第二章人身保险的数理基础-课件.ppt

1、人 身 保 险第二章人身保险的数理基础第二章人身保险的数理基础l2.1寿险精算概论l2.2利息理论l2.3生命表和生命函数l2.4生存年金l2.5人寿保险保费的确定l2.6健康和人身意外伤害保险保费的确定l2.1.1寿险精算的概念寿险精算的概念l2.1.2寿险精算的起源寿险精算的起源l2.1.3寿险精算的内容寿险精算的内容l2.1.4寿险精算的意义寿险精算的意义l2.1.5寿险精算的基础寿险精算的基础2.1寿险精算概论寿险精算概论2.1.1寿险精算的概念寿险精算的概念l保险精算的概念保险精算的概念l保险精算保险精算就是运用数学、统计学、金融就是运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知

2、识和原学、保险学及人口学等学科的知识和原理理,对保险业经营管理中的各个环节进行对保险业经营管理中的各个环节进行数量分析数量分析,为保险业提高管理水平、制定为保险业提高管理水平、制定策略和做出决策提供科学依据和工具的策略和做出决策提供科学依据和工具的一门学科一门学科l保险精算：保险精算：寿险精算寿险精算和和非寿险精算非寿险精算一个案例一个案例2000年初成立了年初成立了XYZ人寿保险公司，注人寿保险公司，注册资本为册资本为20亿元。假设该公司出售一种亿元。假设该公司出售一种两全保单两全保单“一生如意一生如意”，该保单是这样，该保单是这样设计的：设计的：保险金额为保险金额为10万元，当被保险人在万

3、元，当被保险人在60岁岁前死亡时或活到前死亡时或活到60岁时支付。岁时支付。问题问题l问题一：该保单应该如何定价？l问题二：在资产负债表上，如何确定该保单相应的负债？l问题三：被保险人如果退保，该返还其多少？l问题四：如果该产品是分红保单，如何确定红利的分配原则？l问题五:如何对该保单的利润进行敏感性分析？l问题六：保费收入如何投资以及如何进行资产负债管理？l问题七：怎样才能确保该公司的偿付能力？l问题八:如何确定该公司的价值？寿险精算的概念寿险精算的概念l概念:是在对人身保险事故出险率及出险率的变动规律加以研究的基础上,考虑资金投资回报率及其变动,根据保险种类.保险金额.保险期限.保险金给付

4、方式.保险费缴纳方式及保险人对经营费用等的估计等,对投保人需缴纳的保险费水平.保险人有不同时期必须准备的责任准备金以及人身保险的其他方面等进行的科学精确的计算.l1693年，英国天文学家、数学家爱德华.哈雷根据德国布雷斯劳市居民的死亡资料，编制了世界上第一个完整的死亡表，有科学的方法精确地计算出各年龄段人口的死亡率。l18世纪，托马斯.辛普森根据哈雷的死亡表构造了依据死亡率变化而变化的保险费率表。后来，詹姆斯多德森又根据年龄的差异确定了更为精确的保险费率表。l1724年，法国数学家亚伯拉罕.德.莫伊维提出了死亡法则。寿险精算的起源寿险精算的内容寿险精算的内容l人身保险按投保人数的不同，可分为l

5、一元生命人身保险l复合生命人身保险l随机事件与概率l大数定律及其在保险中的应用2.1.5寿险精算的基础寿险精算的基础寿险精算的基础寿险精算的基础l随机事件与概率l随机试验符合符合以下特征的事件:1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确实验的可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.l概率:表示随机事件的可能性的大小,概率在就表示某种事件出现的可能性就大.0P(A)1寿险精算的基础寿险精算的基础l大数定律及其在保险中的应用l大数定律应用于保险时得出的最有意义的结论是:当保险标的的数量足够大时,通过以往统计数据计算出的估计损失概精算师的职业排名

6、精算师的职业排名 The Best and Worst Jobs(2008)The BestThe Worst1.Mathematician 200.Lumberjack2.Actuary 199.Dairy Farmer3.Statistician 198.Taxi Driver4.Biologist 197.Seaman5.Software Engineer 196.EMT6.Computer Systems Analyst 195.Roofer 7.Historian 194.Garbage Collector8.Sociologist 193.Welder9.Industrial De

