高等机构学第十章-机构弹性动力学课件.ppt
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- 高等 机构学 第十 机构 弹性 动力学 课件
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1、第十章第十章 机构弹性动力学机构弹性动力学10-1 概述概述一、机构动力学的研究内容一、机构动力学的研究内容1、考虑到构件的弹性变形的机构分析与设计、考虑到构件的弹性变形的机构分析与设计2、考虑到运动副间隙时的机构运动与动力分析、考虑到运动副间隙时的机构运动与动力分析3、考虑到构件质量变化时的机构运动与动力分析、考虑到构件质量变化时的机构运动与动力分析4、考虑到运动副摩擦时的机构运动与动力分析、考虑到运动副摩擦时的机构运动与动力分析本书讨论第一类问题本书讨论第一类问题只要机构中含有一个以上的弹性元件,则认只要机构中含有一个以上的弹性元件,则认为该机构是弹性机构。为该机构是弹性机构。构件在外力作
2、用下发生较大弹性变形时,可构件在外力作用下发生较大弹性变形时,可看作弹性构件看作弹性构件,含弹性构件的机构是弹性机构含弹性构件的机构是弹性机构考虑到构件的弹性变形的机构动力学问题考虑到构件的弹性变形的机构动力学问题10-2 含有弹性构件机构的分析方法含有弹性构件机构的分析方法 只要机构中含有一个以上的弹性元件,只要机构中含有一个以上的弹性元件,则认为该机构是弹性机构。高速、重载,且含则认为该机构是弹性机构。高速、重载,且含有容易发生弹性变形的构件的机构,也应按弹有容易发生弹性变形的构件的机构,也应按弹性机构处理。性机构处理。含有弹性构件的机构动力学分析方法通常含有弹性构件的机构动力学分析方法通
3、常经历以下过程经历以下过程:把实际机构简化为相应的力学把实际机构简化为相应的力学模型;列出运动方程式;求解运动方程;对结模型;列出运动方程式;求解运动方程;对结果进行分析果进行分析 Kinetic equation,dynamic equation,Kinematic equation,1.1.建立机构的动力学模型建立机构的动力学模型力学模型的建立方法随机构构件不同而异,一力学模型的建立方法随机构构件不同而异,一般要经过一些适当简化。构件弹性一般用弹簧般要经过一些适当简化。构件弹性一般用弹簧表示,质量、转动惯量作为集中参量处理。表示,质量、转动惯量作为集中参量处理。齿轮传动轴系的动力学模型齿轮
4、传动轴系的动力学模型1k2k3kcyy ycy为凸轮轴的扭转刚度为凸轮轴的扭转刚度为推杆刚度为推杆刚度为压缩弹簧刚度为压缩弹簧刚度为凸轮廓线产生的位移为凸轮廓线产生的位移考虑到构件弹性时的推杆实际位移考虑到构件弹性时的推杆实际位移凸轮机构的动力学模型凸轮机构的动力学模型P 外载荷外载荷预紧力预紧力1Sm 推杆等效质量推杆等效质量连杆机构的动力学模型连杆机构的动力学模型构件的弹性运动看作刚性构件运动和弹性变形的构件的弹性运动看作刚性构件运动和弹性变形的叠加结果。叠加结果。黑线表示的为机构初始位置黑线表示的为机构初始位置红线表示发生变形后的弹性机构位置红线表示发生变形后的弹性机构位置虚线表示曲柄转
5、动虚线表示曲柄转动 的刚的刚性机构位置性机构位置)(在图示的四杆机构在图示的四杆机构ABCD中,可按中,可按单元单元 节节点点建立力学模型,如以构件建立力学模型,如以构件BC为一个单元为一个单元 ,两端铰链为节点,然后讨论节点位移与变形,两端铰链为节点,然后讨论节点位移与变形,该种力学模型常用有限元法求解。该种力学模型常用有限元法求解。UWcucwcUWcucwcBCBuBw为杆端为杆端B处的位移处的位移。为杆端转角为杆端转角cucw为杆为杆C端位移端位移构件也可以看作具有离散质量的弹性杆,如图构件也可以看作具有离散质量的弹性杆,如图所示的连杆所示的连杆ABAB,通过对各质量点变形的分析来,通
6、过对各质量点变形的分析来求解。这种力学模型一般用差分法求解。求解。这种力学模型一般用差分法求解。本书仅讨论按单元本书仅讨论按单元 节点法建立连杆机构的弹性动力学模型节点法建立连杆机构的弹性动力学模型运动方程的建立要在力学模型的基础上进行。运动方程的建立要在力学模型的基础上进行。常用方法有动静法和拉格朗日方程法。常用方法有动静法和拉格朗日方程法。2.2.建立运动方程的常用方法建立运动方程的常用方法(1)动静法动静法 (Dalember principle)(2)(2)拉格朗日方程法拉格朗日方程法 (Lagrange EquitionLagrange Equition)对于单自由度的机构,常采用动
