微波技术微波技术第三章(5)课件.ppt

1、第六节第六节 圆波导圆波导 横截面为圆形的空心金属波导称横截面为圆形的空心金属波导称为圆波导。主要用于较远距离传输的为圆波导。主要用于较远距离传输的多路通信中、微波谐振腔及某些微波多路通信中、微波谐振腔及某些微波元件。元件。一、场方程的解一、场方程的解ryxzjja0zrj圆柱坐标中，电、磁场量都是圆柱坐标中，电、磁场量都是r,j,z的函数。设分布函数为的函数。设分布函数为 约定：以约定：以 a 表示截面圆半径，波表示截面圆半径，波导内壁为理想导体，波导内充空气。导内壁为理想导体，波导内充空气。分析方法仍为分析方法仍为“纵向场法纵向场法”。采用圆柱坐标采用圆柱坐标(r,j,z):),(),()

2、,(),(),(),(),(),(jjjjjjjjjjjjrHrHrHrHrErErErEzrzrzrzr 将以上两式代入式将以上两式代入式(3-19)中，就可以得到中，就可以得到分布函数纵向分分布函数纵向分量量Ez(r,j )、Hz(r,j)所应满足的方程所应满足的方程)893(0),(),(0),(),(22jjjjrHkrHrEkrEzczTzczT222 kkc22k传输状态)903(11222222jrrrrT式中式中)1(),(),(),(),(zjzjerHzrHerEzrEjjjj 根据式根据式(3-18)，对圆柱坐标系，沿，对圆柱坐标系，沿 z 方向传播的导行波时谐方向传播的

3、导行波时谐场通解为场通解为 式式(1)代入式代入式(2)，利用式利用式(3-91)展开取各分量式展开取各分量式,再推导再推导(具具体过程参考体过程参考 P57 P58)得出沿得出沿 z 方向传播的电磁波的分布函数方向传播的电磁波的分布函数横向分量表示式横向分量表示式(用纵向分量表示用纵向分量表示)如下如下在圆柱坐标中在圆柱坐标中)2(00HjEEjH麦克斯韦方程组的两个旋度关系式麦克斯韦方程组的两个旋度关系式)913(1zrArAAzrrrAjjjzr)1(),(),(),(),(zjzjerHzrHerEzrEjjjj)923(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),

4、(),(02020202jjjjjjjjjjjjjjjjjjrHrrrEkjrHrrHrErkjrHrrHrErkjrErHrrrEkjrEzzczzcrzzczzcr。222 kkc式中式中圆波导中不可能传输圆波导中不可能传输TEM波，只能传输波，只能传输TE、TM波。波。下面分下面分别求解别求解Hz0，Ez=0的的TEO波波(HO波波)和和Ez0，Hz=0的的TMO波波(EO波波)，HO、EO右上角的标记右上角的标记“O”表示圆波导的模式。表示圆波导的模式。)933(011011222222222222zczzzzczzzHkHrrHrrHEkErrErrEjj1.TE波波(H 波波)：E

5、z=0、Hz 0 式式(3-93)应用分离变量法求出应用分离变量法求出 Ez、Hz 的通解的通解,再根据边界再根据边界条件等确定待定常数；利用式条件等确定待定常数；利用式(3-92)可得可得TE 和和TM 波的场解。波的场解。Ez=0 代入式代入式(3-92)，得得TE波的分布函数表达式波的分布函数表达式将式将式(3-90)代入式代入式(3-89)得得)3(),(),(),(220202jjjjjjjzczcrzczcrHrkjHrHkjrHrHkjrEHrkjrEjjHHTE0rTErHH00TE式中式中,)923(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(02

6、020202jjjjjjjjjjjjjjjjjjrHrrrEkjrHrrHrErkjrHrrHrErkjrErHrrrEkjrEzzczzcrzzczzcr2)(1120c代入式代入式(3-93b)中微分后中微分后，各项同乘，各项同乘)933(011222222bHkHrrHrrHHzczzzzj可由可由解得。解得。应用分离变量法，令应用分离变量法，令)4()()(),(RrRrHzjj得得Rr2)5(112222222jddRrkrddRrrdRdrRc 式式(5)左边为左边为 r 的函数，右边为的函数，右边为j 的函数，而的函数，而 r、j 为独立变为独立变量量,两边要相等两边要相等,则应

7、等于同一个常数则应等于同一个常数,设为设为 n2。这就将式。这就将式(5)分分离成两个方程式离成两个方程式)8()cos(sincos)(021jjjjjnAnAnA)7(0222nddj)6(0)(222222RnrkrddRrrdRdrc式式(7)为二阶常微分方程，为二阶常微分方程，F(j)的通解为的通解为对式对式(6)，令令u=kc r 作变量代换作变量代换222222,duRdkkudrdRddrRdkuddRdrdRkdrducccc0)(22222RnuuddRuudRdu得得)5(112222222jddRrkrddRrrdRdrRc上式为以上式为以 u 为自变量的为自变量的 n

