数字信号处理及应用课件.ppt

1、 数字信号处理与应用第三章3.1 3.1 离散傅里叶变换地定义离散傅里叶变换地定义 3.2 3.2 离散傅里叶变换地基本性质离散傅里叶变换地基本性质3.3 3.3 频率域采样频率域采样3.4 DFT3.4 DFT地应用举例地应用举例第3章 离散傅里叶变换(DFT)第三章 学习目标 理解理解FourierFourier变换地几种形式变换地几种形式;理解离散傅里叶变换与性质理解离散傅里叶变换与性质,掌握循环移位掌握循环移位,循环循环共轭对称性共轭对称性,掌握循环卷积掌握循环卷积,线性卷积与二者之间地关系线性卷积与二者之间地关系;掌握频域采样理论掌握频域采样理论;理解频谱分析过程。理解频谱分析过程。

2、连续连续=非周期非周期离散离散=周期周期四种傅里叶变换形式地归纳四种傅里叶变换形式地归纳 时间函数时间函数 频率函数频率函数 连续与非周期连续与非周期 非周期与连续非周期与连续 连续与周期（连续与周期（TpTp）非周期与离散（非周期与离散（0=2/Tp0=2/Tp）离散（离散（T T）与非周期）与非周期 周期（周期（s=2/T s=2/T）与连续与连续 离散（离散（T T）与周期（）与周期（TpTp）周期（周期（s=2/T s=2/T）与离散（与离散（0=2/Tp0=2/Tp）nx nx周期延拓周期延拓取主值取主值 kX周期延拓周期延拓取主值取主值DFTIDFT kXDFSIDFSDFTDFT

3、即即DFSDFS只不过时只不过时,频域各取一个主值而已频域各取一个主值而已3.1 离散傅里叶变换地定义 一一.DFT.DFT地定义地定义1.1.周期延拓（以周期延拓（以N N为周期）为周期）nNnnxnx其他010)()(rrNnxnx)()(用用(n)N(n)N表示（表示（n mod Nn mod N）,其数学上就是表示其数学上就是表示“n“n对对N N取余取余数数”,”,或称或称“n“n对对N N取模值取模值”。令令 mNnn10n1N-1,m为整数为整数 则则n1为为n对对N地余数。地余数。NnxNnxnx)()mod()(8)1()1(xx)5(x例如例如:是周期为是周期为N=8N=8

4、地序列地序列,则有：则有：)(nx8)13()13(xx)7(x2.2.取主值取主值)()()(nRnxnxN)()()()()(kRkXkXkXkXNN主值区间地范围主值区间地范围频域频域10101NknkNNnnkNWkXNkXIDFSnxWnxnxDFSkX)()()()()()(3.DFT3.DFT定义式定义式101101010NnWkXNkXIDFTnxNkWnxnxDFTkXNknkNNnnkN,)()()(,)()()(时时,频域各取一个主值区间频域各取一个主值区间DFSDFT旋转因子地正交性旋转因子地正交性例：例：x(n)=R4(n),x(n)=R4(n),求求x(n)x(n)

5、地地4 4点点,8,8点与点与1616点点DFT DFT 解：设变换区间解：设变换区间N=8,N=8,则则2738180038()()sin()2,0,1,7sin()8jknknnNjkXkx n Wekekk设变换区间设变换区间N=16,N=16,则则 2153162160031612sin4,0,1,.,15sin162jknknnnjkXkx n WekekkX kXk思考：思考：其其4点地点地DFT结果？结果？X(ejw)=DTFTR4(n)讨论：讨论：N为为DFT变换区间变换区间长度长度,即周期延拓即周期延拓地周期地周期,频域地采频域地采样点数样点数;同一序列同一序列,N不不同同,

6、DFT不同不同;通过后补零使通过后补零使N增增大大,谱线变密谱线变密高密度谱高密度谱二二.DFT.DFT与与Z Z变换地关系变换地关系设序列设序列x(n)x(n)地长度为地长度为N,N,其其Z Z变换与变换与DFTDFT分别为：分别为：1010()()()()()()0-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n WkN比较上面二式可得关系式比较上面二式可得关系式 102NkzXkXkNjkNeWz 表明 是Z平面单位圆上幅角为 地 点,也即：将Z平面单位圆N等分后地第k点,所以X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值。DFT与序列傅里叶变换地关系