7、signer 192.Roustabout10.Accountant 191.Ironworker11.Economist 190.Construction Worker12.Philosopher 189.Mail Carrier13.Physicist 188.Sheet Metal Worker14.Parole Officer 187.Auto Mechanic15.Meteorologist 186.Butcher16.Medical Laboratory Technician 185.Nuclear Decontamination Tech17.Paralegal Assistan

8、t 184.Nurse(LN)18.Computer Programmer 183.Painter19.Motion Picture Editor 182.Child Care Worker20.Astronomer 181.Firefighter什么是精算学和精算师什么是精算学和精算师?l精算学是指综合运用数学、统计学和金融理论研究经济市场，特别是其中涉及保险、养老金计划中的随机现象的一门学科;l精算师就是指那些运用精算学知识分析研究经济风险的专职从业人员。l精算师的工作范围除了保险公司外，还遍及咨询机构、政府机构、大型企业的员工福利计划部门、医院、银行和投资公司等所有需要研究经济风险的部门

9、。保险精算的发展和现状保险精算的发展和现状 l精算职业范围的发展l精算职业团体的发展l精算学作为一门学科的发展专门职业和精算师专门职业和精算师l它的基本目的是为公众及公众利益提供服务；l它为成员个人提供支持，并提高成员集体的社会地位；l它是一个学习性的社团，鼓励研究，促进成员之间的交流；l它的成员具有专业技能；l对那些在专业技能考试中达到必需标准的成员，它经常以签名证书的形式给予资格证明；l它通过提供后续职业教育，帮助并要求成员保持职业技能；l它建立了成员所必须遵循的行为规范和实践标准；l它拥有惩戒程序以保证成员遵守行为规范和维护职业标准。精算职业的目标精算职业的目标l正确和实用的理论；l高尚

10、的道德标准和服务客户、雇主或其他公共利益的意愿；l精算师在为公共利益提供服务中的角色，比如保险公司的指定精算师；l组织形成具有凝聚力的自我管理团体；l愿意为解决公众和社会服务的争论作出贡献；l保持资质标准，提高职业声誉。保险精算的发展和现状保险精算的发展和现状l从传统产品到非传统产品l从寿险到非寿险、养老金、财务和投资l从保险公司到咨询机构、政府部门l从各个国家独立的精算制度到国际统一的精算标准精算在我国的发展精算在我国的发展 l精算职业团体在我国的发展l精算教育在我国的发展l精算师资格考试 如何才能成为合格的精算师如何才能成为合格的精算师 l第一种以欧洲大部分国家和拉美国家为代表，一般只要在

11、大学取得相应的学位后，在实务领域有一定工作经验后即可由精算职业组织认可其为精算师；l第二种以北美和英联邦国家为代表，主要凭参加精算职业组织举行的职业资格考试来认可精算师资格。l我们国家的精算考试体系属于上述第二种精算师资格认可体系，也就是说，考生必须通过专门的精算职业资格考试才能获得中国精算师资格。精算师应该具有的三项基本素质精算师应该具有的三项基本素质 l职业道德职业道德：其基本原则有：精算师应该为公众利益服务；精算师有责任保护客户的隐私；精算师在明确自己有足够的知识和经验后才能提供精算建议；公司、客户和精算师本人的利益有冲突时，精算师应当向客户说明；精算师如果违背了职业道德的要求，将受到精

12、算职业组织的惩罚。l专业素质专业素质：精算师的专业素质主要表现为量化分析金融市场特别是保险市场中的随机现象的能力。也是保险公司参与市场竞争最重要的比较优势之一。l沟通能力沟通能力：精算师不仅要懂得如何利用精算知识发现和解决问题，也必须懂得如何向包括政府监管部门、公司管理层和股东、投保人和其他相关公众交流自己的研究结果。保险精算的主要内容保险精算的主要内容 l寿险精算寿险精算l利息理论利息理论l生命表理论生命表理论l寿险精算数学寿险精算数学l非寿险精算非寿险精算l非寿险精算数学非寿险精算数学l养老金精算和其它精算理论养老金精算和其它精算理论l投资和财务理论投资和财务理论l2.2.1利息概述及度量

