平面图形面积课件.ppt

1、一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形平面图形面积平面图形面积ix1 ix1xi 2x元素法元素法1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)iiixfS )(3 3 积零为整积零为整yxoy=f(x)1nx niiixfS1)(ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值 f(i).ix1 ixi 4 4 取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整 niiixfS1)(iiixfS )(.f(i)ix1

2、 ixi 4 4 取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整 niiixfS1)(iiixfS )(.f(i)niiixf1)(lim 记记S=.baxxfd )(S.abab xyo)(xfy 提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)(，于是于是 dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxx dA面积元素面积元素xyo)(xf

3、y abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx x 例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1,0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9,3()

4、,4,2(),0,0(236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3,2 x,0,2)1(xdxxxxdA)6(231 ,3,0)2(xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 切线所围成图形的面积切线所围成图形的面积 和点(3,0)处的和点(3,0)处的 与其在点与其在点 求抛物线求抛物线)(0,xxy。例3.xyo3 3 xy 由由得两切线的斜率为得两切线的斜率为 ,k故两切线为故两切线为 ,:xyl其交点的横坐标为其交点的横坐标为 x d)(xxxx 。k xyl:d)34(342230 xxxx。S =l1l2 围成的面积围成的面积与与 求曲线求曲线 4 4 xyxy 2。0y

5、x例4444解方程组：解方程组：xyxy得交点：得交点：(8,4)，(2,2)问题：选谁为积分变量？问题：选谁为积分变量？d)(yyyS 18 如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA 在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有连续导数，具有连续导数，)(ty 连续连续.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab x

6、a圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，x来看动点的慢动作来看动点的慢动作圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。.一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，旋轮线旋轮线2a2 a0yx ax=a(t sint)y=a(1 cost)t t 的几何意义如图示的几何意义如图示ta当当 t 从从 0 2，x从从 0 2 a即曲线走了一拱即曲线走了一拱a圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。旋轮线旋轮线.一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，2a2 a0yx ax=a(t sint)y=a(1 cost

7、)t t 的几何意义如图示的几何意义如图示ta当当 t 从从 0 2，x从从 0 2 a即曲线走了一拱即曲线走了一拱a圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。旋轮线旋轮线.一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板旋轮线也叫摆线x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板.旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线.旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线的一拱一分为二

8、，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板两个旋轮线形状的挡板两个旋轮线形状的挡板,使摆动周期与摆幅完全无关。使摆动周期与摆幅完全无关。在在1717世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线摆线。.旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板例例6 6 求由摆线求由摆线(sin)(0)(1cos)xa ttayat 的一拱与的一拱与x轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积解解 20(1cos)(sin)Aata ttdt 2220(1cos

9、)atdt 23 a 摆线的一拱可取摆线的一拱可取 0,2t ()d o +d r=()1 1 取极角取极角 为积分变量，为积分变量，其变化区间为其变化区间为 ,d)(d S以圆扇形面积近似小以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到曲边扇形面积，得到面积元素：面积元素：,.d)(S.dSS3 作定积分作定积分.r 二、极坐标系情形二、极坐标系情形即即0 xya2P,2 aFF )0,(aF )0,(aF FF 与到)(2a r cos2222raar cos2222raar 42222222cos4)()(aarar 2cos222ar 02cos )2,47()45,43()4,0(.)(2)(

10、222222yxayx 曲线在极点自己相交，与此对应的角度为曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =,4,43,45 47.距离之积为距离之积为a2的点的轨迹的点的轨迹直角系方程直角系方程 双线解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1Axyoaa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)xyoa来看动点的慢动作来看动点的慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动

11、圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.心形线心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)axyoaa2a来看动点的慢动作来看动点的慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.(圆外旋轮线圆外旋轮线)心形线心形线解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1(02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0 xyo例92d)cos1(21230 .S=1+cos 3r =3cos 部部分分的的面面积积 共共 分分别别所所

12、围围成成的的图图形形的的公公 及及 求求曲曲线线rr coscos 由由 3cos =1+cos 得交点的坐标得交点的坐标 232dcos29 23.例101 部部分分的的面面积积 共共 分分别别所所围围成成的的图图形形的的公公 及及 求求曲曲线线rr cossin2 0 xy令令 cos2 =0,k由由 sin 0,联立后得交点坐标联立后得交点坐标,dcos22146 .dsin221260 S=26 .4 的的面面积积。部部分分分分割割为为两两部部分分，求求这这两两 被被心心形形线线圆圆 cos11 xyo例111 d)cos(s1s2ss ss .sS=1+cos xyoa4a a一圆沿

13、另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)xyoa a来看动点的慢动作来看动点的慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.星形线星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)xyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。来看动点的慢动作来看动点的慢动作.星形线星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)xyo323232ayx 33sincosayaxa

14、 a0 2 或或.P.一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.星形线星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)cos(sin)sin(costttaytttax0 xy一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹 圆的渐伸线a )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹.a圆的渐伸线圆的渐伸线再看一遍再看一遍 )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy

15、.a一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹圆的渐伸线圆的渐伸线 )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy.a一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹 圆的渐伸线圆的渐伸线a0 xMttaat(x,y)cos(sin)sin(costttaytttax0 xy试由这些关系推出曲线的方程试由这些关系推出曲线的方程.一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹 圆的渐伸线圆的渐伸线0rr=a 曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看

16、作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线 阿基米德螺线0r曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线.阿基米德螺线阿基米德螺线r=a 0rr=a.阿基米德螺线阿基米德螺线r这里这里 从从 0+8r=a 02 a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.阿基米德螺线阿基米德螺线0r8当当 从从 0 r=a.阿基米德螺线阿基米德螺线 ar r0.这里这里 从从 0+8a0lim r 极极点点是是曲曲线线的的渐渐近近点点 sinry sin aay 0lim是是曲曲线线的的渐渐近近线线ay .双曲螺线 ar r0.当当 从从 0 8a.双曲螺线双曲螺线