7、为 kNjkNeWz2kNWkN2NeXeXkXNjkkNjN2)()()(2DFTDFT地物理意义地物理意义X(k)X(k)可以看作序列可以看作序列x(n)x(n)地傅里叶变换地傅里叶变换X(ej)X(ej)在 区 间 在 区 间 0,2 0,2 ）上 地）上 地 NN 点 等 间 隔 采 样点 等 间 隔 采 样,其 采 样 间 隔 为其 采 样 间 隔 为N=2/NN=2/N。DFTDFT与序列傅里叶变换与序列傅里叶变换,Z,Z变换地关系变换地关系 jIm(z)o2NW1NW0NWk 0)2(NNW)3(NNWRezoX(ej)X(k)第一采样点在第一采样点在正实轴上正实轴上三三.DFT

8、地隐含周期性地隐含周期性 DFT变换对中变换对中,x(n)与与X(k)均为有限长序列均为有限长序列,但由于但由于WNkn地周期性地周期性,使使x(n)与与X(k)均具有隐含周期性均具有隐含周期性,且周且周期均为期均为N。对任意整数对任意整数m,总有总有()(),knkmN nk n mNNNNWWWk m n为整数11()0011()00()()()()11()()()()NNk mN nknNNnnNNn mN knkNNnnX kmNx n Wx n WX kx nmNX k WX k Wx nNN三三.DFT地隐含周期性地隐含周期性 DFT变换对中变换对中,x(n)与与X(k)均为有限长

9、序列均为有限长序列,但由但由于于WNkn地周期性地周期性,使使x(n)与与X(k)均具有隐含周期性均具有隐含周期性,且且周期均为周期均为N。对任意整数对任意整数m,总有总有1 使使DFT具有特殊性质具有特殊性质(如循环移位如循环移位,循环卷积等循环卷积等)地根本地根本原因原因,也是学习也是学习DFT需求着重理解地性质！需求着重理解地性质！2 不论原始有限长度序列地性质如何不论原始有限长度序列地性质如何,只要对它做只要对它做DFT运算运算,即将它看做是周期为即将它看做是周期为N地周期序列地周期序列已知已知x(n)是长度为是长度为N地有限长度序列地有限长度序列,X(k)=DFTx(n),令令 ,试

10、求试求Y(k)=DFTy(n)与与X(k)之间地关系。之间地关系。nRnxnyNN2例题：解：解：knNNNnknNNnknNNnNNknNNnWnxWnxWnRnxWnykY212210212022120 kjnkNNnNkNnkNNnnkNNnNnkNNnknNNneWnxWWNnxWnxWNnxWnx121022102102102102,02-120 kXkkNk偶数，奇数DFT与与DFS地关系：有限长度序列地地关系：有限长度序列地DFT正好是其正好是其周期延拓序列地周期延拓序列地DFS级数系数地主值序列！级数系数地主值序列！2102110021021100()()()()()1()()

11、()11()()NjknNnNNjknknNNNnnNjknNnNNjknknNNNnnX kDFS x nx n exnex n Wx nIDFS X kX k eNXkeX k WNN3.2 离散傅里叶变换地基本性质一一.线性性质线性性质x1(n)x1(n)与与x2(n)x2(n)是两个有限长序列是两个有限长序列,长度分别为长度分别为N1N1与与N2 N2 y(n)=ax1(n)+bx2(n)y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中式中a,ba,b为常数为常数,即即NmaxNmaxN1,N2N1,N2,则则y(n)y(n)地地N N点点DFTDFT为：为：（补零问题！）（补零问题！）Y(k

12、)=DFT Y(k)=DFTy(n)y(n)=aX1(k)+bX2(k),=aX1(k)+bX2(k),0kN-10kN-1其中其中X1(k)X1(k)与与X2(k)X2(k)分别为分别为x1(n)x1(n)与与x2(n)x2(n)地地N N点点DFTDFT。NmaxN1,N2线性性质地验证线性性质地验证已知已知x(n)是长度为是长度为N地有限长度序列地有限长度序列,其其N点点DFT为为X(k)=DFTx(n),在序列前部补在序列前部补N个个0值值,得到序列得到序列试求试求Y(k)=DFTy(n)与与X(k)之间地关系。之间地关系。12,.,1,.,0,0NNnnxNnny思考题：二二.循环移

13、位循环移位 1.1.定义定义 一个长度为一个长度为N N地有限长序列地有限长序列x(n)x(n)地循环移位定地循环移位定义为义为 y(n)=x(n+m)NRN(n)：仍为长度为：仍为长度为N地序列！地序列！循环移位过程示意图循环移位过程示意图 移出主值移出主值区间地序区间地序列值又依列值又依次从另一次从另一侧移入主侧移入主值区间值区间12345n=0N=6左移顺时针转左移顺时针转 如：如：x(n+2)右移逆时针转右移逆时针转 如：如：x(n-2)从时间起点开始从时间起点开始,逆逆时针读取数据时针读取数据2.2.时域循环移位定理时域循环移位定理设设x(n)x(n)是长度为是长度为N N地有限长序

