平面几何问题的证明证题的一般思路证题的一般思路课件.ppt

1、第五章第五章 2022-7-272022-7-271 12022-7-272022-7-27 第五章第五章 平面几何问题的证明平面几何问题的证明 第一节第一节 证题的一般思路证题的一般思路 证题的一般思路证题的一般思路:试误式思路与顿误式思路试误式思路与顿误式思路 试误式思路试误式思路:认真审题，分清条件和结论，挖掘认真审题，分清条件和结论，挖掘所涉及的一些概念的内涵，利用丰富的联想和化归的所涉及的一些概念的内涵，利用丰富的联想和化归的思想，把要解决的问题归结为已熟悉的其他证法的类思想，把要解决的问题归结为已熟悉的其他证法的类型。如果用困难，就尝试对问题的条件或结论作某些型。如果用困难，就尝试

2、对问题的条件或结论作某些变更，转化为某一种类型。如果转化过程中碰到障碍，变更，转化为某一种类型。如果转化过程中碰到障碍，缺乏某些因素，就尝试引入辅助量或作出辅助线、图缺乏某些因素，就尝试引入辅助量或作出辅助线、图来进行沟通，纠正尝试中的错误，最后获得原问题的来进行沟通，纠正尝试中的错误，最后获得原问题的证明。证明。2022-7-272022-7-27 直接式直接式:由命题的题设出发，根据定义、公理、定理由命题的题设出发，根据定义、公理、定理进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的证明。进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的证明。又有又有“综合法综合法”和和“分析法分析法”之分之分.间接式间接

3、式:有些命题，往往不易甚至不能直接证明。有些命题，往往不易甚至不能直接证明。这时，不妨证明它的等效命题，间接地达到目的。这这时，不妨证明它的等效命题，间接地达到目的。这种证题思路称为间接式。反证法、同一法就是两种典种证题思路称为间接式。反证法、同一法就是两种典型的间接式思路证题方法。型的间接式思路证题方法。反证法又分归谬法和穷举法反证法又分归谬法和穷举法;同一法。同一法。试误式思路又常分为直接式和间接式。试误式思路又常分为直接式和间接式。2022-7-272022-7-27 就是证题时，一下子不能马上行找到他的证明思就是证题时，一下子不能马上行找到他的证明思路，但当通过有选择地带着形象识别的眼

4、光反复地分路，但当通过有选择地带着形象识别的眼光反复地分析他，通过动员和组织、分离和整合题目中已知的信析他，通过动员和组织、分离和整合题目中已知的信息，辨认和联想题目中的各种因素时，则可以在经过息，辨认和联想题目中的各种因素时，则可以在经过一系列的一系列的“脑风暴脑风暴”之后，在某一其他因素或者其他之后，在某一其他因素或者其他问题的激发下，或运用直觉想象，突然在脑子中形成问题的激发下，或运用直觉想象，突然在脑子中形成一个念头或闪现出对证题的提示，从而顿时获得简捷一个念头或闪现出对证题的提示，从而顿时获得简捷而优美的证题思路。而优美的证题思路。见见P75例例1.顿误式思路顿误式思路2022-7-

5、272022-7-27 1,面积与面积法证题面积与面积法证题 张景中院士指出张景中院士指出,抓住面积，不但能把平面几何课抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学，而且使得几何问题求解变得更有趣程变得更容易学，而且使得几何问题求解变得更有趣味。味。在求解平面几何问题的时候，在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或者面涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或者面积比表示有关几何量或其比，从而把要论证的几何量积比表示有关几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形之间的关系转化为有关面积之间的关系，并

6、通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。为面积法。第二节第二节 面积法与面积坐标面积法与面积坐标常用公式见常用公式见P84-85页页.证明证明P85例例1和例和例2.2022-7-272022-7-27 3.面积坐标面积坐标 如果引入带正负号的面积（规定图形的边界走向是如果引入带正负号的面积（规定图形的边界走向是逆时针方向则面积为正，走向是顺时针方向则面积为逆时针方向则面积为正，走向是顺时针方向则面积为负）就可以引入面积坐标了。负）就可以引入面积坐标了。在平面上任意取一个定向三角形在平面上任意取一个定向三角形A1A2A3，称

