平差(教学课件)-第2章平差数学模型与最小二乘原理.ppt

1、主讲：成晓倩主讲：成晓倩 河南理工大学测绘学院河南理工大学测绘学院1.1.几何模型几何模型 在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立平立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们常面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们常把这些网称为把这些网称为几何模型几何模型。2.2.几何量几何量 每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含

2、角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为这些元素都被称为几何量几何量。3.3.函数模型函数模型 要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间的关系式称为述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型函数模型。s1s3s2ABC中，确定其形状，只需知道其中任意两个内角的大小就可以了.

3、观测三个内角中的任意两个即可,故其必要元素个数为2，必要元素有 种选择23C3323131323CCCCC(1)确定平面三角形的形状(2)确定平面三角形的形状与大小6个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。(3)确定平面三角形的形状与大小以及它在一个特定坐标系中的位置和方向外部配置元素的改变相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响三角形的内部形状和大小。必须知道6个不同的元素，至少要包含一个点的坐标和一条边的坐标方位角，这是确定位置和方向不可缺少的元素，通常称其为s1s3s2,AAxy,BBxy,CC

4、xyABBCACABC4.4.必要观测个数必要观测个数能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为；必要观测元素的个数用；必要观测元素的个数用t t表示，称为表示，称为不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。必要观测个数型，否则就无法唯一地确定模型。必要观测个数t t只与几只与几何模型有关，与实际观测量无关。何模型有关，与实际观测量无关。一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何函数关一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何函数关系的，即其中的任何一个必要观测元素

5、不可能表达为其系的，即其中的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此不存在函数关系的量余必要观测元素的函数。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量，简称称为函数独立量，简称。假设对模型中的几何量总共观测假设对模型中的几何量总共观测n n个：个：5.5.多余观测个数多余观测个数ntntnt，发现粗差，发现粗差&提高精度提高精度观测数观测数必要观测数必要观测数多余观测数多余观测数r=n-t自由度自由度 一个几何模型通过一个几何模型通过t t个必要而独立的量可唯一确定下来，个必要而独立的量可唯一确定下来，则其他的量都可以由这则其他的量都可以由这t t个量来确定，即模型中任何

6、一个其个量来确定，即模型中任何一个其他的量都是这他的量都是这t t个独立量的函数，都与这个独立量的函数，都与这t t个量之间存在一个量之间存在一定的函数关系式。定的函数关系式。当模型中有当模型中有r r个多余观测量时，则存在着个多余观测量时，则存在着r r个函数关系个函数关系式。这种函数关系式，在测量平差中称为式。这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。条件方程。6.6.条件方程条件方程0180321LLL0sinsin2211LSLS6.6.条件方程条件方程1L2L3LS1S2n=5n=5；t=3t=3；r=2r=2每增加一个多余观测，相应增加一个条件方程；每增加一个多余观测，相应增加一个

7、条件方程；有多少个多余观测，就有多少个有多少个多余观测，就有多少个。0180321LLLiiiVLL求改正数求改正数V消除矛盾消除矛盾产生矛盾产生矛盾多余观测多余观测平差平差V称为观测值称为观测值的改正数的改正数观测值估值观测值估值（平差值）（平差值）建立函数模型建立函数模型7.7.平差的概念平差的概念 知识补充：函数向量关于向量的求导规则知识补充：函数向量关于向量的求导规则 0180321LLL)180(321LLLW0321W LL0321W解不唯一解不唯一解唯一解唯一minPT最小二乘准则最小二乘准则minPVVT应用最小二乘准则，不需知道观测向量概率分布，应用最小二乘准则，不需知道观测

8、向量概率分布，只需知道其先验权阵只需知道其先验权阵PminPTminPVVTmin2222211nnTvpvpvpPVVmin22221nTvvvPVV121221exp)2(1)(DDfTnmin1VDVTminPVVT观测值独立但不等精度时：观测值同精度独立时：极大似然估计：在概率分布密度函数达到极大的条件下来对真误差 进行估计：当观测向量服从正态分布时，当观测向量服从正态分布时，极大似然极大似然估计估计与与最小二乘估计最小二乘估计的结果是一致的的结果是一致的210DPminVVPVVTT02111221niTTTVVBVXdVdV0)(111nininiLXnLXVnLLnXni11由最

9、小二乘准则：设对某物理量设对某物理量 进行了进行了 次同精度独立观测，得观测值次同精度独立观测，得观测值 ，试按最小二乘准则求该量的估计值。试按最小二乘准则求该量的估计值。Xn1nLiiLXV)21(ni，1121211111nnnnnLXBLLLXVVVVX：设该量的估计值为函数模型线性模型非线性模型线性化Mathematical Model of Adjustment1.条件平差函数模型 Functional Model of Adjustment with Condition Functional Model of Indirect Observations Adjustment Fun