13、利息概述及度量l2.2.2利息力利息力l2.2.3利率、贴现率及息力之间的关系利率、贴现率及息力之间的关系l2.2.4现金流的现值与终值的计算现金流的现值与终值的计算l2.2.5确定年金确定年金2.2利息理论利息理论l是借贷关系中借款人为取得资金的使用权而支付给是借贷关系中借款人为取得资金的使用权而支付给贷款人的报酬。贷款人的报酬。l从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值。间的投资后产生的价值增值。l利息补偿了贷款者因为让度资金的使用权而可能遭利息补偿了贷款者因为让度资金的使用权而可能遭受的损失受的损失l理论上，利息可以

14、是任何有价值的东西，未必一定理论上，利息可以是任何有价值的东西，未必一定是资本或货币是资本或货币l实际中，利息多用货币资本表示实际中，利息多用货币资本表示利息的基本概念利息的基本概念利息利息=得到的得到的-付出的付出的基本概念：基本概念：n本金本金：每项业务开始时投资的金额称为本金；：每项业务开始时投资的金额称为本金；n终值终值：业务开始一定时期后回收到的总金额称为：业务开始一定时期后回收到的总金额称为该时刻的积累值（或该时刻的积累值（或积累值积累值）；）；n利息利息=终值终值-本金（或本金（或积累值积累值-本金本金）；）；暂时假定，在投资期间不再加入或抽回本金，以暂时假定，在投资期间不再加入

15、或抽回本金，以后将放松这一假设。后将放松这一假设。时间单位时间单位-“度量期度量期”或或“期期”。除非特别声明，。除非特别声明，一个度量期就是一年。一个度量期就是一年。2.2.1利息概述及度量利息概述及度量利息的度量利息的度量终值函数终值函数1终值函数终值函数2第第N期利息期利息()I n)(ta)(tA单位货币的终值函数，期初投资的单位货币的终值函数，期初投资的1元本金在时刻元本金在时刻t时所得到的总价，时所得到的总价，是度量利息和利率最基本的工具。是度量利息和利率最基本的工具。K个货币单位的终值函数个货币单位的终值函数n终值函数终值函数a(t)A(t)=A(0)+I(t)a(t)=A(t)

16、/A(0)A(t)=Ka(t)A(0)=K)1()()(nAnAnIa(t),有时也称为有时也称为t期积累因子期积累因子，累积累积函数函数简称简称a(1)为为积累因子积累因子。终值函数金额函数贴现函数第N期利息)(ta)(tA)(1ta1-K-1)(1ta)(ta)(tA0t)1()()(nAnAnI()I n=n终值函数终值函数a(t)A(t)=A(0)+I(t)a(t)=A(t)/A(0)A(t)=Ka(t)A(0)=K1)0(a初始值，本金初始值，本金)()(,)(2121tatattta有是增涵数，即若连续结转利息，则累积涵数为连续涵数；若连续结转利息，则累积涵数为连续涵数；否则为非连

17、续涵数否则为非连续涵数累积涵数必然通过（累积涵数必然通过（0，1）和（）和（1，1+i）两）两点点 四种常见终值函数的图形四种常见终值函数的图形10.811.2012ta(t)1-5-3-1135791113147101316192225ta(t)图(1-1A)图(1-1B)a(t)0.811.21.41.61.82123t1 a(t)0.60.811.21.41234t1 图(1-1C)图(1-1D)贴现函数贴现函数a-1(t)：也叫为：也叫为t期贴现因子期贴现因子。a-1(1)简简称为称为贴现因子贴现因子，并简记为，并简记为v;为了在为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额期末

18、得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）称为该积累值的现值（或折现值）1()1att显然，是在 期末支付 单位终值的现值现值函数现值函数一个货币单位的终值在期初的价一个货币单位的终值在期初的价值，也称贴现函数值，也称贴现函数)(1tan现值函数现值函数a-1(t)A-1(t)=K.a-1(t)终值函数金额函数贴现函数第N期利息)(ta)(tA)(1ta1-K-1)(1ta)(ta)(tA0t)1()()(nAnAnI()I n=例题例题2.1：假设终值函数：假设终值函数如果期初的如果期初的100元在第三年末可以累元在第三年末可以累积到积到172元，试计算在第五年末