14、列地有限长序列,y(n),y(n)为为x(n)x(n)循环移位循环移位,即即 )()()(nRmnxnyNN则循环移位后地则循环移位后地DFTDFT为为 )()()()()(kXWnRmnxDFTnyDFTkYmkNNN证：利用周期序列地移位性质加以证明证：利用周期序列地移位性质加以证明 )()()(kXWmnxDFSmnxDFSmkNN可直接按IDFTY(k)证明再利用再利用DFSDFS与与DFTDFT关系关系 )()()()()()()(kXWkRkXWnRmnxDFTnRmnxDFTmkNNmkNNNN这表明这表明,有限长序列地循环移位在离散频域中引入一个与频有限长序列地循环移位在离散频

15、域中引入一个与频率成正比地线性相移率成正比地线性相移 ,而对频谱地幅度没而对频谱地幅度没有影响有影响幅度谱地平移不变性。幅度谱地平移不变性。mkNjkmNeW2已知已知x(n)是长度为是长度为N地有限长度序列地有限长度序列,X(k)=DFTx(n),在序列前部补在序列前部补N个个0值值,得到序列得到序列试求试求Y(k)=DFTy(n)与与X(k)之间地关系。之间地关系。12,.,1,.,0,0NNnnxNnny nRNnynyNN221思考题：3.3.频域循环移位定理频域循环移位定理调制特性调制特性 对于频域有限长序列对于频域有限长序列X(k),X(k),也可看成是分布在一个也可看成是分布在一

16、个N N等等分地圆周上分地圆周上,所以对于所以对于X(k)X(k)地循环移位地循环移位,利用频域与时域地利用频域与时域地对偶关系对偶关系,可以证明以下性质：可以证明以下性质：)()(nxDFTkX)()()()(2nxenxWkRlkXIDFTnlNjnlNNN这就是调制特性这就是调制特性时域序列地调制等效于频域地循环移位。时域序列地调制等效于频域地循环移位。)(nNxnRnxNN序列反转序列反转101()()010()()()()()()()NnkNnNnkNnNnkNnNNDFT xnxn Wxn Wx n WXkRkX Nk)(*)()(*)()()(*)()(*)(*10)(10*10

17、kNXkRkNXWnxkRkXWnxWnxnxDFTNNNnnkNNNNNnNnnkNnkN122njnNNjnNNeeW 1,.1,0NkkXnxDFT序列共轭序列共轭)(*)()(*kXnRnxDFTNN)(*)(*kXnNxDFT kNXkRkXnRnxDFTnNxDFTNNNN)(序列共轭反转序列共轭反转序列反转序列反转四四.循环卷积循环卷积 1,时域循环卷积定理时域循环卷积定理有限长序列有限长序列x1(n)与与x2(n),长度分别为长度分别为N1与与N2,N=maxN1,N2。x1(n)与与x2(n)地地N点点DFT分别为：分别为：X1(k)=DFTx1(n),X2(k)=DFTx2

18、(n)若若Y(k)=X1(k)X2(k),则则y(n)=IDFTY(k)？111200 NNknNNNnmY kDFT y nx m xn mRnW knNNNnNmNWnRmnxmxnyDFTkY101021 102121012101102101NkkXkXkXWmxkXWmxWnRmnxmxNmkmNkmNNmNnknNNNNm与教材上不同 nxnxnRmnxmxnxnxnRmnxmxkYIDFTkXkXIDFTnyNNmNNNmN12101221102121NN循环卷积结果仍为有限长序列！循环卷积结果仍为有限长序列！注意：循环卷积地长度！注意：循环卷积地长度！计算步骤：计算步骤：将将x2

19、(m)周期化周期化,形成形成x2(m)N;再反转形成再反转形成x2(-m)N,取主值序列则得到取主值序列则得到 x2(-m)NRN(m),通常称之为通常称之为x2(m)地循环反转地循环反转;对对x2(m)地循环反转序列循环右移地循环反转序列循环右移n,形成形成 x2(n-m)NRN(m);当当n=0,1,2,N-1时时,分别将分别将x1(m)与与x2(n-m)NRN(m)相乘相乘,并在并在m=0到到N-1区间内求与区间内求与,便得到其循环卷积便得到其循环卷积y(n)。nN-10n)(1nxN-10)(2nx)(0)(22mRmxmxNN0m)(12mRmxNN0m)(22mRmxNN0m)(3

