布故故第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 小结与提问：小结与提问：本次课，我们介绍了林德伯

17、格莱维定理、德莫佛拉普拉斯定理，应当理解这两个中心极限定理的使用条件及结论，掌握用这两个中心极限定理求解有关概率问题的方法。VII课外作业：课外作业：德莫佛资料德莫佛资料Abraham de Moivre Born:26 May.1667 in Vitry(near Paris),FranceDied:27 Nov.1754 in London,England拉普拉斯资料拉普拉斯资料Pierre-Simon Laplace Born:23 Mar.1749 in Beaumont-en-Auge,Normandy,France Died:5 Mar.1827 in Paris,France一

18、总体与个体二 样本三 统计量 四 各种统计量的分布4.3 抽样分布 一 总体与个体总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。个体：总体中的每个元素为个体。定义：设X是具有分布函数F的随机变量，若nXX,1是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量，则称 为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本，其观察值 称为样本值。nxx,1nXX,1例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。二、样本第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计由定义知：若 为X的一个样本，则 的联合分布函数为：nXX,1

19、nXX,1niinxFxxF11*)(),(若设X的概率密度为f，则的联合概率密度为：nXX,1niinxfxxf11*)(),(第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计三 统计量1.定义：设为来自总体X的一个样本，g 是的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数；nXX,1nXX,1),(1nXX 是一个统计量。则称),1(nXXg的观察值。是则称),(),(11nnXXgxxg 注：统计量是随机变量。的样本值。是相应于样本),(1nXX nxx,1设第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计例1设为来自总体 的一个样本，nXX,1),(2NX已知，未知

20、其中2,问下列随机变量中那些是统计量.)(;)(;2);,min(12211121nnXXXXnXXXXXXXnnnnn2.常用的统计量niiXnX11样本均值：niiniiXnXnXXnS12212211)(11样本方差：第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计niiXXnSS122)(11样本标准差：,2,11)(1kXnAknikik矩：原点阶样本,2,1)(11kXXnBknikik阶中心矩：样本它们的观察值分别为：niixnx1111)(11122122niiniixnxnxxns第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计niixxns12)(112

21、,1,11kxnanikik2,1,)(11kxxnbnikik分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶矩、样本k阶中心矩。统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计结论：设为来自总体 的一个样本，nXX,1,2DXEX则222,.EXDXESnX第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计四 各种统计量的分布分布2)1(的样本，为来自于正态总体设)1,0(),(1NXXn2212nXX则称统计量：)(222nn记为分布。的是所服从的分布为自由度分布的性质：2独立，则有，且2221222212

22、210),(),(.1nn)(2122221nn 第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计nDnE2,.2220)1,0(,1,0NXDXEXiii证：niEXEXDXiii,2,1,213)(2242.)(12122nEXXEEniinii所以.2)(12122nDXXDDniinii,12iEX第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计)()10(22nP，称满足条件：对于给定的。分位点上分布的为的点)()(22nn2分位点。是标准正态分布的上充分大时，当znznn22)12(21)(第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计分布t)2()

23、.(T ,),(),1,0(2ntTtnnYXYXnYNX分布，记作的是所服从的分布为自由度称随机变量独立，则)()10(nttP，称满足条件：对于给定的。分位点上分布的为的点tnt)()()(1ntnt：由概率密度的对称性知.)(45zntn时，当)(nt)(1nt第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计).,(/1),(F1221nnFFnnF则若),(/1),(12211nnFnnF结论：),()10(21nnFFP，称满足条件：对于给定的。分位点上分布的为的点FnnF),(21称随机变量则 分布F)3(独立，若YXnYnX,),(),(2212).,(,2121nnF

24、FFnn分布，记作的是21/FnYnX所服从的分布为自由度),(21nnF第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计),(11211nnFFP所以),(1),(),(/12111212nnFnnFnnFF所以，又因为),(1),(12211nnFnnF即357.080.21)12,9(1)9,12(05.095.0FF例：),(21nnFF证明：若),(11),(1211211nnFFPnnFFP),(111211nnFFP第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计(4)正态总体的样本均值与样本方差的分布：).,().1(2nNX221,),(,.SXNXXn的

25、样本，是总体设)1()1().2(222nSn独立。与2).3(SX)1(/ntnSX).1()1(),1,0(/222nSnNnX证明：定理1方差，则有：分别是样本均值与样本定理2.第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计且它们独立。则由t-分布的定义：)1()1()1(/22ntnSnnX)1(/ntnSX即：2112111,1njjniiYnYXnX设；分别是两个样本的方差212222)(11njjYYnS的样本，且它们独立。体相同方差的两个正态总分别是具有与设),(),(,2221212121NNYYYXXXnn.3定理。分别是两个样本的均值112121)(11nii

26、XXnS第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计)2(112)1()1()()(21212122221121nntnnnnSnSnYX则有：),(221221nnNYX证：)1,0(/1/1)()(2121NnnYX所以且它们独立。),1()1(),1()1(222222122211nSnnSn。则)2()1()1(21222222211nnSnSn第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计)2/()1()1(/1/1)()(21222222112121nnSnSnnnYXt分布的定义：由)2(112)1()1()()(21212122221121nntnnn