8、 阶贝塞尔方程，其通解为阶贝塞尔方程，其通解为)()()(21uYBuJBrRnn)9()()(21rkYBrkJBcncn函数函数阶阶为为函数函数阶阶为为式中式中Newmann)(Bessel)(nuYnuJnn,不属于不属于,柱谐函数柱谐函数统称为统称为;)函数函数或称为第二类或称为第二类(”“Bessel初等函数，可以用无穷级数表示，在数学手册中可查到曲线或初等函数，可以用无穷级数表示，在数学手册中可查到曲线或函数表。函数表。Y0(u)Y1(u)Y2(u)J0(u)J1(u)J2(u)图图3-25 前前 n 阶柱谐函数曲线阶柱谐函数曲线b)诺以曼函数诺以曼函数ua)贝塞尔函数贝塞尔函数u

9、图图3-25为前为前 n 阶柱谐函数曲线。阶柱谐函数曲线。Y0(u)Y1(u)Y2(u)J0(u)J1(u)J2(u)图图3-25 前前 n 阶柱谐函数曲线阶柱谐函数曲线b)诺以曼函数诺以曼函数ua)贝塞尔函数贝塞尔函数u柱谐函数性质：柱谐函数性质：J0(0)=1；Jn(0)=0(n0)；Yn(0)；J0(x)=J1(x)(3-99)图中图中,Jn(u)曲线与曲线与u 轴的一系列交点为轴的一系列交点为Jn(u)的零点的零点(根根),编号编号为为 un1,un2,un i,；un i 称为称为 n 阶阶Bessel 函数的第函数的第 i 个零点。即个零点。即)1003(),2,1;,2,1,0(

10、0)(inuJinn表表3-3列出了各阶贝塞尔函数的部分根列出了各阶贝塞尔函数的部分根(uin)。将式将式(8)、(9)代入式代入式(4)得得)8()cos(sincos)(021jjjjjnAnAnA)()()(21uYBuJBrRnn)9()()(21rkYBrkJBcncn)4()()(),(RrRrHzjj)cos()()(),(021jjjnrkYBrkJBArHcncnz(10)式中式中,A、B1、B2、n、j 0 均为待定系数均为待定系数,可由下列条件决定：可由下列条件决定：)cos()(),(00jjjnrkJHrHcnz(11)代入式代入式(10)得得(1)有限条件有限条件

11、波导内任何地方的场量均为有限值，这要求波导内任何地方的场量均为有限值，这要求，的值有限的值有限0rzH;)0()(0nrcnYrkY而而。02B故必有故必有 波导内同一点的场量必须是波导内同一点的场量必须是单值的，即单值的，即(2)单值条件单值条件(自然周期条件自然周期条件)2,(),(jjrHrHzz将式将式(11)代入上式，得代入上式，得)2cos()2(cos)cos(000jjjjjjnnnn 这要求这要求 n=0,1,2,；因此因此,标号标号n 的意义就是场量在圆周方的意义就是场量在圆周方向的周期数。向的周期数。arrH=0代入到代入到TE波的场分布函数表达式波的场分布函数表达式(3

12、)中的中的rHkjHzcr2)3(),(),(),(220202jjjjjjjzczcrzczcrHrkjHrHkjrHrHkjrEHrkjrE(3)边界条件边界条件 波导壁为理想导体波导壁为理想导体,其上磁场的法向方向为零。即其上磁场的法向方向为零。即0arzrH可得可得Hz(r,j)=H0 Jn(kc r)cos(nj-j0)(11),0)(akJcn式式(11)代入上式，解出代入上式，解出：个根个根的第的第函数的导函数函数的导函数阶阶表示表示用用ivJnvnin)(Bessel)12(),3,2,1;,2,1,0(0)()(invJakJinncn,)(的零点(根)的零点(根)必须是必须

13、是即即vJaknc图图3-26 部分第一类贝塞尔函数的导函数曲线部分第一类贝塞尔函数的导函数曲线)(vJn)(2vJ)(1vJ)(0vJv 图图 3-26 给出了前给出了前n 阶贝塞尔函数的导函数阶贝塞尔函数的导函数 曲线。曲线。的的)(vJn 表表3-4 列列出了各阶贝塞尔函数的出了各阶贝塞尔函数的导函数的部分根导函数的部分根(vni)。kc=vni/a (13)式式(11)、式、式(12)和式和式(13)代入式代入式(3),再乘上因子再乘上因子,)()(2ztjcejk得沿得沿 z 方向传输的方向传输的TE波波(H 波波)的复数解的复数解Hz(r,j)=H0 Jn(kc r)cos(nj-

14、j0)(11)12(0)()(inncnvJakJ)3(),(),(),(220202jjjjjjjzczcrzczcrHrkjHrHkjrHrHkjrEHrkjrE)1083()cos();,()(00aenravJavHtzrHztjinninrjjj kc=vni/a (13)1083()sin();,()(000denravJrnHtzrEztjinnrjjj)1083()cos();,()(020cenravJavHjtzrHztjinninzjjj)1083()cos();,()(000eenravJavHtzrEztjinninjjjj)1083(0);,(ftzrEzj)108