20、2mRmxNN0m0233211N-1nN)(2nx)()(1nxny两个长度两个长度小于等于小于等于N地地序列地序列地N点点循环卷积循环卷积长度仍为长度仍为N,与线性卷积与线性卷积不同不同N=6 nxnnnn24434231212344321 nRnxnRnxnRnxnx4424424422342312例题：例题：00()()()()()()()NNNNx nnx nx nnnx nnRn 432112344 3 2 11 2 3 4 4 4 3 2 1 24 22 24 30 2 8 6 4 6 3 12 912 8 4 16 nxnnnn24434231212344321 nRnxnRn

21、xnRnxnx4424424422342312不进位乘法！不进位乘法！3024222443214321143221433214思考：若两序列作思考：若两序列作N=5N=5点循环卷积点循环卷积,结果如何？结果如何？4 0 1211534 0 1215234 032012344300 1 2 3030 若两序列作若两序列作N=5N=5点循环卷积点循环卷积,结果如上！结果如上！2,2,频域循环卷积定理频域循环卷积定理)()()(21nxnxnyx1(n),x2(n)皆为皆为N点有限长序列点有限长序列,y(n)地地N点点DFT为为 时域序列相乘时域序列相乘,乘积地乘积地DFTDFT等于各个等于各个DF

22、TDFT地循环卷积再乘以地循环卷积再乘以1/N1/N。N)()(1)()()(1)()()(1)()(2111022101kXkXNkRlkXlXNkRlkXlXNnyDFTkYNNNlNNNl证明：对证明：对Y(k)两边取两边取IDFT,利用调制定理即可！利用调制定理即可！1,1,有限长共轭对称与共轭反对称有限长共轭对称与共轭反对称 设有限长序列设有限长序列x(n)x(n)地长度为地长度为N N点点,则它地有限长则它地有限长共轭对称分量共轭对称分量xep(n)xep(n)与有限长共轭反对称分量与有限长共轭反对称分量xop(n)xop(n)分别被重新定义为分别被重新定义为:)()()()(*n

23、NxnxnNxnxopopepepnN-1 nN-1 三三.有限长共轭对称性有限长共轭对称性 nRnxnNxNNepep4213关于关于N/2点地点地对称性对称性共轭对称性共轭对称性地基本概念地基本概念N为偶数为偶数n=N/2-n()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn xep(n)为实数点为实数点为纯虚数点为纯虚数点N=8x(n)=xep(n)+xop(n)0nN-1 x*(N-n)=xep*(N-n)+xop*(N-n)=xep(n)-xop(n)0nN-1)()()()()()(*nNxnxnxnNxnxnxopep2121复序列对称性分析

24、复序列对称性分析nxnxnxopep kXjkXkXImRe序列序列DFT)()(21)()()(21)(*nNxnxnxnNxnxnxopep复序列对称性分析复序列对称性分析 nxjnxnxImRe kXkXkXopep序列序列DFT)()(21)()()(21)(*nxnxnxnxnxnxIR实序列对称性分析实序列对称性分析 nxjnxnxImRe kXkXkXopep序列序列DFT为零为零为零为零 kNXkXkXkXep实序列地频谱具有有限实序列地频谱具有有限长共轭对称性长共轭对称性实偶序列对称性分析实偶序列对称性分析序列序列 nxjnxnxoImRe nNxnx为零为零 nxnxnxo

25、pep为零为零于是：于是：DFT：kXkXep kXkXRe kNXkX实偶序列地频谱具有偶实对称性实偶序列地频谱具有偶实对称性 nxjnxnxoImRe nNxnx为零为零实奇序列对称性分析实奇序列对称性分析序列序列 nxjnxnxoImRe x nx Nn 为零为零 nxnxnxopep为零为零于是：于是：DFT：kXkXep ImX kjX k X kX Nk 实奇序列地频谱具有纯虚奇函数实奇序列地频谱具有纯虚奇函数 nxjnxnxoImRe x nx Nn x(n)X(k)实偶函数实偶函数偶实函数偶实函数实奇函数实奇函数虚奇函数虚奇函数虚奇函数虚奇函数实奇函数实奇函数虚偶函数虚偶函数虚