7、静法对于单自由度的机构,常采用动静法对于多自由度的机构,常采用拉格朗日方程法对于多自由度的机构,常采用拉格朗日方程法(1)动静法动静法 (Dalember principle)22213)(dtydmyykspykc22222121dtydkmkkkkspyc以凸轮机构为例以凸轮机构为例maFi)(213cyykspykF(忽略凸轮轴的刚度忽略凸轮轴的刚度)3kiiiiFqUqEdtqEd)(2)(2)拉格朗日方程法拉格朗日方程法(Lagrange Equition)拉格朗日方程为拉格朗日方程为:iqiq iFE:E:为机构动能为机构动能U:U:为机构势能为机构势能:为广义坐标为广义坐标n:为
8、自由度数目为自由度数目:为对应广义坐标的广义力为对应广义坐标的广义力:为广义坐标对为广义坐标对t t的导数的导数i=1n以二自由度的刚性转子在弹性支撑上的振动以二自由度的刚性转子在弹性支撑上的振动模型为例模型为例刚性转子刚性转子弹性支撑弹性支撑1弹性支撑弹性支撑2M M 为转子质量为转子质量为转子绕质心且平行为转子绕质心且平行z z 轴的转动惯量轴的转动惯量sJ系统动能系统动能 E E为为222121ssJyME系统势能系统势能 U U=0=00EsJEiq0syEsiyq ssiyMyEqE广义坐标为广义坐标为广义坐标为广义坐标为),(21qq广义坐标为广义坐标为iq),(sy syq 1c
9、os)(21ukkskFFdtyMdcos)(2121hFlFlFdtJdukks)(111lykFsk1k弹性支承弹性支承 上恢复力上恢复力)(222lykFsk2k弹性支承弹性支承 上恢复力上恢复力2mrFu离心惯性力离心惯性力将其代入拉氐方程中将其代入拉氐方程中2q同理同理,kkk21lll21若转子结构对称,若转子结构对称,tmrkyyMsscos22 thmrklJcos222 上述方程将化简为下列微分方程上述方程将化简为下列微分方程3.3.运动方程的求解运动方程的求解机构动力学中的力学模型建立的运动方程一机构动力学中的力学模型建立的运动方程一般为微分方程,主要有以下三种。般为微分方
10、程,主要有以下三种。(1)(1)常系数线性微分方程组,这类方程一般常系数线性微分方程组,这类方程一般可通过求解特征值、特征向量和特解的方法可通过求解特征值、特征向量和特解的方法得以求解。得以求解。(3)3)具有变系数的线性微分方程,机构动力具有变系数的线性微分方程,机构动力学中有时遇到二阶变系数的线性微分方程,形学中有时遇到二阶变系数的线性微分方程,形式为式为(2)(2)非线性微分方程组,机构动力学中的这非线性微分方程组,机构动力学中的这种非线性微分方程,一般不易直接积分求解。种非线性微分方程,一般不易直接积分求解。常用四阶龙格一库塔法常用四阶龙格一库塔法(Runge-kuttaRunge-k
11、utta)进行数进行数值求解。值求解。这类方程一般用数值解法这类方程一般用数值解法)()()(22tFqtkqtnq 1.1.建立力学模型建立力学模型图为发动机配气凸轮机构简图和力学模型图为发动机配气凸轮机构简图和力学模型10-3 凸轮机构动力学凸轮机构动力学skfkp1smycy)(fyc与凸轮廓线有关的位移与凸轮廓线有关的位移 弹簧刚度弹簧刚度 推杆刚度推杆刚度 推杆外载荷推杆外载荷 推杆在起始位置时弹簧预紧力推杆在起始位置时弹簧预紧力 推杆的等效质量推杆的等效质量 推杆实际位移推杆实际位移 为凸轮转角为凸轮转角221)(dtydmspyykykFcfsi:2.2.建立运动方程建立运动方程
12、p 外载荷外载荷22dtydmFi微分方程的基本型为微分方程的基本型为yks 弹簧恢复力弹簧恢复力)(cfyyk 推杆发生弹性变形恢复力推杆发生弹性变形恢复力1s 弹簧预紧力弹簧预紧力221dtydkmykkkkspyffsffc222221,dyddtydkkkkrksprfsfafnnnn63606026060222236dtydnkmykryfracfkmnc236cyykryracfaksPr1称为推杆初始变形称为推杆初始变形fsfrkkkk为推杆当量弹簧刚度为推杆当量弹簧刚度fkmnc236为动力常数为动力常数 令:令:则有:则有:上述微分方程有两层含义上述微分方程有两层含义cy第一