7、为，称为“坐坐标三角形标三角形”。A1，A2,A3称为基点。称为基点。2.消点思想与消点法证题消点思想与消点法证题(见第十章见第十章)对平面上任意一点对平面上任意一点M，就有了三个三角形的带号面积：，就有了三个三角形的带号面积：S1=SMA2A3,S2=SMA3A1,S3=SMA1A2.2022-7-272022-7-27 S1,S2,S3称为点称为点M的三个的三个”坐标分量坐标分量”，且满足，且满足 S1+S2+S3=SA1A2A3。如果给出三者之比如果给出三者之比S1:S2:S3=1:2:3，且，且 1=Si/(S1+S2+S3)(i=1,2,3)，则称则称(1:2:3)为为M=(S1,S

8、2,S3)的齐次面积坐标。的齐次面积坐标。通常（通常（1:2:3)）称为）称为M的重心坐标。的重心坐标。当当S1+S2+S3=S=1时，面积坐标也就是规范重心坐标。时，面积坐标也就是规范重心坐标。把三元数组（把三元数组（S1,S2,S3）称为（以）称为（以A1A2A3为坐标为坐标三角形时）点三角形时）点M的的“面积坐标面积坐标”，记为，记为M=(S1,S2,S3)2022-7-272022-7-27 从而可以用（从而可以用（S1,S2）来表示点）来表示点M，或用（或用（S1/S,S2/S）称为在坐标系（）称为在坐标系（A3,A3A1,A3A2）之下之下M的仿射坐标，而的仿射坐标，而A3称为这个

9、仿射坐标的原点。称为这个仿射坐标的原点。如果如果A3A1=A3A2=1，且，且A1A3A2=90o，则这个仿射坐标系则这个仿射坐标系（A3,A3A1,A3A2）叫做笛卡儿叫做笛卡儿坐标系，也就是指常用的直角坐标系。坐标系，也就是指常用的直角坐标系。由于知道了由于知道了M(S1,S2,S3)的两个坐标分量的两个坐标分量(S1,S2)，就，就可以确定可以确定M,2022-7-272022-7-27 1,向量法与向量法证题向量法与向量法证题 把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方法称之为向量方法。法称之为向量方法。向量法的特点是形数结合、运算有法可循，因

10、此向量法的特点是形数结合、运算有法可循，因此向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的方便，能把向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的方便，能把综合法与坐标法有机地结合在一起。综合法与坐标法有机地结合在一起。第三节第三节 向量法与复数法向量法与复数法 2022-7-272022-7-27 见见P90 用向量法证明第一节中的例用向量法证明第一节中的例1是很简捷的是很简捷的.2022-7-272022-7-27 请讲解请讲解P94例例4 2,复数法与复数法证题复数法与复数法证题2022-7-272022-7-27 1,关于线段关于线段,角的相等角的相等 (常见方法常见方法10种种,P96)2,关于平行与垂

11、直关于平行与垂直 (常见方法常见方法7+7种种,P97-98)3,关于点共线与线共点关于点共线与线共点 (常见方法常见方法7+60种种,P99)第四节第四节 几类问题的证明方法几类问题的证明方法4,关于点共圆与圆共点关于点共圆与圆共点 (常见方法常见方法7+3种种,P100)2022-7-272022-7-27 1,几何轨迹几何轨迹 具有某种性质的点的集合称为具有这种性质的点具有某种性质的点的集合称为具有这种性质的点 的轨迹。的轨迹。轨迹与几何图形都是点集。但是，图形是知其形轨迹与几何图形都是点集。但是，图形是知其形（形状）而不知其性（构造规律和性质），轨迹是知（形状）而不知其性（构造规律和性

12、质），轨迹是知其性而不知其形。其性而不知其形。第五节第五节 几何轨迹与尺规作图几何轨迹与尺规作图2022-7-272022-7-27 1,命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置 和大小。和大小。2,命题结论中只说出了轨迹图形的形状，但位置命题结论中只说出了轨迹图形的形状，但位置 和大小或者缺少，或者叙述不全。和大小或者缺少，或者叙述不全。3.命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对轨迹命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对轨迹图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息 轨迹问题的三种类型：轨迹问题的三种类型：2022

