电子教案·《线性代数》课件.ppt
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- 线性代数 电子 教案 课件
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1、线 性 代 数第1章 行列式行列式1.1 全排列及其逆序数 1.1.1 排列与逆序 自然数 组成的有序数组称为一个 元排列,记为 元排列共有个排列 称为自然排列或标准排列,规定其为标准次序 定义定义1 在一个 元排列 中,若一个大的数排在一个小的数的前面(即与标准次序不同时),则称这两个数有一个逆序一个 元排列中所有逆序的总数,称为此排列的逆序数,记为 若排列的逆序数为奇数(偶数),则称此排列为奇排列(偶排列)1 2,n12np pp12nnnn!12()np ppn12np ppn 计算排列逆序数的方法:设 为 个自然数 的一个排列,考虑元素 ,如果比 大且排在 前面的数有 个,就说这个元素
2、的逆序数是,全体元素的逆序数的总和就是此排列的逆序数,即12np ppn1,2,n(1,2,)ipinipit12()np pp121nniittttip 例例1 求下列排列的逆序数:(1);(2)解解 此排列为偶排列(2)同理可得 此排列的奇偶性由 确定436251(1)21n n436251()=0+1+0+3+1+5=10(1)(1)210 12(2)(1)2n nn nnn n 1.1.2 对换 定义定义2 将一个排列中的某两个数的位置互换(其余的数不动),就得到了一个新排列,称这样的变换为一次对换,将相邻两个数对换,称为相邻对换 定理定理1 对排列进行一次对换,则改变其奇偶性 由定理
3、1可得下面的推论 推论推论1奇排列调成自然(标准)排列的对换次数为奇数,偶排列调成自然(标准)排列的对换次数为偶数 推论推论2 全体 元排列()的集合中,奇、偶排列各占一半n1n 1.2 行列式的概念 1.2.1 二、三阶行列式 一、二阶行列式一、二阶行列式 求解二元一次方程组求解二元一次方程组 (1.2.1)引入符号引入符号 称称 为二阶行列式(为二阶行列式(1.2.1)的系数行列式),它代)的系数行列式),它代表一个数,简记为表一个数,简记为 ,其中数,其中数 称为行列式称为行列式 的第的第 (行标)行、第(行标)行、第 (列标)列的元(列标)列的元素素11 1122121 12222a
4、xa xba xa xb,1112112212212122aaDa aa aaaDdet()ijDaija(1,2;1,2)ijijD 当 时,求得方程组(1.2.1)的解为 ,根据二阶行列式的定义,方程组根据二阶行列式的定义,方程组(1.2.1)的解中的解中的分子也可用二阶行列式表示若记的分子也可用二阶行列式表示若记其中其中 表示将表示将 中第中第 列换成列换成(1.2.1)式式右边的常数项所得到的行列式右边的常数项所得到的行列式112212210a aa a122122111221221baa bxa aa a11 2121211221221a bbaxa aa a 112112212 2
5、222,baDbaa bba111211 2121212abDa bbaab,(1,2)jDj Dj其中 于是,当系数行列式 时,二元一次方程组(1.2.1)有惟一解0D 112222122122111112112212212122,bababaa bDxaaa aa aDaa11121211 2121221112112212212122ababa bbaDxaaa aa aDaa,二、三阶行列式二、三阶行列式 求解三元一次方程组 (1.2.2)引入符号引入符号称为三阶行列式(称为三阶行列式(1.2.2)的系数行列式)的系数行列式)11 1122133121 1222233231 132233
6、32a xa xa xba xa xa xba xa xa xb,111213212223313233aaaDaaaaaa 三阶行列式的对角线法则:当系数行列式 时,三元一次方程组(1.2.2)有惟一解 ,其中 112233122331132132112332122133132231a a aa a aa a aa a aa a aa a a0D 11DxD3223,DDxxDD1121312222333233,baaDbaabaa1111322122331333,abaDabaaba1112132122231323aabDaabaab 三阶行列式具有以下特点:(1)三阶行列式值的每一项都是位