19、可以元，试计算在第五年末可以累积到多少元累积到多少元?batta2)(例题：例题：1、)(300)1508.0(100)5(108.0)(08.0172)9(100172)3(100)3(110)0()(222元AttaabaaAbbaabatta例题例题2.2如果如果A（t）=t2+2t+3，试确定对应的终值函数，试确定对应的终值函数a(t)，并验证并验证a(t)是否满足三个基本性质是否满足三个基本性质iatattttatttataktAkA12312131)1(11302031)0(03231)(32)(3)()(333020022222时，当时，当）（为增函数时当)()()(0)2)()

20、(2)()(2)()(,2121212121212122212121tatatatttttttttttttttatatt2.2.1利息概述及度量利息概述及度量l2.利息的定义利息的定义:l资本借入者因使用资本而支付给资本所有者的一资本借入者因使用资本而支付给资本所有者的一种报酬，即使用资本的代价。种报酬，即使用资本的代价。影响利息大小的三要素影响利息大小的三要素n本金本金n利率利率n时期长度时期长度利率=利息/本金利率的本质利率的本质：反映资金增长速度：反映资金增长速度l3.利息计算的方法l3.利息计算的方法l线形积累l单利l指数积累l复利()11(1)na titiiniiiitant)1(

21、)(l实际利率：实际利率：是指在某一时期开始时，投资一单位是指在某一时期开始时，投资一单位本金时，在此时期内应获之利息。实际利率是在本金时，在此时期内应获之利息。实际利率是在期末支付且整个时期内只支付一次利息。用期末支付且整个时期内只支付一次利息。用i表示表示1)1()1()(nnnAInAnAnAi实际利率l3.利息计算的方法例例2.3 l某人以某人以1万元本金进行万元本金进行5年投资，前年投资，前2年的利率年的利率为为5，后，后3年的利率为年的利率为6，分别以单利和复，分别以单利和复利计算利计算5年后的累计积累值。年后的累计积累值。答案答案 23(5)10000(1 2 5%3 6%)12

22、800(5)10000(1 5%(1 6%)13130AA 单利复利)单利（单利（simple interest）一、含义：1、每期只对本金计算利率 2、每期的利息为常数 3、利息总量与时期数线性正相关二、单利的累积涵数：单利具有线性累积涵数)0(,1)(,tittaitt为利率为任意值为度量时期设tiPItiiitittitatataitisatastasitiisttt、的实际利率时刻开始的一个时期内为时点、设、4)1(111)1(1)()()1(31)()()(2)(1例题例题2.4 如果如果 ，试计算，试计算i50425.020.105.0405.0105.045.0.01405.01

23、505.01)4()4()5(05.01)()05.01(100)()(5aaaittattaAtAttA5100)(复利（复利（compound interest）一、复利的含义：一、复利的含义：1、每期都对本金和上期的利息计算利息、每期都对本金和上期的利息计算利息2、每期的利息是变数、每期的利息是变数二、复利的累积涵数二、复利的累积涵数0,)1()(titatititititititiiiitatataistsatastattttttt11,11111113111)1()1()(20,0),()()(111时当时，当时，、当、例题例题2.51.01.0,)1.01()()1.01(100)

24、()(.,)1.1(100)(105105iiiitataAtAiitAttt确定如果单利与复利的区别单利与复利的区别相同点：相同点：1、单利和复利投资的本金在整个投资期间不变、单利和复利投资的本金在整个投资期间不变2、原始投资利率在整个投资期间不变。、原始投资利率在整个投资期间不变。区别：区别：1、单利的实际利率是时间的减涵数，复利的实际利率是一常单利的实际利率是时间的减涵数，复利的实际利率是一常数数2、在时刻、在时刻0和时刻和时刻1时，单利和复利的累积值相等，该期间内时，单利和复利的累积值相等，该期间内产生的利息相等产生的利息相等3、单利在相等的期间内有相等的利息额，复利在相等的期间、单利