26、偶函数虚偶函数N=9应用举例：应用举例：。点信号地可同时求得两个独立实点一次,组合成一个复序列与长实序列两个DFTNDFTN2121,N22112121kjXkNYkYnjxDFTkYkXkNYkYnxDFTkYnyDFTkYnjxnxnynxnxopep五五.DFT.DFT形式下地帕塞伐定理形式下地帕塞伐定理 10101NkNnkYkXNnynx)(*)()()(*证：证：101010101010111NkNnNnknNNnNkknNNnkYkXNWnxkYNWkYNnxnynx)()()()()()()()(*10101NkNnkXkXNnxnx)(*)()()(*1021021NkNnk

27、XNnx|)(|)(|令令x(n)=y(n)x(n)=y(n)DFTDFT性质表性质表(序列长皆为点序列长皆为点)例题：设实序列设实序列x(n),N=14,其其14点点DFT为为X(k),已知前已知前8点值为：点值为：X(0)=12 X(1)=-1+3j X(2)=3+4jX(3)=1-5j X(4)=-2+2j X(5)=6+3jX(6)=-2-3j X(7)=10试确定试确定1）X(k)在其它频率点地值在其它频率点地值;2）不通过计算）不通过计算IDFTX(k),确定下列值：确定下列值：x(0)x(7)130213074130nnnjnnxnxenxX(0),X(1),X(2),X(N-1

28、)3.3 频率域采样 是否任意一个频率特性（例如是否任意一个频率特性（例如,理想理想低通特性）都能用频域采样地办法去逼低通特性）都能用频域采样地办法去逼近呢？近呢？其限制条件是什么？其限制条件是什么？频域采样后会带来什么样地误差？在频域采样后会带来什么样地误差？在什么条件下才能消除误差？什么条件下才能消除误差？一,频域采样一个任意地绝对可与地非周期序列一个任意地绝对可与地非周期序列x(n),其其Z变换为：变换为：nnznxzX对对X(z)在单位圆上进行在单位圆上进行N点等间隔采样：点等间隔采样：1,.,1,0NkWnxzXkXnnkNWzkN分析：分析：nxkXIDFTN?nxnxN能否代表有

29、限长度序列有限长度序列 任意长度序列任意长度序列 101011NmknkNNkmNm n kNmkx m WWNx mWN mrNnmWNNkknmN其它01110 nxnxrNnxNr 101:NknkNNNWkXNkXIDFSnxIDFSkXnx的为令由由 得到地周期序列得到地周期序列 是是原非周期序列原非周期序列x(n)x(n)地周期延拓地周期延拓,其时域周期其时域周期为频域采样点数为频域采样点数N N。时域采样造成频域地周期延拓时域采样造成频域地周期延拓,频域采样同频域采样同样会造成时域地周期延拓。样会造成时域地周期延拓。)(kX)(nxNx(n)为无限长序列为无限长序列时域周期延拓必

30、会混叠失真时域周期延拓必会混叠失真,产生误差产生误差;当当n增加时信号衰减得越快增加时信号衰减得越快,或频域采样越密（即采样点数或频域采样越密（即采样点数N越大）越大）,则误则误差越小差越小,即即xN(n)越接近越接近x(n);x(n)为有限长序列为有限长序列,长度为长度为M：NM,不混叠不混叠,可无失真恢复可无失真恢复;NM,不混叠不混叠N=3M,混叠混叠其值为其值为1 1x(n)=xN(n)讨论：讨论：z=exp(j2pikm/N)第第k个内插函数地零极点个内插函数地零极点 jImz|z|1ej0 1Re zkN2je)1(2jNNeo(N1)阶零极点对消零极点对消恢复时恢复时,第第k个采

31、样点个采样点值仅由自己决定值仅由自己决定,不受不受其它采样点值影响。其它采样点值影响。用频域采样用频域采样X(k)X(k)表示表示X(ejw)X(ejw)地内插公式地内插公式 10NkjkezjekXzXeXj 2112sin2sin1NjNNkjezkjkeekNkNNNzejkNNjekNkNNN22122sin22sin1Nkejk 2)(kNkXeXNkj 210)()(内插函数：内插函数：212sin2sin1NjeNN内插函数幅度特性与相位特性内插函数幅度特性与相位特性(N=5)|()|1N 5N4N4oN2N2 22arg()1 1(NN2 2)1 1(NN22o|1(w-2/N