7、于不同行,不同列的三个元素的乘积,除去符号,每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成,其中第一个下标(行标)都按自然顺序排列成,而第二个下标(列标)排列成 ,它是自然数 的某个排列;(2)各项所带的符号只与列标的排列有关:带正号的三项列标排列:;带负号的三项列标排列是:由上节知,前三个排列为偶排列,而后三个排列为奇排列,因此各项所带符号可以表示为 ,其中 为列标排列的逆序数;123,231,312132,213,321(1)tt123123pppaaa123123p p p1,2,3(3)因 共有 个不同的排列,所以对应行列式右端是6项的代数和 因此,三阶行列式可以写成其中 为排列 的逆序
8、数,即 ,上式表示对 三个数的所有排列 求和 1,2,33!6123111213212223123313233(1)tpppaaaaaaaaaaaat123p p p123()tp p p1,2,3123p p p 1.2.2 阶行列式的定义 定义定义3称由 个数 排成 行列组成的记号为 阶行列式,简记为 2n(,1,2,)ija i jnn111212122212nnnnnnaaaaaaDaaanndet()ijDa 阶行列式可表示为其中表示对 的所有排列取和,数 称为行列式 的元素 定理定理2 阶行列式也可定义为其中 为行标排列 的逆序数n1211121212221212det()(1)n
9、nntijppnpnnnnaaaaaaDaaaaaaa1,2,nijadet()ijan1211121212221212(1)nnntppp nnnnnaaaaaaDaaaaaat12np pp 定义定义4对角线以下(上)的元素均为零的行列式称为上(下)三角行列式 阶上三角行列式n111212221122000nnnnnnaaaaaa aaa11111(1)21212121110(1)00nnn nnnnnnaaaaaa aaa 同理,阶下三角行列式n112122112212000nnnnnnaaaa aaaaa1(1)2122121111000(1)nn nnnnnnnnnnnaaaa aa
10、aaa 1.3 行列式的性质转置行列式:设将 的行与列互换(顺序不变),得到的新行列式,记为111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaD1121112222T12()nnnnnnaaaaaaDDaaa 或 称 为 的转置行列式显然 也是 的转置行列式,即性质性质1 行列式与其转置行列式相等,即性质性质2 行列式的两行(列)互换,行列式变号推论推论 行列式有两行(列)相同,则此行列式为零性质性质3 行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数 ,等于用数 乘此行列式TDDT TDD()DTDTDDkk 推论推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可行列式的某一行(列)中所有元素
11、的公因子可以提到行列式符号的外面以提到行列式符号的外面 推论推论2行列式的某一行(列)中所有元素为零,则行列式的某一行(列)中所有元素为零,则此行列式为零此行列式为零 性质性质4 行列式中有两行(列)的元素对应成比例,则行列式中有两行(列)的元素对应成比例,则此行列式为零此行列式为零 性质性质5 若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和,若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和则此行列式等于两个行列式之和 即11121112212niiiiininnnnnaaaDaaaaaaaaa111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaa
12、aaaaaaaaaaaa 性质性质6 将行列式某一行(列)的各元素乘以同一数后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变即第 行乘 加到第 行上,有ikj111211112112121122121212nniiiniiinjijijninjjjnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaaaaa 为叙述方便,引进以下记号:(1)交换行列式的 两行(列),记为 ;(2)第 行(列)乘以 ,记作 ,第 行(列)提出公因子 ,记作 ;(3)将行列式的第 行(列)乘 加到第 行(列)上,记为 ,i j()ijijrr ccik()iirk ck()iirk ckj()jij
13、irkr ckcikik 例例1 计算 解解 1201135001561234D 322141120112011201015101510151015601560007123400330033rrrrrrD34120101512100330007rr 例例2 计算解解 abbbbabbDbbabbbba12341(3)3131(3)3131cccccababbbbbbbababbabbDababbabbababbbabba132,3,41000(3)(3)()000000irribbbababab ababab 例例3计算 解解从第1列开始,前列减后列,然后再在前3列中,前列减后列2222222