25、在相等的期间内有相等的利息额，复利在相等的期间内有相等的利息增长率内有相等的利息增长率4、单利考虑绝对增量的变化，复利考虑相对增量的变化、单利考虑绝对增量的变化，复利考虑相对增量的变化5、复利几乎用于所有的金融业务，单利只用于短期计算或复复利几乎用于所有的金融业务，单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算利的不足期近似计算单复利计息之间的相关关系单复利计息之间的相关关系l单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。恒定。l 时，相同单复利场合，单利计息比复利计时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息产生更大的

26、积累值。所以短期业务一般单利计息。息。l 时，相同单复利场合，复利计息比单利计时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。息。1t1t单单/复利场合积累函数示图复利场合积累函数示图a12345t0123单利与复利的比较单利与复利的比较l例、以年利率5%为例，比较单利和复利计算方法的异同效果。解：1）单利情况下，每年的实际利率水平 3,2,1,)1%(51%5)1(1nnniiinn123456in5%4.76%4.55%4.35%4.17%4%6年内，实际利率水平降低了一个百分点年内，实际利率水平降低了一个百分点2

27、）复利的实际利率等于复利率3）复利累计值超过单利累计值3%的时刻n123456单利1.051.101.151.21.251.3复利1.051.10251.15761.21551.27631.3401复利超过单利的%00.2270.6631.292.13.1可见，经过可见，经过6年的时间，复利方式比相同单利方式的累年的时间，复利方式比相同单利方式的累积值超过了积值超过了3%2.2.1利息概述及度量利息概述及度量l4.利息的度量l实际利率实际利率:il名义利率名义利率:i(m)l名义利率和实际利率的相互转化名义利率和实际利率的相互转化li=1+i(m)/mm-1l名义贴现率和实际贴现率名义贴现率和

28、实际贴现率lD=1-1-d(m)/mm利息转换频率不同利息转换频率不同l实质利率实质利率 ：以一年为一个利息转换期，该利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率记为实质利率l名义利率名义利率 ：在一年里有：在一年里有m个利息转换期，假如个利息转换期，假如每一期的利率为每一期的利率为j，有，有 。l利息力利息力 ：假如连续计息，那么在任意时刻：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬的瞬间利率叫作利息力。间利率叫作利息力。l实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。利率类似。)(miit()mimj名义利率与实际利率转化名义利率与实际利率转

29、化l 名义利率1i1i141)4(i2)4(41i3)4(41i4)4(41i)(miimimm11)(实际利率与名义利率关系实际利率与名义利率关系名义利率名义利率：（1）一个度量周期内结转）一个度量周期内结转m次利息的利率次利息的利率（2）度量的是资本在一个小区间）度量的是资本在一个小区间 内的实际利率内的实际利率（3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相联系）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相联系 名义利率与实际利率的关系名义利率与实际利率的关系：11111)()()(mmmmmimimiiimi为：则年实际利率次利息的年名义利率，表示一年结转设在年名义利率一定的条件下，在年

30、名义利率一定的条件下，m越大，年实越大，年实际利率越大际利率越大m1名义贴现率名义贴现率l 名义贴现率1d1d141)4(d2)4(41d3)4(41d4)4(41d)(mddmdmm11)(名义贴现率名义贴现率名义贴现率：（1）一个度量周期内收取n次贴现值的贴现率（2）度量的是一个小区间 内的实际贴现率名义贴现率与实际贴现率的关系：nnnnnnvndndndddnd11)()()(111111年名义贴现率为：为：则年实际贴现率时期收取一次贴现值，表示年名义贴现率，每设n1贴现函数与实际贴现率贴现函数与实际贴现率l贴现函数：贴现是累积的逆运算，是计算现在值，贴贴现函数：贴现是累积的逆运算，是计

