数字信号处理3课件.ppt
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- 数字信号 处理 课件
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1、 00dH ssc6.4 双线性变换法双线性变换法脉冲响应不变法存在的缺点是频谱混叠。这是由于从s(6.4-1)(6.4-2)换正是克服这一缺陷的变换。平面到z平面的标准变换是多值对应关系。而双线性变1、双线性变换映射关系、双线性变换映射关系一阶微分方程的一般形式系统函数的LTya(t)+c0 ya(t)=d0 x(t)TnynynTtdttdya1如图(6.4-1)所示对式(6.4-1)的时间变量量化,且时间间隔T足够小,则有 121nynynTttya图(6.4-1)y(n-1)y(t)y(n)(n-1)T nTt0 y(t)112t nTx tx nx n 12121100nxnxdny
2、nycnynyT对式(6.4-3)两边取z变换同理代入式(6.4-1)(6.4-3)zXzdzYzczYzT10101121211 011010110112121112czzTdzczTzdzXzYzH 11112zzTssHzH(6.4-4)系统函数H(s)得到数字滤波器的系统函数H(z)(6.4-5)式(6.4-4)与(6.4-2)式比较,可以直接由模拟滤波器的11112zzTssszTT2211由 式(6.4-5)得到将s平面映射到z平面的关系为由(6.4-6)式还可以解出(6.4-6)(6.4-7)式(6.4-6)与(6.4-7)的变换都是单值对应的,其分子和分母均为自变量的线性函数,
3、双线性变换法也因此得名。jj2 1e1eT2tan2T(6.4-8)(6.4-8)等式两边相等,由此得到(6.4-9)将 z=e j(单位圆)代入(6.4-6)式,并设 s=+j,有+jjj/2j/2j2j/2j/212ee22jtan2eeTT=0由(6.4-8)看到双线性变换法的映射关系使s平面的虚轴映射为z平面的单位圆。而(6.4-9)式频率正切变换关系实现了频率压缩,使模拟域从的变化,压缩为数字域频率从-变化。正因如此,双线性变换法克服了脉冲响应不变法频谱的混叠效应。2222221111TTTTTTjjssz2222222211TTTTz(6.4-10)稳定的模拟系统映射为稳定的数字系
4、统。将 s=+j代入(6.4-7),有=0 0|z|=1|z|1|z|1(1+T/2)2 (1T/2)2由于双线性变换法映射关系是单值对应的,克服了脉与关系是非线性的,使得模拟滤波器与数字滤波器在冲响应不变法频谱混叠现象。但是 由(6.4-6)表示的响应与频率的对应关系上会产生畸变,如图6.4-2所示。即原来的s/p=k 由双线性变换后s/p k ps|H(j)|H(ej)|ps经过双线性变换后,DF仍具有片段常数的频响特性,仅通带截止频率、过渡带边缘频率、频响的峰、谷点对应频率发生变化。这可由“预畸”的方法加以校正,即将AF的临界频率加以预畸,再通过双线性变换得到所需要的DF。采用预畸后 s
5、/pk 但s/p=k ps ps|H(j)|H(ej)|2tan2T11112zzTs原型低通滤波器的预畸通带截止频率f p。预畸的做法就是由的关系,找出相应的例6.4-1 设计一个一阶低通滤波器,已知采样频率s、p,根据这个s、p设计AF,再利用fs=2000Hz,通带截止频率f p=400Hz,求模拟的关系求出H(z)。2/tan2ppT解则低通滤波器,而不是f p=400Hz,的模拟低通滤波器。用双线性变换法,我们要做的是截止频率为f p的模拟p=pT=p/fs =2400/2000=0.4=72=4000tan36=2906rad/s=925f p=2906/2=462.5Hz2000
6、2375.02/Tfpp若不预畸:则实际的实际 p=2400=800 =2513.3rad/sp=2tan-1(pT/2)=2tan-1(0.2)64.284=0.375375Hz 400Hz1)确定DF性能要求,确定数字滤波器各临界频率k。传递函数H(s)。这个模拟低通滤波器也称为模拟原型(归一化)滤波器。2.双线性变换法设计数字滤波器四个步骤:2)由双线性变换关系将k变换为模拟域临界频率k。3)按k、衰减指标求出模拟低通滤波器的(归一化)(4)由双线性变换关系将H(s)转变为数字滤波器的系统函数H(z)。与脉冲不变法一样,设计过程中除了的第一步求数字临界频率k时,要用到取样间隔T或取样频率