32、)|当变量当变量=0 时时,()=1;当当 （i=1,2,N-1)时时,()=0。因而可知因而可知,满足以下关系：满足以下关系：Ni2Nk2kiNiNkNkik,20212)()(2kXeXkNj k=0,1,N-1 也 就 是 说,函 数 在 本 采 样 点 ,而在其它采样点 上,函数 。整个X(ej)就是由N个 函数分别乘上X(k)后求与。所以很明显,在每个采样点上X(ej)就精确地等于X(k)（因为其它点地插值函数在这一点上地值为零,没有影响）即 Nk2Nkk202NkikiNii,2Nk212Nkk 各采样点之间地X(ej)值由各采样点地加权插值函数在所求点上地值地叠加得到地。频率采样

33、理论为FIR滤波器地结构设计,以与FIR滤波器传递函数地逼近提供了又一个有力地工具。kNkX2)(zkXznxzXkNnnNn1010 kNkXenxeXNkNnnjj21010对时域序列对时域序列x(n),X(z)x(n),X(z)是按是按z z地幂级数（即罗朗级数）展开地幂级数（即罗朗级数）展开地地,x(n),x(n)为罗朗级数地系数为罗朗级数地系数;对频域序列对频域序列X(k),X(z)X(k),X(z)是按函数集展开地是按函数集展开地,X(k),X(k)为展开系为展开系数数;对时域序列对时域序列x(n),x(n),频响频响X(ejw)X(ejw)展成负正弦级数（傅立叶级展成负正弦级数（

34、傅立叶级数）数）,x(n),x(n)为负正弦级数地谐波系数为负正弦级数地谐波系数;对频域序列对频域序列X(k),X(k),频响频响X(ejw)X(ejw)展成内插函数地级数展成内插函数地级数,X(k),X(k)为展开系数为展开系数;3.4 DFT地应用举例 DFTDFT在数字通信在数字通信,语言信号处理语言信号处理,图像处理图像处理,功率谱估计功率谱估计,仿真仿真,系统分析系统分析,雷达理论雷达理论,光学光学,医学医学,地震以与数值分析等各地震以与数值分析等各个领域都得到广泛应用。个领域都得到广泛应用。对时域连续信号地频谱进行分析对时域连续信号地频谱进行分析计算信号各个频率分量计算信号各个频率

35、分量地幅值地幅值,相位与功率（功率谱具有突出主频率特性相位与功率（功率谱具有突出主频率特性,在分在分析带有噪声干扰地信号时特别有用）。析带有噪声干扰地信号时特别有用）。卷积与相关运算卷积与相关运算 3.4.1 用DFT计算线性卷积 如果（L点循环卷积）112120()()()()()()LLLmy nx nx nx m xnmR n1122()()()()X kDFT x nXkDFT x n0kL-1则则,由时域循环卷积定理有由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k),0kL-1 由此可见由此可见,循环卷积既可在时域直接计算循环卷积既可在时域直接计算,也可以在频也可

36、以在频域计算域计算,其计算框图如下图示。由于其计算框图如下图示。由于DFT有快速算法有快速算法FFT,当当N很大时很大时,在频域计算地速度快得多在频域计算地速度快得多,因而常用因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。计算循环卷积。图图 3.4.1 用用DFT计算循环卷积计算循环卷积 L点地点地DFT运算！运算！在实际应用中在实际应用中,为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤波处理等波处理等,需求计算两个序列地线性卷积！为了提高运算速度需求计算两个序列地线性卷积！为了提高运算速度,也希望用也希望用DFT计算线性卷积。计算线性卷积。存在地矛盾：存

37、在地矛盾：DFT只能直接用来计算循环卷积只能直接用来计算循环卷积!为此导需求导出线卷积与循环卷积之间地关系以与循环卷积与线性卷为此导需求导出线卷积与循环卷积之间地关系以与循环卷积与线性卷积相等地条件。积相等地条件。假设假设h(n)与与x(n)都是有很长序列都是有很长序列,长度分别是长度分别是N与与M。它们地线性卷积它们地线性卷积与循环卷积分别表示如下：与循环卷积分别表示如下：1010()()()()()()()()()()()NlmLcLLmy nh nx nh m x nmy nh nx nh m x nmR n(3.4.1)(3.4.2)其中其中,LmaxN,M 1010()()()()(

38、)()()NcLmqNLqmy nh mx nmqL R nh m x nmqL R n()(),Lqx nx nqL对照式对照式(3.4.1)可以看出可以看出,上式中上式中 10()()()()()()NlmclLqh m x nqLMy nqLy ny nqL R n(3.4.3)利用周期延利用周期延拓概念拓概念那么那么,循环卷积与线性卷积之间地关系即可以确定出来！循环卷积与线性卷积之间地关系即可以确定出来！线性卷积周期延拓为循环卷积线性卷积周期延拓为循环卷积;循环卷积即为该周期信号地主值序列！循环卷积即为该周期信号地主值序列！周期周期延拓延拓图图 3.4.2 线性卷积与循环卷积线性卷积与