31、算现在值，贴现函数是累积函数的倒数，贴现与累积是两种互相对现函数是累积函数的倒数，贴现与累积是两种互相对称的计算货币时间价值的方法。称的计算货币时间价值的方法。l时刻时刻t的一个单位货币在时刻的一个单位货币在时刻0的价值称为贴现函数的价值称为贴现函数（discount function）itta11)(111111,11)(iivvitatt贴现函数与实际贴现率贴现函数与实际贴现率l实际贴现率：实际贴现率：一个计息期内的利息收入与期末货币一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值。其中的利息是在期末实现的。量的比值。其中的利息是在期末实现的。iiiiitatatatAtAtAtAtIdtttt1

32、111)()1()()()1()()()(1注意：注意：1、di 2、对于同样一笔业务，利息值与贴现值相等、对于同样一笔业务，利息值与贴现值相等 3、利息在期末支付，贴现在期初收取、利息在期末支付，贴现在期初收取 4、利率说明了资本在期末获得利息的能力，、利率说明了资本在期末获得利息的能力，贴现率说明了资本在期初获得利息的能力贴现率说明了资本在期初获得利息的能力单利的实际贴现率单利的实际贴现率单利的实际贴现率dttiitiittiatadt11)1(11a(t)1)-(t)(151%1051%1015tiid实际利率与实际贴现率的关系实际利率与实际贴现率的关系1、为贴现因子iviviid11,

33、1dvviiid111111ttdvta1)(1ttdvta1)(这两数之积两数之差d1idiididiivd这一关系的字面意义是：借贷这一关系的字面意义是：借贷1元，元，在期末还在期末还1+i，等价于期初借，等价于期初借1-d，在期末还在期末还1元。元。单贴现单贴现1、单贴现：与单利相对应，每一时刻的贴现额相等，贴现涵数为：dtdtta10,1)(1对d)1n(1dd)1n(1nd11nd)(1d)1n(1)nd1(a(n)1)-a(na(n)d1-11n复贴现复贴现复贴现：每一时刻产生的贴现值不相等，贴现函数为：0,1)(1tdvtatt对1t,dt1d-131t,dt1d-121t0,d

34、t1d-111,d0ttt如果）（如果）（如果）（有：设例题例题2.6l已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元，而等价的贴现金额为300元，求投资本金。解：设本金为p，则pi=336，pd=300 280012.0336p12.0i,12.1300336i1例例2.71、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。1、2、3、420(4)0.081500 1742.9744niP84.693206.01100021122)2(0nndAA%06

35、05.611206.014121413)4(12)12(4)4(idi例题例题如何用贴现率比较收益？现有面额为100元的债券在到期前一年的时刻价格为95元，一年期储蓄利率为5.25%，如何进行投资选择？解：从贴现的角度看，债券的贴现率为：%510095100d%988.425.5125.51iid%26.5%95%51ddi2.2.2利息力利息力l利息力利息力又简称息力,是衡量在某个确切点上利率水平的指标.用&表示 a(t)=e&t.dt a-1(t)=e-1&t.dt利息力（利息强度）利息力（利息强度）利息力：（要求累积函数必须是连续的，且可微，既是每个瞬间都可以进行利息的换算）（1）度量了

36、资本在无穷小区间上的获利能力。（2）刻画了资本在每一时刻上的获利强度。（3）是累积函数的相对变化率)()()()(tatatAtAtdstseta0)(利息力利息力l定义：瞬间时刻利率强度()()()ln()()()ln()()limlimtmmmmAtdA tA td tatda ta td tid 等价公式等价公式l一般公式l恒定利息效力场合dstseta0)(ln(1)()expia nn1ln()expvann 例例2.8l确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、%52)1(05.0tt例例2.8答案答案102000.050.05(1)1012 100010001046.