15、3()sin();,()(00benravJrnHtzrHztjinnjjjj。，,3,2,1;,2,1,0in式中式中 vni 是是 n 阶贝塞尔函数的导函数阶贝塞尔函数的导函数 第第 i 个零点的值，个零点的值，的的)(vJn0)(innvJ即方程即方程 的根。的根。对对n、i 的不同取值，的不同取值，因而因而,就有不同的根就有不同的根incnnvrkJvJ)()(。OTEin对应不同的模对应不同的模标号标号 n、i 的意义：的意义：:截止波数截止波数,3,2,1,2,1,0)(inavkinTEcininHcTEcvakinin2)(2)(:截止波长截止波长,3,2,1,2,1,0in由

16、由),3,2,1;,2,1,0(0)()(invJakJinncn可求可求 TE波的截止波数、截止波长：波的截止波数、截止波长：n:Bessel 函数的阶数、场量沿圆周方向驻波分布的周期数。函数的阶数、场量沿圆周方向驻波分布的周期数。i:对对 波波,i 除表示除表示Bessel函数的函数的的根的根(零点零点)的序号的序号外，还表示场量沿径向外，还表示场量沿径向(0 r a)出现零点的次数，亦即场量沿出现零点的次数，亦即场量沿半径方向半径方向(r 向向)驻波分布的周期数。驻波分布的周期数。OTEin 再由有限条件、自然周期条件再由有限条件、自然周期条件(单值条件单值条件)和边界条件和边界条件(切

17、向电切向电场为零，即场为零，即Ez(a,j)=0)确定待定常数，得确定待定常数，得E 波场解方法与波场解方法与H 波相似，用分离变量法解波相似，用分离变量法解0),(),(2jjrEkrEzczT)1033(),3,2,1;,2,1,0(inaukinEcin)cos()(),(00jjjnrkJErEcnz)1023(cuakincun i 为为 n 阶阶Bessel函数的根函数的根(零点零点)，即，即)1003(),3,2,1;,2,1,0(0)(inuJinn2.TM波波(E 波波)：Hz=0、Ez 0 (详见详见P84P88)从而可求从而可求E 波各模式的截止波长：波各模式的截止波长：

18、)1043(),3,2,1;,2,1,0(22inuakniEcEcinin)1073()cos();,()(00aenrauJauEtzrEztjinninrjjj)1073()sin();,()(00benrauJrnEtzrEztjinnjjjj)1073()cos();,()(020cenrauJaujEtzrEztjinninzjjj)1073()sin();,()(00denrauJrnEtzrHztjninTMrjjj)1073()cos();,()(00eenrauJauEtzrHztjninniTMjjjj)1073(0);,(ftzrHzj 以上关系代入式以上关系代入式(3

19、-92)，两边同乘，两边同乘,)(2ztjcejk得沿得沿 z方向方向OTMni传输的传输的 的复数解的复数解),3,2,1;,2,1,0(in20)(1120,cTM式中式中为为TM波波(E 波波)的波阻抗。的波阻抗。n：为为 Bessel 函数的阶数、场量沿圆周方向的周期数。函数的阶数、场量沿圆周方向的周期数。对对n、i 的不同取值，的不同取值，因而因而,就有不同的根就有不同的根incnnurkJuJ)()(。OTMin对应不同的模对应不同的模标号标号 n、i 的意义：的意义：i :对对 波，波，i 为为 Bessel 函数的根函数的根(零点零点)的序号，也表示的序号，也表示场量沿径向场量

20、沿径向(0 r a)出现零点的次数。出现零点的次数。OTMni下面，让我们再回顾一下式下面，让我们再回顾一下式(3-107)、式、式(3-108)：沿沿 z 方向传输的方向传输的 的复数解的复数解:OTMni)1073()cos();,()(00aenrauJauEtzrEztjinninrjjj)1073()sin();,()(00benrauJrnEtzrEztjinnjjjj)1073()cos();,()(020cenrauJaujEtzrEztjinninzjjj)1073()sin();,()(00denrauJrnEtzrHztjninTMrjjj)1073()cos();,()

21、(00eenrauJauEtzrHztjninniTMjjjj)1073(0);,(ftzrHzj),3,2,1;,2,1,0(in 沿沿 z方向传输的方向传输的 的复数解的复数解:OHni)1083()cos();,()(00aenravJavHtzrHztjinninrjjj)1083()sin();,()(000denravJrnHtzrEztjinnrjjj)1083()cos();,()(020cenravJavHjtzrHztjinninzjjj)1083()cos();,()(000eenravJavHtzrEztjinninjjjj)1083(0);,(ftzrEzj)1083()sin();,()(00benravJrnHtzrHztjinnjjjj),3,2,1;,2,1,0(in