39、循环卷积 0123451234h(n)x(n)nL 60123451234nL 867h(n)x(n)0123451234nL 1067h(n)x(n)（d）（e）(f)0123451234nN M1 867h(n)x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（a）（b）（c）89*189 10重叠时哪些点是不同地？哪那些点是相同地？重叠时哪些点是不同地？哪那些点是相同地？用用DFT计算线计算线性卷积框图性卷积框图 补L N个零点L点DFT补L M个零点L点DFTL点IDFTy(n)h(n)x(n)N点序列点序列M点序列点序列优点：当两个序列长度相当时优点：当两个序列长度相

40、当时,运算量小运算量小缺点：当两个序列长度相差较大时缺点：当两个序列长度相差较大时,运算运算量与存储量量与存储量,时延地问题时延地问题 当其中一个序列无穷长时当其中一个序列无穷长时?设序列设序列h(n)长度为长度为N,x(n)为无限长序列。将为无限长序列。将x(n)均均匀分段匀分段,每段长度取每段长度取M,则则0()()()()()kikMx nx nx nx nRnkM于是于是,h(n)与与x(n)地线性卷积可表示为地线性卷积可表示为000()()()()()()()()kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n(3.4.4)图 3.4.4 重叠相加法卷积示意图 M0NM

41、Mx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n)y0(n)y1(n)y2(n)nnnnnnh(n)线性谱估计（传统谱估计）线性谱估计（传统谱估计）数据直接数据直接FFT求谱求谱,对谱地对谱地模取平方运算得功率谱（周期图法）模取平方运算得功率谱（周期图法）,或对数据自相关函或对数据自相关函数求谱即为功率谱（自相关法）。对被处理数据以外数数求谱即为功率谱（自相关法）。对被处理数据以外数据作了不合理假设据作了不合理假设;假设以被处理数据长度为一周期假设以被处理数据长度为一周期,以外为其周期延拓或全为以外为其周期延拓或全为零

42、零,准确程度受数据截取长度影响准确程度受数据截取长度影响;数据较短时数据较短时,估计出来地值方差大估计出来地值方差大,分辨率低分辨率低,甚至面目全非。甚至面目全非。DFT进行谱估计进行谱估计为便于数学处理为便于数学处理,对截断信号做周期延拓对截断信号做周期延拓,得到虚拟地无限长信号。得到虚拟地无限长信号。用计算机进行测试信号处理时用计算机进行测试信号处理时,不可能对无限长地信不可能对无限长地信号进行测量与运算号进行测量与运算,而是取其有限地时间片段进行分析而是取其有限地时间片段进行分析,这这个过程称信号截断。个过程称信号截断。周期延拓信号与真实信号是不同地：周期延拓信号与真实信号是不同地：能量

43、泄漏误差能量泄漏误差 信号地时域波形分析信号地时域波形分析 超门限报警超门限报警 信号类型识别信号类型识别 基本参数识别基本参数识别 Pp-p信号地频域分析信号地频域分析 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为变换为频域信号频域信号X(f),从而帮助人们从另一个角度来了解信号地特征。从而帮助人们从另一个角度来了解信号地特征。8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz-26.5 GHz傅里叶傅里叶变换变换X(t)=sin(2nft)0 t0 f信号频谱信号频谱X(f)X(f)代表了信号代表了信号在不同频率分量成分地大在不同频率分量

44、成分地大小小,可以提供比时域信号波可以提供比时域信号波形更直观形更直观,丰富地信息。丰富地信息。时域分析与频域分析地关系时域分析与频域分析地关系时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域分析频域分析 时域分析只能反映信号地幅值随时间地变化时域分析只能反映信号地幅值随时间地变化情况情况,除单频率分量地简谐波外除单频率分量地简谐波外,很难明确揭示信很难明确揭示信号地频率组成与各频率分量大小。号地频率组成与各频率分量大小。图例：受噪声干扰地多频率成分信号图例：受噪声干扰地多频率成分信号 大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断故障诊断故障诊断通过振动信号频谱分析通过振动信号频谱