13、-7-272022-7-27 第二类轨迹题，第二类轨迹题，结论中只给出了轨迹图形的形结论中只给出了轨迹图形的形状，但位置和大小或者缺少，或者叙述不全状，但位置和大小或者缺少，或者叙述不全,需要进一需要进一步探求。完全确定轨迹的位置、大小应是首先要进行步探求。完全确定轨迹的位置、大小应是首先要进行的工作。的工作。整个求解过程包括：写已知和求证，探求、证明整个求解过程包括：写已知和求证，探求、证明完备性与纯粹性，讨论等步骤。完备性与纯粹性，讨论等步骤。第一类轨迹题，第一类轨迹题，是结论中明确指明了轨迹图形的是结论中明确指明了轨迹图形的形状、位置和大小的问题，只要给予证明即可。形状、位置和大小的问题

14、，只要给予证明即可。求解步骤为：写出已知和求证，证明完备性与纯求解步骤为：写出已知和求证，证明完备性与纯粹性，作出结论。粹性，作出结论。2022-7-272022-7-27 求解步骤与第二类轨迹题相同。求解步骤与第二类轨迹题相同。题，题，轨迹的探求，一般由解析法和综合法。在综合法中、轨迹的探求，一般由解析法和综合法。在综合法中、常常采用描迹法、几何变换法、条件代换法等法。常常采用描迹法、几何变换法、条件代换法等法。第三类轨迹题，第三类轨迹题，是以问题形势呈现。题中没有叙是以问题形势呈现。题中没有叙述轨迹的形状、位置和大小。这些都需要探求、有时述轨迹的形状、位置和大小。这些都需要探求、有时探求还

15、是比较艰难的。虽然如此，但一经确定轨迹的探求还是比较艰难的。虽然如此，但一经确定轨迹的之后，往往证明方法就附带解决了。之后，往往证明方法就附带解决了。2022-7-272022-7-27 传统的几何作图中，尺规作图是指用没有刻度的传统的几何作图中，尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规两件工具，利用有限次步骤作出符合预先直尺和圆规两件工具，利用有限次步骤作出符合预先约定条件的图形，有时也叫欧几里得作图。约定条件的图形，有时也叫欧几里得作图。1.立方倍积问题立方倍积问题:求作一立方体求作一立方体,使它的体积两倍于使它的体积两倍于 一已知立方体的体积一已知立方体的体积.2.三等分角问题三等分角问题:求

16、作一任意角的三等分角求作一任意角的三等分角.3.化圆为方问题化圆为方问题:求作一正方形求作一正方形,使它的面积等于一使它的面积等于一 已知圆的面积已知圆的面积.几何作图三大难题几何作图三大难题 2,尺规作图尺规作图 尺规作图公法尺规作图公法 根据尺规的功能根据尺规的功能,规定如下作图公法规定如下作图公法:1.过两已知点可作一条直线过两已知点可作一条直线.2.已知圆心和半径可作一个圆已知圆心和半径可作一个圆.3.已知两直线相交已知两直线相交,可求其交点可求其交点.4.已知一直线与一圆周相交已知一直线与一圆周相交,可求其交点可求其交点.5.已知两圆周相交已知两圆周相交,可求其交点可求其交点.202

17、2-7-272022-7-272022-7-272022-7-27 1.二等分已知线段二等分已知线段.尺规作图的范围尺规作图的范围 2.二等分已知角二等分已知角.3.已知直线已知直线l和和l外一点外一点p,过过p作直线垂直于作直线垂直于l.4.任意给定自然数任意给定自然数n,作已知线段的作已知线段的n倍倍,以以及及n等分已知线段等分已知线段.从中学几何知从中学几何知,利用直尺和圆规可以利用直尺和圆规可以:2022-7-272022-7-27作图成法，课本作图成法，课本P104页给出了页给出了22种。种。作图题的分类：定位作图，活位作图。作图题的分类：定位作图，活位作图。解作图题的一般步骤：解作

18、图题的一般步骤：1，写出已知与求作，写出已知与求作，2，进行分析，进行分析，3，写出作法，写出作法，4，证明，并进行讨论。，证明，并进行讨论。2022-7-272022-7-27 常用的作图方法：常用的作图方法：交轨法，三角形奠基法，变换法，代数法交轨法，三角形奠基法，变换法，代数法 等。等。变换法又分变位法，位似法，反演法等。变换法又分变位法，位似法，反演法等。交轨法交轨法：利用轨迹的交点来解作图题的方法。：利用轨迹的交点来解作图题的方法。三角形奠基法：三角形奠基法：用某个三角形为基础的作图用某个三角形为基础的作图 方法。方法。代数法代数法：借助于代数运算来解作图题图的方：借助于代数运算来解