10、ctional Model of Adjustment with Conditions added ParametersFunctional Model of Indirect Adjustment with ConstraintsGeneral Functional Model of Adjustment观测值个数为观测值个数为n n，；必要观测个数为必要观测个数为t t；条件方程个数为条件方程个数为r=n-tr=n-t。1nL0180321LLL18011103211331ALLLLAT00 ALAAL1L2L3BC令令则条件方程为则条件方程为n=3,t=2,n=3,t=2,则则r=1r=

11、1。存在一个条件方程，存在一个条件方程，可以表示为：可以表示为：1.1.条件平差函数模型条件平差函数模型Functional Model of Adjustment with Condition令令 如图所示水准网，如图所示水准网，D D为为已知高程点，已知高程点，A A、B B、C C均均为待定点。为待定点。CABDh4h1h6h3h2h5000631532421hhhhhhhhh10010101011000101163A0LAn=6,n=6,t=3,t=3,r=n-tr=n-t=3=3；则条件方程组可写为则条件方程组可写为条件方程条件方程可以是可以是1.1.条件平差函数模型条件平差函数模型

12、Functional Model of Adjustment with Condition0)(LF11010rrnnrALA LL)(0AALW011rnnrWA令：令：则：则：上式即为上式即为条件平差条件平差的的函数模型函数模型建模方法建模方法：找出找出观测值真值之间观测值真值之间应该满足的应该满足的r个个线性无关的函数线性无关的函数关系式。关系式。1.1.条件平差函数模型条件平差函数模型Functional Model of Adjustment with ConditionMathematical Model of Adjustment1.条件平差函数模型 Functional Mod

13、el of Adjustment with Condition Functional Model of Indirect Observations Adjustment Functional Model of Adjustment with Conditions added ParametersFunctional Model of Indirect Adjustment with ConstraintsGeneral Functional Model of Adjustment 选择几何模型中选择几何模型中t t个个独立量独立量为平差参为平差参数数 ，u=t,u=t,共列出共列出r+ur+u

14、=r+t=n=r+t=n个函数个函数关系式。关系式。1tX 每一个每一个观测值的真值观测值的真值表达成所选表达成所选参数参数的的函数函数来建立函数模型。来建立函数模型。2.2.间接平差函数模型间接平差函数模型Functional Model of Indirect Observations AdjustmentAL1L2L3BC1X2X1802132211XXLXLXL令令18000,111001dB13122313dXBLn=3,n=3,t=2,t=2,r=1,r=1,则方程式可写为则方程式可写为方程个数：方程个数：r+ur+u=3=3如图：如图：u=2,u=2,2.2.间接平差函数模型间接

15、平差函数模型Functional Model of Indirect Observations AdjustmentDHXh11CABDh4h1h6h3h2h51X2X3X如图水准网：如图水准网：n=6,t=3,r=3n=6,t=3,r=3；选择选择A A、B B、C C三个待定点高程为平差参数三个待定点高程为平差参数 ，则则u=3,u=3,方程的个数为方程的个数为r+ur+u=3+3=6=3+3=6。321X、X、XDHXh32DHXh23216XXh314XXh325XXh2.2.间接平差函数模型间接平差函数模型Functional Model of Indirect Observatio

16、ns Adjustment作代换：作代换：观测值个数观测值个数：n n，必要观测个数必要观测个数：t t，多余观测个数多余观测个数：r=n-tr=n-t，独立参数个数独立参数个数：u=tu=t，则方程个数则方程个数：c=r+uc=r+u=n=n)(1XFLn111nttnndXBL LLdLl111nttnnlXB则：则：建模方法建模方法：将每一将每一个观测值的真值表个观测值的真值表达成所选参数的函达成所选参数的函数，共列出数，共列出n个这个这种函数关系式种函数关系式（观测方程）（观测方程）上式即为上式即为间接平差间接平差的的函数模型函数模型2.2.间接平差函数模型间接平差函数模型Functi

17、onal Model of Indirect Observations AdjustmentMathematical Model of Adjustment1.条件平差函数模型 Functional Model of Adjustment with Condition Functional Model of Indirect Observations Adjustment Functional Model of Adjustment with Conditions added ParametersFunctional Model of Indirect Adjustment with Cons