7、 fs 以外,最后的结果与其它各步骤中T 或 f s的取值无关。所以为了简化运算,在实际计算时,除了第一步,通常取T=1或T=2。pppsssH1/1例6.4-2:H(s)的一阶原型低通系统函数为:(1)预畸后 将T=1/2000代入,得p=2906 rad/s 29062906H ss 111211129061400029061zsTzH zH szz1094690612906129061400012906111zzzzz 1584.01421.0zzzH7265.02/tan pp 7265.07265.0 sssHpp 一般H(z)系数1,则(2)预畸后 令T=2代入,得 7265.01
8、17265.01121111zzzzTssHzHa2735.07265.117265.017265.0117265.0111zzzzz 1584.01421.0zzzH (1)与(2)的结果相同。一般H(z)系数1,则1器,设计指标为例6.4-3 用双线性变换法设计一巴特沃思数字低通滤波通带截止频率p =0.2,通带最大衰减p 1dB;阻带边缘频率s=0.3,阻带最小衰减s 15dB;|Hd(e j)|1-120.20.3解:解:与例6.2-4相同,仍用三种方法求解此题。(1)按照设计的一般步骤作第二步开始。为方便直接取T=1,则由双线性频率变因为给出的频率条件已经是数字临界频率 k,应从换
9、=2 tan(/2),得到预畸校正频率分别为p=2 tan(0.2/2)=2 tan(0.1)s=2 tan(0.3/2)=2 tan(0.15),这样模拟滤波器的设计指标为通带截止频率p=0.65,通带最大衰减p 1dB;阻带边缘频率s=1.019,阻带最小衰减s 15dB;10lg|H(jp)|2 1,|H(j 2 tan(0.1)|2 10-0.1;lg|H(jp)|2 0.1,10lg|H(js)|2 15,|H(j 2 tan(0.15)|2 10-1.5。lg|H(js)|2 1.5,1)求N、c221/1jHNcNcjH22/11由巴特沃思滤波器的数学模型得到由此可得:整理 1+
10、2 tan(0.1)/c2N=100.1(6.4-11a)1+2 tan(0.15)/c2N=101.5(6.4-11b)(6.4-11c)(6.4-11d)2 tan(0.1)/c2N=100.1 1=1.2598-1=0.25982 tan(0.15)/c2N=101.51=31.6228-1=30.622832104547.86228.302589.015.0tan21.0tan2114.6114.6Ndc304.51954.020729.25095.0/3249.0lg104547.8lg213N由将这个N代入(6.4-11c)式,解出c0=0.738。但N必须取整数,所以取N=6,同
11、时取c=0.76622c0这与冲激不变法相反,由保证阻带指标,改善通带指标。成对的,且均在s左)求Ha(s)N=6,为偶数,极点间隔为/N=/6=30,起点/2N=15,实轴上无极点;H(s)的系数均为实数,H(s)的复极点都是共轭半平面。S平面平面j /6c-c15 sHa6161kkkksss由此得到:s1,6=c(cos75 jsin75)=0.198j0.742s2,5=c(cos45 jsin45)=0.5415j0.5415s3,4=c(cos15 jsin15)=0.742j0.198 18637.34641.71416.94641.78637.3123456ssssss去归一化
12、后2024.00204.15727.21123.43821.49604.22024.023456ssssss也可以查表6.2得到N=6的归一化Ha(s)为 Ha(s)=Ha(s)=11112zzTssHzHa212161-3585.00108.112154.09042.01z10.00073794zzzz21705.02687.111zz数字滤波器振幅频响(dB)如图6.4.4所示。3)求H(z)00.20.310.17780.89131Magnitude Responsefrequency in pi units|H|0 21934.7628-0.035100.1291analog siga
13、l ha(t)time in secondsha(t)00.20.31-30-15-1Magntide in dbfrequency in pi unitsdecibels06102030-0.100.10.2impluse respondse h(n)h(n)双线性变换法s=2 tan(0.3/2)=2 tan(0.15)=1.019,例例6.4-4 指标同例6.4-3,用双线性变换法设计数字切比雪夫滤波器。通带截止频率p=0.2,通带最大衰减p 1dB;阻带边缘频率s =0.3,阻带最小衰减s 15dB;解:令T=1,则p=2 tan(0.2/2)=2 tan(0.1)=0.6511111
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