45、分析,确定最确定最大频率分量大频率分量,然后根据转速与传然后根据转速与传动链动链,找出故障点。找出故障点。一,用DFT对连续信号作谱分析地基本步骤xa(t)Xa(j)x(n)x(n)d(n)xN(n)NxN(n)Xa(ejw)XN(k)NXN(k)抽样抽样t=nTs截短截短周期延周期延拓拓周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期周期延拓周期延拓s=2/TsXa(ejw)*D(ejw)卷积卷积抽样抽样0=/N周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期FTDTFTDTFTDFSDFT信号地频谱分析：计算信号地傅立叶变换信号地频谱分析：计算信号地傅立叶变换如何利用如何利用XN(k)近似近似Xa(j)?T0=N

46、T=N/fsF0=1/T0=1/NT=fs/NF0：频率分辨率：频率分辨率1.近似处理近似处理(0阶近似阶近似)a.b.频域抽样：一个周期分频域抽样：一个周期分N N段段,采样间隔采样间隔F0F0时域周期延拓：周期为时域周期延拓：周期为T0=1/F0 T0=1/F0 0=2F0 0=2F0 频域采样间隔频域采样间隔 nxDFTTenxTenTxTjkXNnknNjNnnTjk1021000NFffFTkss2220000c.01020102001000011121210jkXIDFTTejkXNfNNejkXFejkXdejXnTxNknkNjsNknkNjNknTjknTjS10000Nks

47、dd步骤：步骤：结论：结论：用用DFTDFT计算理想低通滤波器频响曲线计算理想低通滤波器频响曲线 截取一段截取一段T0=8sfs=4Hz,T=0.25sN=T0/T=32,F0=1/NT=0.125HzH(k)=T DFTh(n)k=0,1,.31h(n)=ha(nT)R32(n)2.低频处低频处逼近好逼近好,高频处高频处因混叠因混叠失真而失真而逼近不逼近不好好二,谱分析误差与参数选择1,混叠失真混叠失真抽样造成地误差抽样造成地误差时域抽样：时域抽样：fs2fh,fs限制谱分析范围限制谱分析范围频域抽样：频域抽样：F0=1/T0,F0为频谱分辨率为频谱分辨率NfNTFTFfTTNss10000

48、为为信信号号的的有有效效持持续续时时间间，F0为频谱分辨率：谱分析中可以分辨为频谱分辨率：谱分析中可以分辨地两个频率分量地最小间隔地两个频率分量地最小间隔分析如何提高频率分辨率？分析如何提高频率分辨率？若想同时提高最高频率与频率分辨率若想同时提高最高频率与频率分辨率,必须必须N02Ffh2,截短效应（降低频谱分辨率截短效应（降低频谱分辨率 混叠失真）混叠失真）周期延拓后地信号与真实信号是不同地周期延拓后地信号与真实信号是不同地,下面我们就从下面我们就从数学地角度来看这种处理带来地误差情况。数学地角度来看这种处理带来地误差情况。将截断信号谱将截断信号谱 XT()XT()与原始信号谱与原始信号谱X

49、()X()相相比较可知比较可知,它已不是原它已不是原来地两条谱线来地两条谱线,而是两而是两段振荡地连续谱段振荡地连续谱.原原来集中在来集中在f0f0处地能量处地能量被分散到两个较宽地被分散到两个较宽地频带中去了频带中去了,这种现象这种现象称之为频谱能量泄漏。称之为频谱能量泄漏。周期延拓信号与真实信号是不同地：周期延拓信号与真实信号是不同地：能量泄漏误差能量泄漏误差克服方法：克服方法：增加窗函数地长度增加窗函数地长度;用缓慢截短方式用缓慢截短方式,不加矩形窗。改用旁瓣能不加矩形窗。改用旁瓣能量较小地余弦窗量较小地余弦窗,三角形窗三角形窗,升余弦窗等。升余弦窗等。克服方法：信号整周期截断克服方法：

50、信号整周期截断常用窗函数常用窗函数3,为提高效率为提高效率,通常采用通常采用FFTFFT算法计算信号频谱算法计算信号频谱,设数据点数为设数据点数为N,N,采样频率为采样频率为FsFs。则计算得到地。则计算得到地离散频率点为离散频率点为:Xs(Fi),Fi=i*Fs /N,i=0,1,2,.,N/2 X(f)f0f 如果信号中地频如果信号中地频率分量与频率取样点率分量与频率取样点不重合不重合,则只能按四则只能按四舍五入地原则舍五入地原则,取相取相邻地频率取样点谱线邻地频率取样点谱线值代替。值代替。栅栏效应误差实验：栅栏效应误差实验：u 能量泄漏与栅栏效应地关系能量泄漏与栅栏效应地关系 频谱地离散