37、50tdttee、1010 0.051100010001648.72ee、利息力（利息强度）利息力（利息强度）例题3：如果 ，确定投资1000元在第1年末的累计值和第二年内的利息金额。解：,2t0,01t.0t元）（元）(2.15)ee(1000)1(A1000e)1(A)2(AI10051000e1000e1000e)1(1000a)1(A201.001.0201td.02201.00.01tdd20t10t10tt常数利息力常数利息力（1）资本在任一时点上的获利强度都相等，记为1)1ln(1)(t0stttteiiieetatdstt常数利息力常数利息力和实际利率和实际利率的关系式的关系式

38、id例题：已知年度实际利率为8%，求等价的利息强度。解：%7.708.ln1)i1(ln（元）04.808500e500e)8(A48.08单利和复利的利息力单利和复利的利息力单利的累积函数：a(t)=1+it，复利为a(t)=(1+i)titiitittatat111)()(是时间的是时间的减函数减函数iiiiiitatattttt1ln11ln111)()(与时间与时间无关无关贴现力（贴现效力）贴现力（贴现效力）（1）贴现函数的单位变化率（2）度量每一时刻上获得贴现值的能力，记为：tttata)()(11tl关系2.2.3利率、贴现率及息力之间的利率、贴现率及息力之间的关系关系名义利率与名

39、义贴现率的关系名义利率与名义贴现率的关系（相同计息期内的）（相同计息期内的）实际利率与实际贴现率之间的关系是：diidnnmmndmi)()(1111)(nnndimmmid)(11时nmndminm1)()(11mdmimdmimmmm)()()()(例题例题2.91、初始投资500元，每季度结转一次利息的年利率为8%，5年后的累积值是多少？2054)02.1(500)408.01(500)20(A12121)97.0(1000206.011000)12(A例题例题3、已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。解：%36.8i0836.1)12%81(12d1i11212)1

40、2(例题例题4、以每年计息2次的年名义贴现率为10%，在6年后支付5万元，求其现值。解：设现值为PV，则（元）（）270180.9550000%51(50000)2d1(50000)d1(50000)6(a)6(APV)6(aPV)6(A121262)2(61例题例题5、一张100元的期票在到期前3个月被人以96元买走，试确定：1）购买者所得到的按季度转换的名义贴现率2）购买者所得到的年度年度实质利率%41004d%74.17104167.01%167.496496961004年度实际利率i利率和贴现率利率和贴现率l期末计息利率l第N期实质利率l期初计息贴现率l第N期实质贴现率)1()(nAn

41、Iin)()(nAnIdn单利场合利率与贴现率的关系单利场合利率与贴现率的关系()()()(1)()1nI ndA na na na niin复利场合利率与贴现率的关系复利场合利率与贴现率的关系1()()(1)()()(1)(1)1nnnI na na ndA na niiiii复利场合利率与贴现率的关系复利场合利率与贴现率的关系初始值利息积累值11ii1d111）（idvvl某人投资1万元，如果以5的利率复利计息，那么此人利息获取的方式是怎样的，两年后一共获得多少利息？l如果该投资项目是以5的贴现率复利计息，那么此人利息获取的方式是怎样的，两年后一共获得多少利息？5%110251000011

42、02510252复 利 计 息10000(1+5%)投 资元，两 年 后 获 得元两 年 共 获 得 利 息：5%90259025100009752复贴现率计息10000(15%)期初投资元，两年后获得元两年共获得利息：l已知利息率，求a(t)l已知利息率，求a-1(t)l已知贴现率，求a(t)l已知贴现率，求a-1(t)l已知息力。求a(t)或a-1(t)2.2.4现金流的现值与终值的计算现金流的现值与终值的计算l已知利息率，求a(t).设本金为了,经过t后的终值l(1)在单利的条件下:a(t)=1+itl(2)在复利的条件下:a(t)=(1+i)tl(3)在实际利率的条件下:a(t)=(1

43、+i1)(1+i2)(1+it)l(4)在名义利率的条件下:a(t)=1+i(m)/mmtl已知利息率，求a-1(t).设时期t的终值为1l(1)在单利的条件下:a-1(t)=(1+it)-1l(2)在复利的条件下:a-1(t)=(1+i)-tl(3)在实际利率的条件下:a-1(t)=(1+i1)-1(1+i2)-1(1+it)-1l(4)在名义利率的条件下:a-1(t)=(1+i(m)/m)-mtl已知贴现率，求a(t).l(1)在单贴现率的条件下:a(t)=(1-dt)-1 (0t1/d)l(2)在复贴现率的条件下:a(t)=(1-d)-tl(3)在实际贴现率的条件下:a(t)=(1-d1