18、traintsGeneral Functional Model of Adjustment 如果有如果有n n个观测值个观测值 ，必要观测个数为，必要观测个数为t t，则应列出，则应列出r=n-tr=n-t个条件方程。个条件方程。1nL3.3.附有参数的条件平差函数模型附有参数的条件平差函数模型Functional Model of Adjustment with Conditions added Parameters现又增设了现又增设了u u个个独立量独立量作为未知参数，作为未知参数，且且0ut0utut个参数，其个参数，其中中包含包含t t个独立参数个独立参数，则多选的，则多选的s=u-t

19、s=u-t个参数个参数必定是必定是t t个独立参数的函数，即在个独立参数的函数，即在u u个参数之个参数之间存在着间存在着s s个函数关系式。个函数关系式。方程的总数方程的总数c=r+u=r+t+s=n+sc=r+u=r+t+s=n+s个，建立模个，建立模型时，除了列立型时，除了列立n n个观测方程个观测方程外，还要增加外，还要增加参参数之间数之间满足的满足的s s个条件方程个条件方程。4.4.附有限制条件的间接平差函数模型附有限制条件的间接平差函数模型Functional Model of Indirect Adjustment with Constraints作代换作代换:方程的一般形式为

20、：方程的一般形式为：则函数模型可写为：则函数模型可写为：)(1XFLn0)(1XS111nuunndXBL011suusWXC LLdLl111nuunnlXB011suusWXC 此为此为附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差的函数模型。的函数模型。其中其中 称为称为限制条件方程限制条件方程。0WXC线性形式为：线性形式为：4.4.附有限制条件的间接平差函数模型附有限制条件的间接平差函数模型Functional Model of Indirect Adjustment with ConstraintsMathematical Model of Adjustment1.条件平差函数模型

21、Functional Model of Adjustment with Condition Functional Model of Indirect Observations Adjustment Functional Model of Adjustment with Conditions added ParametersFunctional Model of Indirect Adjustment with ConstraintsGeneral Functional Model of Adjustment5.5.附有条件的条件平差函数模型附有条件的条件平差函数模型General Functi

22、onal Model of Adjustment基本思想：基本思想：对于一个平差问题，若增选了对于一个平差问题，若增选了u u个参数，不论个参数，不论ututut，不论参数是否独立，每增加一个参数，不论参数是否独立，每增加一个参数相应增加一个方程，故方程总数为相应增加一个方程，故方程总数为r+ur+u个。个。若若u u个参数中有个参数中有s s个不独立，即个不独立，即u u个参数中存在个参数中存在s s个个函数式，则可列立函数式，则可列立s s个限制条件方程和个限制条件方程和c=r+u-sc=r+u-s个个一般方程。一般方程。5.5.附有条件的条件平差函数模型附有条件的条件平差函数模型Gene

23、ral Functional Model of Adjustment一般形式：一般形式：1,0cF L X 10sX01110c n nc u ucA LB XA110us usC XW线性形式：线性形式：作代换作代换:LLdLl则函数模型可写为：则函数模型可写为：1110c n nc u ucAB XW110sus usC XW此为此为附有条件的条件平差函数模型附有条件的条件平差函数模型几个概念几个概念测量平差的函数模型测量平差的函数模型几何模型、几何量、函数模型、几何模型、几何量、函数模型、必要观测个数、多余观测个数、条件方程必要观测个数、多余观测个数、条件方程条件平差、间接平差、附有参数

24、的条件平差、条件平差、间接平差、附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差、附有条件条件平差附有限制条件的间接平差、附有条件条件平差1 1、按条件平差法；、按条件平差法；2 2、若选、若选P1P1、P2 P2 点高程为未知参数点高程为未知参数 、时；时；3 3、若选、若选P1P1点高程为未知参数点高程为未知参数 时；时；4 4、若选、若选h h1 1、h h2 2、h h3 3的真值为未知参数的真值为未知参数 时；时；5 5、若选、若选h h2 2、h h3 3的真值为未知参数的真值为未知参数 、时；时；图中，图中，A A、B B为已知水准点，为已知水准点，P P1 1、P P2 2为待定点，

25、观测了四段高差。为待定点，观测了四段高差。试按下面不同情况，分别列出试按下面不同情况，分别列出相应的平差函数模型：相应的平差函数模型：ABP1P2h1h2h3h41X2XX321X、X、X1X2XABP1P2h1h2h3h41 1、按条件平差法应列出、按条件平差法应列出r(r=2)r(r=2)个条件方程个条件方程 解：本题解：本题n=4,t=2,n=4,t=2,则则r=n-tr=n-t=2=211010rrnnrALA0042132BAHhhhHhh00101101104321BAHHhhhh2 2、若选、若选P1P1、P2 P2 点高程为未知参数点高程为未知参数 、时时,此时参数个此时参数个