27、nSnSnYX即：)2(21 nnt第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 小结与提问小结与提问：本次课，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量的概念；常用的统计量的分布；应熟悉常用统计量的分布，并会求它们各自的分位数。VII课外作业：课外作业：一 参数的点估计二 估计量的评选标准三 关于正态总体样本均值概率的计算 4.4 参数的点估计 4.4 参数的点估计是待估参数。的形式为已知，的分布函数设总体);(xFX是相应的样本值。的一个样本，是nnxxXXX11点估计问题：。来估计未知参数，用它的观察值构造一个适当的

28、统计量),(),(11nnxxXX。估计值为；称估计量的为我们称),(),(11nnxxXX1.矩估计法),;(),;(11kkxPxXPXxfX分布列为为离散型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其设的样本。为来自，是待估参数其中XXXnk,11存在。设.,2,1,klEXllnililXnA11则klAll,1,令。，从中解出方程组的解的联立方程组，个未知参数这里是包含kkk11。矩估计法估计量的方法称为的估计量，这种求，分别作为，用kk11 这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值称为矩估计值。例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从（用矩法）。试估计参数未知，有以下样本值；

29、的泊松分布，参数为 250126225490756543210knkk次着火天数发生着火的次数niiXXnAEX1111解：22.1)16901750(2501,xX则令。估计值所以22.1,X样本；是一个未知；设总体例nXXbabaUX,.21的矩估计量。求：ba,21baEX解：niiXnAba1112令niiXnAbaab1222214)(12)(4)(12)()(22222baabEXDXEX)(12,22121AAabAba即niiniiXXnXAAAbXXnXAAAa122121122122)(3)(3 )(3)(3解得：是一个样本；未知，又设，但都存在，且，方差的均值设总体例nX

30、XX,0.3122的矩估计量。求：2,222221)(,EXDXEXEX解：,2211AA令,2221AA即,1XA 所以212122122)(11XXnXXnAAniinii第七章第七章 参数估计参数估计未知；特别，若22,),N(X niiXXnX122)(1,则2.极大似然估计法可能取值的范围。是为待估参数，的形式为已知，属离散型，其分布律若总体),;().1(xpxXPX的联合分布律：的样本；则是来自设nnXXXXX,11niixp1);(的一个样本值；是又设nnXXxx,11发生的概率为：事件的概率，亦即取易知样本,1111nnnnxXxXxxXX)1.1(.,);();,()(11

31、niinxpxxLL。似然函数称为样本的的函数。它是)(L使得：即取的估计值，作为达到最大的参数挑选使概率定由极大似然估计法：固);,(;,11nnxxLxx)2.1();,(max);,(11nnxxLxxL。极大似然估计值的称其为参数有关，记为与);,(,11nnxxxx。极大似然估计量的称为参数),(1nXX;),;().2(为待估参数的形式已知，属连续型，其概率密度若总体xfX的联合密度：则nXX,1niixf1);(似为：维立方体）内的概率近的的邻域（边长分别为落在机点的一个样本值，则随是相应设ndxdxxxXXXXxxnnnnn,),(),(,11111)3.1();(1iniid

32、xxf取到最大值。，使概率的估计值我们取)3.1(而变，故只需考虑：不随但iidx)4.1(,);();,()(11niinxfxxLL。似然函数称为样本的的最大值，这里)(L);,(max);,(11nnxxLxxL若。极大似然估计值的为则称),(1nxx。极大似然估计量的为称),(1nXX.0)();(),;(ddLxfxp可由下式求得：可微，故关于一般，(1.5).0)(ln )(ln)(LddLL也可从下述方程解得：大似然估计的极处取到极值，因此在同一与又因个参数，若母体的分布中包含多.,1,0ln.,1,0kiLkiLii或即可令的极大似然估计值。个方程组求得解kk,1的一个样本，是

33、来自设例XXXpBXn,);,1(.41试求参数p的极大似然估计量。的分布律为：是一个样本值。解：设Xxxn,1;1,0,)1(1xppxXPxx故似然函数为,)1()1()(1111niiniiiixnxxxnipppppL).1ln()(ln)()(ln11pxnpxpLniinii而.01)(ln11pxnpxpLdpdniinii令xxpnii1n1p 的极大似然估计值解得XXpnii1n1p 的极大似然估计量为-它与矩估计量是相同的。的一个样本值，是来自为未知参数，设例XxxNXn,);,(.5122的极大似然估计量。求：2,的概率密度为：解：X)(21exp21),;(222xxf

34、似然函数为：niixL1222)(21exp21),(niixnnL122)(21)ln(2)2ln(2ln0)()2(12n-01 0ln0ln21222122niiniixnxLL即：令niiniiXXnxxn1221)(1 1解得：是一个样本值，未知，设例nxxbabaUX,;,.61的极大似然估计量。求：ba,),max(),min(1)(1)1(nnnxxxxxx解：设X的概率密度为：其它,0;,1),;(bxaabbaxf,)()1(1bxxabxxann等价于因为其它,0;,)(1),()()1(nnxbxaabbaL有的任意对于满足baxbxan,)()1(nnnxxabbaL