14、222222222(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)aaaabbbbDccccdddd1223342222272523(1)272523(1)272523(1)272523(1)ccccccaaaabbbbDccccdddd122322222223(1)2223(1)02223(1)2223(1)ccccaabbccdd 例例4计算 阶行列式n112131122321233123nnnnnxaaaxxaaDxxxaxxxx解解从第1行开始前行乘加到后行上,得 2132431112131212231321323321000000nnn
15、rrrrnnrrnnnrrnnnxaaaxaaaaaDxaaaxa12123231()()()nnnx xaxaxa11,2()niiiixxa其中记号“”表示全体同类因子的乘积 1.4 行列式按行(列)展开1.4.1 行列式按某一行(列)展开定义定义5 在 阶行列式中,将元素 所在的第 行和第 列划去,剩下的元素按原排列构成的 阶行列式,称为 的余子式,记为 ;称为元素 的代数余子式引理引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零,则此行列式等于 与它的代数余子式的乘积,即nijaij1nijaijM1ijijijAM ijainijaija1111100jnijijijnnjnnaa
16、aaDa Aaaa 定理定理3 行列式等于它的任意一行(列)的各 或1122(1,2,)iiiiininDa Aa Aa Ain1122(1,2,)jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn 例例1 计算 解解 21122112nD121001122112nnrrrD 从而解得111211211211112112121nnn 按第一行展开11nD1nDn 例例2计算 解解按第1行展开,有2nababDcdcd1 2200(1)000000nnababababDabcdcdcdcddc 以此作递推公式,得21 12(1)2(1)2(1)(1)()nnnnadDbcDadbc D 222(1)2(2
17、)()()nnnDadbc DadbcD112()()()nnnabadbcDadbcadbccd 例例3证明范德蒙德(Vander-monde)行列式 证证对行列式阶数用数学归纳法当 时,1222212111112111()nnnijj innnnnxxxDxxxxxxxx (2)n2n 22111211()ijj iDxxxxxx 2,结论成立假设对 阶范德蒙德行列式结论成立,往证 阶范德蒙德行列式也成立 从第 行开始,后行减前行的 倍,得 按第1列展开,并提出每一列的公因子 ,1nnn1x2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnn
18、xxxxxxDx xxx xxxxxxxxxxxxxx1()ixx 有 上式右端的行列式是一个 阶范德蒙德行列式,由归纳法假设,它等于所有 因子的乘积,其中 ,即23222213112322223111()()()nnnnnnnnxxxDxxxxxxxxxxxx1n()ijxx2jin21311()()()()()nnijijj inj inDxxxxxxxxxx21 推论推论 行列式一行(列)的各元素与另一行(列)对应各元素的代数余子式乘积之和为零,即 或11220()ijijinjna Aa Aa Aij11220()ijijninja Aa Aa Aij 结合定理3及推论,得到代数余子式
19、的重要性质:或其中1,()0,()nikjkijkDija ADij1,()0,()nkikjijkDija ADij1,()0,()ijijij 1.5 克拉默(Cramer)法则 设含有 个未知数,个方程的线性方程组为 (1.5.1)阶行列式 称为方程组(1.5.1)的系数行列式n11 11221121 1222221 122,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb111212122212nnnnnnaaaaaaDaaann 定理定理5(克拉默法则)(克拉默法则)若线性方程组(1.5.1)的系数行列式 ,则方程组有惟一解 (1.5.2)其中 是将