26、数数u=t=2u=t=2，且不相关，且不相关，属于，属于间接平差间接平差，函数模型为，函数模型为:ABP1P2h1h2h3h41X2X1X2X111nttnndXBLBAHXhXXhXXhHXh2421321211BAHHXXhhhh0010111101214321ABP1P2h1h2h3h43 3、若选、若选P1P1点高程为未知参数点高程为未知参数 时时,u=1tu=1tu=3t,且且包含包含t(tt(t=2)=2)个独立参数个独立参数，属于，属于附有限制条附有限制条件的间接平差件的间接平差。方程总数为。方程总数为r+u=n+sr+u=n+s=5=5ABP1P2h1h2h3h4321X、X、

27、XBAHXXHhXhXhXh214332211032 XX1X2X3X111nuunndXBL011suusWXCBAHHXXhhhh00101111012143210000110321XXXABP1P2h1h2h3h41X2X1110c n nc u ucAB XW110sus usC XW5 5、若选、若选h2h2、h3h3的真值为未知参数的真值为未知参数 、时，时，u=t=2u=t=2但但相关相关，属于，属于附有条件的条件平差附有条件的条件平差。方程总数为。方程总数为r+ur+u=4=41X2X032hh1410ABhhXHH021 XX1420ABhhXHH032hh210hX021

28、XX1420ABhhXHH不同平差函数模型对比表不同平差函数模型对比表平差模型平差模型参数个数参数个数方程方程个数个数 函数模型函数模型条件平差条件平差间接平差间接平差附有参数的附有参数的条件平差条件平差附有限制条件附有限制条件的间接平差的间接平差11010rrnnrALA111nttnndXBL01011cuucnncAXBLA111nuunndXBL011suusWXCu=0u=t 且独立0ut,含t个独立rnc=r+uc=n+sD：L的协方差阵；的协方差阵；Q：L的协因数阵；的协因数阵；P：L的权阵；的权阵；：单位权方差；单位权方差；nnnnnnPQD1202020数学模型数学模型函数模

29、型函数模型随机模型随机模型现取现取 的近似值的近似值X0X LLxXX0),(111uncXLFF 不同的平差问题，所列出的函数模型有的是线不同的平差问题，所列出的函数模型有的是线性的，有的则是非线性的。在进行平差时，必须性的，有的则是非线性的。在进行平差时，必须利用泰勒级数将非线性方程线性化，转化为线性利用泰勒级数将非线性方程线性化，转化为线性方程。方程。一般形式一般形式:0()FF LXx，现取现取 的近似值的近似值LL线性化的一般方法线性化的一般方法 xXFLFXLFxXLFFXLXL()(0000，），00,212221212111,XLncccnnXLncLFLFLFLFLFLFLF

30、LFLFLFA00,212221212111,XLucccuuXLucxFXFXFXFXFXFXFXFXFXFBxBAXLFF),(0泰勒公式展开泰勒公式展开),(111uncXLFFxBAXLFF),(00)(LFF0)(ALF)(LFW0WA五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式 1.1.条件平差条件平差0),(1XLFFc0),(0 xBAXLFF),(0XLFW0111cuucnncWxBA2.2.附有参数的条件平差附有参数的条件平差),(111uncXLFFxBAXLFF),(0五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式 3.3.间接平差法间接平差法)(1XF

31、LnxBXFL)(0)(0XFLl111nttnnlxB),(111uncXLFFxBAXLFF),(0五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式 4.4.附有条件的间接平差附有条件的间接平差)(1XFLn0)(1XSxXXXX)()(00)(0XWX111nttnnlxB011suusWxC00212221212111XusssuuXxXXXXXXXXXC),(111uncXLFFxBAXLFF),(0五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式 5.5.附有条件的条件平差附有条件的条件平差0),(1XLFc0)(1XS0111cuucnncWxBA011suusWxC),(111uncXLFFxBAXLFF),(0五种平差模型线性化后的形式五种平差模型线性化后的形式 函数模型的线性化函数模型的线性化几个概念几个概念测量平差的数学模型测量平差的数学模型几何模型、几何量、函数模型、几何模型、几何量、函数模型、必要观测个数、多余观测个数、条件方程必要观测个数、多余观测个数、条件方程函数模型：函数模型：nnnnnnPQD12020泰勒级数展开泰勒级数展开条件平差、间接平差、附有参数的条件平差、条件平差、间接平差、附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差、附有条件条件平差附有限制条件的间接平差、附有条件条件平差随机模型：随机模型：