44、)-1(1-d2)-1(1-dt)-1l(4)在名义贴现率的条件下:a(t)=(1-d(m)/m)-mtl已知贴现率，求a-1(t)l(1)在单贴现率的条件下:a-1(t)=1-dtl(2)在复贴现率的条件下:a-1(t)=(1-d)tl(3)在实际贴现率的条件下:a-1(t)=(1-d1)(1-d2)(1-dt)l(4)在名义贴现率的条件下:a-1(t)=(1-d(m)/m)mt利息问题求解利息问题求解l利息问题求解四要素l原始投资本金l投资时期长度l利率及计息方式l期初/期末计息：利率/贴现率l积累方式：单利计息、复利计息l利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力l本金在投资期末的积累值

45、 利息问题求解原则利息问题求解原则l本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题l工具：现金流图l方法：建立现金流分析方程（求值方程）l原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。01t2tnt现金流时间坐标1p2pnp0pLL例例2.10：求本金：求本金l某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？答案答案l以第7年末为时间参照点，有l以第8年末为时间参照点，有l请同学们自己练习以其他时刻为时间参照点641.064 1.061.06 103.7435xx 751.064 1

46、.0610 1.063.7435xx 例例2.11：求利率：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？答案答案（1）（2）%124%35700)14000)4(43jijj（)204.2%4.2061)1()(61)1(15000)1(6000)1(30002224舍去（由舍去负根iiiiii例例2.12：求时间：求时间l假定 分别为12%、6%、2%l计算在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？)12(i答案答案(12)1212

47、%ln2(1 1%)25.812ln1.01nin时，(12)122%ln 2(10.17%)234.712 ln1.0017nin时，(12)126%ln 2(10.5%)211.612 ln1.005nin时，近似答案近似答案rule of 723602.072.0%2)1(1206.072.0%12)2(612.072.0%12)1(72.008.1ln08.02ln08.0)1ln(2ln)1ln(2ln2ln)1ln(2)1()12()6()12(niiniiniiiiiiiiininin原理：例例2.13：求积累值：求积累值 l某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5

48、年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？答案答案 8323280.0920.090.06(7)1000(1)2000(1)20001000 1.0252000 1.02520005756Ajejeeeeel年金：年金：在一定时期内在相等的时间间隔上所作的在一定时期内在相等的时间间隔上所作的一系列给付。一系列给付。l并不局限于每年给付一次，只要相等时间间隔并不局限于每年给付一次，只要相等时间间隔l每次的给付额可以是固定量，也可以是非固定每次的给付额可以是固定量，也可以是非固定量量2.2.5确定年金确定年金年金

49、年金(annuity)：间隔相等的一系列收付款或间隔相等的一系间隔相等的一系列收付款或间隔相等的一系列资金流列资金流。如，房屋的租金、抵押贷款、分期付款、利息付。如，房屋的租金、抵押贷款、分期付款、利息付款、保险费的缴纳、保险费的领取及养老金、手机和电话的款、保险费的缴纳、保险费的领取及养老金、手机和电话的月租费、公用事业费等。月租费、公用事业费等。是许多复杂现金流的基础，是利率计算的最直接的一种应用。是许多复杂现金流的基础，是利率计算的最直接的一种应用。l分类分类l基本年金基本年金（比如（比如等额年金：间隔周期相等的等等额年金：间隔周期相等的等额资金流）额资金流）l等时间间隔付款等时间间隔付

50、款l付款频率与利息转换频率一致付款频率与利息转换频率一致l每次付款金额恒定每次付款金额恒定l一般年金一般年金l不满足基本年金三个约束条件的年金即为一不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金般年金年金的种类年金的种类1、确定年金和风险年金：、确定年金和风险年金：确定年金的支付时间和支付金额事先确定确定年金的支付时间和支付金额事先确定风险年金的支付时间和支付金额不确定风险年金的支付时间和支付金额不确定2、定期年金和永续年金：、定期年金和永续年金：定期年金的支付期限是有限期间，有固定的到期日。定期年金的支付期限是有限期间，有固定的到期日。付息债券的息票付息债券的息票永续年金的支付期限是无限的，没