20、系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项 代替后所得到的 阶行列式,即0D(1,2,)jjDxjnDjDDj12,nb bbn11111111212122121111jjnnjjnjiijinnjnnjnnaabaaaabaaDb Aaabaa 克拉默法则等价地指出:如果方程组(1.5.1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式 当方程组(1.5.1)的右端常数项 全为零时,即 (1.5.3)称(1.5.3)为齐次线性方程组当 不全为零时,称方程组(1.5.1)为非齐次线性方程组0.D12,nb bb11 1122121 122221 1220,0,0,nnnnnnnnna xa xa
21、xa xa xa xa xa xa x12,nb bb 显然,齐次线性方程组(1.5.3)必定有解称之为零解,若解 不全为零,则称为非零解定理定理6若齐次线性方程组(1.5.3)的系数行列式 ,则它只有零解(没有非零解)反之,若齐次线性方程组(1.5.3)有非零解,则它的系数行列式 120,0,0nxxx12,nx xx0D 0D 例例 问 取何值时,齐次线性方程组 有非零解解解由定理6可知,若齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式 ,而1231213(5)220,2(6)0,2(4)0 xxxxxxx0D 522260204D(5)(6)(4)4(4)4(6)由 ,解得 、或 不难验证,当
22、、或 时,原齐次线性方程组确有非零解 0D 258258(5)(2)(8)第2章 矩阵 2.1 矩阵的概念 2.1.1矩阵的定义 定义定义1 由 个数 按一定顺序排成 行 列的数表称为一个 行 列矩阵,简称 矩阵,记为或 ,其中 表示位于第 行第 列的数,称为 的元素(或元),所以 矩阵也可以简记为 或 m n(1,2,1,2,)ijaim jnmn111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaAm nA ijaij()ija()ijm na mnm nAm n 2.1.2 几种特殊形式的矩阵(1)行矩阵)行矩阵 当 时,即只有一行的矩阵或称为行矩阵或行向量(2)列矩阵)列矩阵 当
23、时,即只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量1m 12()nAa aa=L12(,)nAa aa=L1n mbbbB21(3)零矩阵)零矩阵 所有元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为 例如,的零矩阵可记为(4)方阵)方阵 行数和列数都等于 的矩阵,称为 阶矩阵或 阶方阵,记为 ,Om n000000000m nOnnAnn 即 其中元素 称为 阶方阵的主对角元素,过元素 的直线称为 阶方阵的主对角线(5)阶对角阵阶对角阵 非主对角元素全为零的 阶方阵称为 阶对角矩阵,即111212122212nnnnnnnaaaaaaAAaaa1122,nnaaan1122,nnaaannnn0(;,1,2,)ijai
24、j i jn 记为12120000diag(,)00nnaaa aaa 或12naaa其中未写出的元素全为零(6)阶单位矩阵阶单位矩阵 主对角元素全为1,其余元素全为零的 阶方阵称为 阶单位矩阵,即 且 记为或n1(1,2,)iiain0(;,1,2,),ijaij i jnnn100010001nEE111(7)阶数量矩阵阶数量矩阵 主对角元素等于同一个数 的 阶对角阵,称为 阶数量矩阵,记为 或k000000kkkEkkkknnn 2.2矩阵的运算 2.2.1 矩阵的线性运算 1矩阵的加法 定义定义2 两个 的同型矩阵 和 的对应元素相加,所得 的矩阵称为矩阵 与的和,记为 ,即mn()i
25、jAa=()ijBb=ABCAB=+mn CAB=+111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababababab()ijijab=+例例1 设 则 而 无意义305,147A312,435B12.3C 1275316573441251033BACA 2数与矩阵的乘法 定义定义3 用数 乘以 矩阵 的所有元素,所得的 矩阵称为数 与矩阵 的数乘矩阵,简称数乘,记为 ,即 当 时,称 为矩阵 的负矩阵,显然有 mn AAmn A111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa1A-=()ija-()AAO+-=A 所以矩阵的减法可定义为 矩阵
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