19、作图题图的方 法。法。2022-7-272022-7-27变位法变位法：把图形中某些元素施行适当的合同变：把图形中某些元素施行适当的合同变 换，然后借助于各元素的新旧位置关换，然后借助于各元素的新旧位置关 系发现作图的方法。系发现作图的方法。位似法位似法：利用位似变换性质解作图题的方法。：利用位似变换性质解作图题的方法。反演法：反演法：对于与圆有关部门的作图题，可以利对于与圆有关部门的作图题，可以利 用反演变换的性质来解作图题的方法。用反演变换的性质来解作图题的方法。2022-7-272022-7-27问题在于除了有理点，尺规作图能否作出问题在于除了有理点，尺规作图能否作出无理数所对应的点无理

20、数所对应的点?2022-7-272022-7-27已知线段已知线段a 作线段作线段 。aOA=a,AB=1.以以OB为直径为直径作圆作圆,过过A作作OB的垂线交圆周的垂线交圆周于于C,RtOAC与与OBC有公有公共角共角 COB,由此可得由此可得 OCA=ABC,从而从而OAC CBA,设设AC=x,有有 a/x=x/1,x2=a,x=aO a A 1 B Ca2022-7-272022-7-27 已知线段已知线段a,可以作出线段可以作出线段 ,说明有些无理说明有些无理点是可以作出的。点是可以作出的。a但是诸如但是诸如 就无法用尺规作图，就无法用尺规作图，这是因为无这是因为无法作出超越数法作出

21、超越数。有理数域有理数域Q中的数可以用尺规作图，中的数可以用尺规作图，提示我提示我们，能否从们，能否从Q出发，将出发，将Q一步一步扩张一步一步扩张,并保证并保证扩张后得到的新数域中的数可以用尺规作图扩张后得到的新数域中的数可以用尺规作图?2022-7-272022-7-27几何作图的关键几何作图的关键:确定某些点的位置确定某些点的位置.这些点这些点尺规作图可能性准则尺规作图可能性准则是是“直线与直线直线与直线,直线与圆直线与圆,圆与圆的交点圆与圆的交点”.直线与圆的方程都不超过二次直线与圆的方程都不超过二次,求直线与圆求直线与圆或圆与圆的交点的坐标或圆与圆的交点的坐标,只需要有限次的四则只需要

22、有限次的四则运算和开平方运算运算和开平方运算.一一.尺规作图可能性准则的确定尺规作图可能性准则的确定 一个几何量能否用尺规作出一个几何量能否用尺规作出,等价于它能否等价于它能否由由 已知量经过加已知量经过加,减减,乘乘,除及开平方运算求得除及开平方运算求得.鉴别尺规作图可能性的准则鉴别尺规作图可能性的准则:一线段的量数一线段的量数,当且仅当能由已知线段的量当且仅当能由已知线段的量数数,经过有限次的加经过有限次的加,减减,乘乘,除及开平方运算得出除及开平方运算得出时时,可用尺规作出可用尺规作出.2022-7-272022-7-272022-7-272022-7-27二二.尺规作图问题的代数化尺规

23、作图问题的代数化 尺规作图准则仅仅依靠欧氏几何本身是无能尺规作图准则仅仅依靠欧氏几何本身是无能 为力的，需要借助代数方法才能完成。解析几为力的，需要借助代数方法才能完成。解析几何的问世，使得几何问题转化为代数问题成为何的问世，使得几何问题转化为代数问题成为 可能。可能。坐标平面上直线和圆可以分别用一次方程和坐标平面上直线和圆可以分别用一次方程和二次方程来表示。二次方程来表示。2022-7-272022-7-27 因此，判断一个作图题能否由尺规作图来完因此，判断一个作图题能否由尺规作图来完 成，可以设法转化为代数问题处理。也就是说，成，可以设法转化为代数问题处理。也就是说，所求点的坐标如果能够用已知点的坐标通过加、所求点的坐标如果能够用已知点的坐标通过加、减、乘、除和非负实数开平方求出来，那么，减、乘、除和非负实数开平方求出来，那么，这个作图题就可以用尺规作图来完成。这个作图题就可以用尺规作图来完成。2022-7-272022-7-27本章结束本章结束