35、)(1)(1),()1()(nnnxxxbxabaL)(,),()1()()()1(时，取最大值在即：的极大似然估计值为：故ba,max,min)()1(inixxbxxa的极大似然估计量为：故ba,max,miniiXbXa的极大似然估计。是则的极大似然估计；是具有单值反函数，的函数设性质：)()(),(uuuuu的极大似然估计是例：niiXXn122)(1)0(,)(2222uuuu有单值反函数的极大似然估计是故 )(1122niiXXn2 估计量评选的标准.),(.11EXXn且的数学期望存在，无偏性：若的无偏估计量。是则称).D()D(),(),(.221122111的无偏估计量；若都

36、是，有效性：若nnXXXX有效。较则称21.),(.311pnnXX时，当若对于任意的估计量为参数一致性：若的一致估计。是则称第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计16 15161()1(2)1 0.97720.50.0228P X 第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计)3(1)310(1XP第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计1.0)3(128.1343.0第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 小结与提问：小结与提问：VII 课外作业：课外作业：一

37、置信区间与置信度二 均值的区间估计三 方差的区间估计4.5 参数的区间估计 区间估计要求根据样本给出未知参数的一个范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。一、置信区间与置信度使得：找出统计量；对于样本含一待估参数定义：设总体,),2,1)(,(,2111ixxxxXniin)10(,121P。置信度为该区间的，置信区间的为，称区间121的可能性。表示该区间不包含真值的可靠程度。值给出该区间含真是一个随机区间；，区间121个左右。真值的有个左右，不包含真值的有个区间中包含次，则在得到的这时重复抽样，即置信度为例如：若595100100%.951%5通常，采用95%的置信度，有时也取99%

38、或90%二、均值的区间估计。，的置信区间下，来确定在置信度的一个样本。为总体设1),(,2121NXxxn(1).已知方差，估计均值。点估计，又知道的一个是，且知道设已知方差)1,0(/101202Nnxuxnxnii.1 :12121uP，使得，值临界，查正态分布表，找出对于给定的置信度-1|u P|,21使：称区间；通常我们取对，由此可找出无穷多组即：-1-x P-0n，得：找出查正态分布表,2/1)(0)-x(-n，可知：由由正态分布表的构造，1|tPx,-x 00nn推得，随机区间：。的概率包含它以1例1.已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：11

39、5,120,131,115,109,115,115,105,110cm;；，置信度为假设标准差%9570的置信区间。试求总体均值由样本值算得：解：已知.05.0,9,70n.115)110120115(91x，由此得置信区间：查正态分布表得临界值96.157.119,43.1109/796.1115,9/796.1115(2).未知方差，估计均值niixxn1222)(11S ，这时可用样本方差：由于未知方差nSx/t而选取样本函数：则随机变量t服从n-1个自由度的t分布。，使得：与分布表，得临界值，查对于给定的211t，121tP，使得：我们仍然取成对称区间1|,tP.),1(找出分布表查n

40、ttnS/-x-其中，n是样本容量，n-1是表中自由度；由此得：，可知：与分布表的构造，比较由1|tPtPt，即1/nSxPx,-x nSnS推得，随机区间：。的概率包含它以1例2.用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;设温度。),(2NX在范围。时，试求温度的真值所在置信度为%95是测量值。是温度的真值，解：设X由样本值算得：已知.05.0,7n.29.1,8.1122Sx。由此得置信区间：得临界值查447.2)05.0,6(t85.113,75.111729.1447.28.112,729.1447.28.

41、112三、方差的区间估计的一个样本。为总体设),(,21NXxxn的一个点估计是我们知道2122)(11niixxnS分布。自由度的个服从并且知道样本函数：2221)1(nSn，使得：与分布表，得临界值，查对于给定的2121，121P，即，用使概率对称的区间：分布无对称性，我们采由于1)1(2/2221212SnPPP，可知：与分布表的构造，比较由12122PP。找出布表分而查找出分布表查1222,)2/,1(,.,)2/,1(nn其中，n是样本容量，n-1是表中自由度；由此得：2221)1(-Sn12222)1()1(SnSn推得：这就是说，随机区间：，而随机区间的概率包含以211222)1

42、(,)1(SnSnSnSn121,1.1的概率包含以 例3.设某机床加工的零件长度，),(2NX今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度为95%时，试求总体方差 的置信区间。2由样本值算得：解：已知.05.0,16n.00244.02S由此得置信区间：得查得查.5.27)025.0,15(;26.6)975.0,15(22120058.0,0013.026.600244.015,5.2700244.015小小 结结1、已知正态总体的方差，求期望的置信区间、已知正态总体的方差，求期望的置信区间2、未知正态总体的方差，求期望的置信区间、未知正态总体的方差，求期望的置信区间3、未知正态总体的期望，求方差的置信区间、未知正态总体的期望，求方差的置信区间