13、,已知凸轮廓线,可由此求出第一,已知凸轮廓线,可由此求出 ,再,再求出推杆的真实运动求出推杆的真实运动y y。可求解凸轮机构的动。可求解凸轮机构的动力学响应。力学响应。cyykryrac第二,如已知推杆真实运动规律第二,如已知推杆真实运动规律y y,可求出,可求出 和凸轮廓线。由此可导出动力多项式高速凸轮和凸轮廓线。由此可导出动力多项式高速凸轮的设计方法。的设计方法。cy3.运动方程的求解运动方程的求解 cyykryrac cyykyrc cyykyrc由由两边对凸轮转角两边对凸轮转角 求导数求导数若保证的若保证的 四阶导数连续,需用四阶导数连续,需用5阶阶以上多项式的位移方程。以上多项式的位
14、移方程。)(fy()设计高速凸轮()设计高速凸轮nncccccy332210nccccc,32,10,最常用的有最常用的有3-4-53-4-5多项式和多项式和5-6-75-6-7多项式。多项式。待定系数待定系数可按机械原理中的方法求出。可按机械原理中的方法求出。例例:按按3-4-53-4-5次多项式设计高速凸轮机构。次多项式设计高速凸轮机构。已知条件如下:已知条件如下:=800N/cm,=510N/cm,P=500N,=750N,n=1000r/m,等效,等效质量质量m=1.97kgskfk1s回程运动角为回程运动角为60,推杆行程为,推杆行程为h=h=20mm。设:设:)(6)(15)(10
15、543hhsy解:解:3-4-53-4-5次多项式次多项式回程回程的位移方程为的位移方程为式中式中 h=2cm,=60543)60(12)60(30)60(202 sy432)60()60(2)60(y32)60(151)60(101)60(301y016.1fsfrkkkk025.01fakspr184.14362fkmnc2)60(4184.1)60(4728.0057.2cycy可解出凸轮廓线的推杆位移方程可解出凸轮廓线的推杆位移方程543)60(195.12)60(48.30)60(2556.21由可解出凸轮廓线的方程由可解出凸轮廓线的方程cy由于推杆的弹性变形,推杆真实运动由于推杆的
16、弹性变形,推杆真实运动y与凸轮与凸轮廓线所产生的理论推杆运动廓线所产生的理论推杆运动 不再相等,当不再相等,当然,推杆的真实运动速度、加速度与对应理论然,推杆的真实运动速度、加速度与对应理论值也不相等值也不相等 cy(2)(2)由已知廓线求解推杆真实运动规律由已知廓线求解推杆真实运动规律由于由于y y与与 、有关系,故按图所示力学模型有关系,故按图所示力学模型而建立的运动方程为而建立的运动方程为:skfk22)(dtydmyykykcfs22)(dtydmyykykcfscffsykykkdtydm)(22cffsymkymkkdtyd22cfnymkyy2 mkkfsn为无阻尼自由振动的固有
17、频率为无阻尼自由振动的固有频率)cos()(111 2sincos22nnmhknBnAyfnn 则该方程的通解为则该方程的通解为待定常数待定常数A A、B B可由边界条件确定可由边界条件确定)cos(1(2hyc设:设:式中:式中:00y0y1)(1222nmkhAf0B)cos(1)(1)cos()(111 2222nnnmkynf)sin(1)()sin()(12222nnnnmkhdtdyvnf)cos(1)()()cos()(1)(222222nnnnmkhdtdvanf当考虑到推杆弹性后,工作端的运动规律发生当考虑到推杆弹性后,工作端的运动规律发生改变,改变,。只有当。只有当n很大
18、时,也就是说,很大时,也就是说,当机构固有频率当机构固有频率 很大时很大时(刚度大刚度大),而且凸,而且凸轮角速度很小时,轮角速度很小时,才接近才接近 y 值。值。cyy ncy(黑:理论值,(黑:理论值,红红:n=2,蓝:蓝:n=3,绿:绿:n=4)10-4 10-4 连杆机构弹性动力学连杆机构弹性动力学一一.构件的弹性运动构件的弹性运动弹性构件的运动可以看作为刚性构件的运弹性构件的运动可以看作为刚性构件的运动和弹性运动的叠加动和弹性运动的叠加。在研究弹性运动时,首先把机构刚化,然后再在研究弹性运动时,首先把机构刚化,然后再考虑在销轴处作用力的影响下构件的变形。考考虑在销轴处作用力的影响下构
19、件的变形。考虑到杆件纵向变形很小,可将其忽略虑到杆件纵向变形很小,可将其忽略。本节讨论用有限元法研究构件的弹性运动,本节讨论用有限元法研究构件的弹性运动,把构件看作为单元把构件看作为单元 节点系统。图中的节点系统。图中的BOABAOBA,杆为单元,杆为单元,BAOBAO、为节点。右侧图为节点。右侧图 bBOABAOBA,外,外,AS也作为一个单元。也作为一个单元。中,除中,除二、单元坐标与系统坐标二、单元坐标与系统坐标1、单元坐标系、单元坐标系固定在单元上的坐标系固定在单元上的坐标系和转角wu,如图所示的构件如图所示的构件称为单元坐标系称为单元坐标系u轴的正方向定义为节点轴的正方向定义为节点1
20、到到2 的方向的方向w轴的正方向为轴的正方向为u轴逆时针转过轴逆时针转过90度的指向度的指向的转向是逆时针为正方向的转向是逆时针为正方向 Twu,wu分别表示单元坐标系中的节点线变形分别表示单元坐标系中的节点线变形单元坐标可用向量单元坐标为单元坐标可用向量单元坐标为:和角变形和角变形利用单元坐标分析分析节点变形与节点力非常利用单元坐标分析分析节点变形与节点力非常方便,但是由于各单元位置不同,导致单元坐方便,但是由于各单元位置不同,导致单元坐标不统一,固引入系统坐标的概念。标不统一,固引入系统坐标的概念。2、系统坐标系、系统坐标系为研究整体结构,可建立一个统一的静坐标系,为研究整体结构,可建立一
21、个统一的静坐标系,如图所示的坐标系如图所示的坐标系 xoy 为系统坐标。为系统坐标。系统坐标中的节点变形用向量系统坐标中的节点变形用向量q表示表示:Tyxq由于去掉了机构刚性自由度,则认为曲柄固定由于去掉了机构刚性自由度,则认为曲柄固定不动,可视为悬臂梁不动,可视为悬臂梁,曲柄在曲柄在O点的线位移和角点的线位移和角位移为零,固该系统共有位移为零,固该系统共有9个变量。个变量。21,qq为为A点上的点上的x、y方向的弹性线位移变形方向的弹性线位移变形3q为为曲柄上曲柄上A点的转角变形点的转角变形74,qq为连杆为连杆A、B处的转角变形处的转角变形65,qq为为B点上的点上的x,y方向的弹性线位移
22、变形方向的弹性线位移变形98,qq系统中的系统中的4个线位移和个线位移和5个角位移变形个角位移变形为为摇杆上摇杆上B、C点的转角变形点的转角变形各节点用各节点用1,2表示。显然单元坐标与系统坐标表示。显然单元坐标与系统坐标存在可以相互转换的关系。存在可以相互转换的关系。3个单元坐标系中共有个单元坐标系中共有13个单元坐标,各单元坐个单元坐标,各单元坐标系中的标系中的u轴与系统坐标系的轴与系统坐标系的x轴夹角为轴夹角为3,2,1,ii设设M点在单元坐标系和系统坐标系中的坐标点在单元坐标系和系统坐标系中的坐标分别为分别为u,w和和 x,y,参照下图可以按前述的,参照下图可以按前述的坐标变换原理直接
23、写出两者之间的关系。坐标变换原理直接写出两者之间的关系。yxwu1000cossin0sincos简记为简记为 qRwuyx1000cossin0sincos简记为简记为 TRq 1000cossin0sincosR 矩阵矩阵R为一正交矩阵,为一正交矩阵,IRRT 因此,各单元坐标和系统坐标的变换关系可写为:因此,各单元坐标和系统坐标的变换关系可写为:qB Tmm.,.21321 Tnnqqqqqqqq.,.21321式中的矩阵式中的矩阵B为为nm矩阵矩阵 32111113211000cossin0sincosqqq对于构件对于构件1,根据方程根据方程1可有:可有:76542122222222
24、987654.1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosqqqqqq对于构件对于构件2:98653333131211101000010000cossin00sincosqqqq对于构件对于构件3:把构件把构件1、2、3的变换矩阵组合起来,从而的变换矩阵组合起来,从而形成形成B矩阵。矩阵。写成通式:写成通式:nnmmqB 987654321333322222222111113121110987654321100000000010000000000cossin0000000sincos0000001000000000cossin0000
25、000sincos00000000000000000000cossin0000000sincos0000001000000000cossin0000000sincosqqqqqqqqq瞬间作用在单元上外力称作单元力瞬间作用在单元上外力称作单元力,图示为,图示为各单元上受力情况。单元之间通过节点处的各单元上受力情况。单元之间通过节点处的作用力沿坐标方向的分力称为作用力沿坐标方向的分力称为节点力节点力。用。用if表示,记作:表示,记作:Tmiffff.21单元节点力单元节点力if与节点变形与节点变形i相对应。相对应。三、单元力和系统力三、单元力和系统力瞬间作用在机构上的外力、惯性力,称为瞬间作用在
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