重庆市西南大学附属2021-2022高一上学期数学期中试卷及答案.pdf

1、 西南大学附中西南大学附中 20212022 学年度上期期中考试学年度上期期中考试 高一数学试题高一数学试题 注意事项：注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上座位号、准考证号填写在答题卡上 2答选择题时，必须使用答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整整 3考试结束后，

2、将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合|12Ax x=，B=2|x x-2x-30，则 AB=（）A.|13xx B.|23xx C.|21xx，dc B.acbd C.acbd+D.0acbd+4.函数 f(x)=1-12x的值域为（）A.|1y y B.1y C.2y D.|2y y 5.已知函数 f(x)=()2114

3、14(1)xxaxaxa x+，是 R 上的递减函数，则实数 a 的取值范围是（）.A.23a B.38a C.2a D.1a 6.已知函数 f(x)=3ax-bx+2，若 f(2)=5，则 f(-2)=（）A 1 B.1 C.3 D.3 7.某工厂要在一个正三角形 ABC 的钢板上切割一个四边形的材料 DCEF来加工，若 AB=2，DC=23，DC/EF(如图)，则四边形 DCEF 面积最大值为（）A.5 312 B.4 39 C.3 D.52 8.已知函数()21fx是偶函数，则()1f x+图像的对称轴是（）A.2x=B.1x=C.12x=D.0 x=二、多项选择题：本大题共二、多项选择

4、题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列函数是指数函数的有（）A.4yx=B.1()2xy=C.22xy=D.3xy=10.关于 x不等式2ax-10(其中 xZ，aN+)的解集中元素的个数可能有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 11.命题“对任意 x0，都有 mx+10”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.1m B.1m C.0m=D.2m 12.

5、对于定义在 D函数 f(x)若满足:对任意的 xD，f(x)+f(-x)=0;对任意的1xD，存在2x D，使得()()122f xf x+=122xx+.的 则称函数 f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”为（）A.()220110 xxf xxx=且24abcbc+=，则3bca+的最小值为_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤骤 17.计算:（1）02021+3416+21()8+431()27（2）lg15+2lg(2)+9log 43-1lg23

6、6 18.已知集合 A=x|2|x|m，B=3|x x-26x+8x0，C=2|x x-2x-15=0.（1）若 AC=A，求实数 m的最小值;（2）若AB=，求实数 m取值范围.19.冬季来临，为了预防流行性感冒，某工厂对厂区进行药物喷洒消毒，厂区空气中每立方米的药物含量y(单位:克)随时间 x(单位:小时)的变化情况如图所示，在药物的喷洒过程中，y与 x成幂函数关系;药物喷洒完毕后，y 与 x 的函数关系为 y=2.9xa+(0a0的解集.22.已知函数()1221xxf x=+.（1）判断 f(x)的单调性，并用定义法证明;（2）设函数 g(x)=f(|x|)，且存在 x-1，1，使得3

7、(4(1)2)5xxgaa+成立，求实数 a 的取值范围.西南大学附中西南大学附中 20212022 学年度上期期中考试学年度上期期中考试 高一数学试题高一数学试题 注意事项：注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上座位号、准考证号填写在答题卡上 2答选择题时，必须使用答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超

8、出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整整 3考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合|12Ax x=，B=2|x x-2x-30，则 AB=（）A.|13xx B.|23xx C.|21xx D.【答案】A【解析】【分析】先解出集合 A 和 B,再求AB.【详解】因为|12|13Ax xxx=，2|230|13Bx

9、 xxxx=，所以|13ABxx=，dc B.acbd C.acbd+D.0acbd+【答案】C【解析】【分析】取0dc，可判断 A 选项；利用特殊值法可判断 BD 选项；利用不等式的基本性质可判断 C选项.【详解】对于 A选项，若0dc，A 错；对于 B选项，取3a=，2b=，2c=，3d=，则acbd=，B错；对于 C选项，因为0ab，dc+，C 对；对于 D选项，取3a=，2b=，2c=，3d=，则0acbd+，D错.故选：C.4.函数 f(x)=1-12x的值域为（）A.|1y y B.1y C.2y D.|2y y 【答案】A【解析】【分析】利用反比例型函数值域求法求解.【详解】解：

10、函数 f(x)=1-12x的定义域为|2x x，所以102x，则1y，所以函数 f(x)=1-12x值域为|1y y，故选：A 的 5.已知函数 f(x)=()211414(1)xxaxaxa x+，是 R 上的递减函数，则实数 a 的取值范围是（）A.23a B.38a C.2a D.1a 【答案】C【解析】【分析】利用分段函数的单调性列不等式组求出 a的范围.【详解】因为1yx=在(,1 上单调递减，且最小值为-1.所以要使函数 f(x)=()211414(1)xxaxaxa x+，是 R上的递减函数，只需04141aaaa+，解得：2a .故选：C 6.已知函数 f(x)=3ax-bx+

11、2，若 f(2)=5，则 f(-2)=（）A.1 B.1 C.3 D.3【答案】A【解析】【分析】由()25f=得到823ab=，进而求出()()28221fab=+=.【详解】由()28225fab=+=得：823ab=，所以()()2822822321fabab=+=+=+=故选：A 7.某工厂要在一个正三角形 ABC 的钢板上切割一个四边形的材料 DCEF来加工，若 AB=2，DC=23，DC/EF(如图)，则四边形 DCEF 面积最大值为（）A.5 312 B.4 39 C.3 D.52【答案】B【解析】【分析】作出高线，设 EF=x，表达出高，四边形 DCEF 面积，配方求出最大值.

12、【详解】过点 F作 FGBC于点 G，因为 DC/EF，所以AEF 是等边三角形，设 EF=x，()02x，则 AF=x，BF=2-x，所以()33222FGBFx=，所以四边形 DCEF 面积为()()2232324 33222439xxCDEFFGSx+=+,故当23x=时，S取得最大值，最大值为4 39.故选：B 8.已知函数()21fx是偶函数，则()1f x+图像的对称轴是（）A.2x=B.1x=C.12x=D.0 x=【答案】A【解析】【分析】函数()f x的图象关于直线xa=对称的充要条件是()()2f xfax=，利用此充要条件逐一判断即可.【详解】对于 A 因为()21fx为

13、偶函数 所以()()2121fxfx=即()()()22121fxfx=即()()2fxxf=即()f x的图象关于直线1x=对称 而()1f x+的图象是由()f x的图象向左平移1个单位得到的 所以()f x的图象关于直线2x=对称 所以 A正确 对于 B 构造函数()212fxx=则()1f xx=+所以()12f xx+=+，显然其图象不关于1x=对称 故 B 错误 对于 C 构造函数()212fxx=则()1f xx=+所以()12f xx+=+，显然其图象不关于12x=对称 所以 C错误 对于 D 构造函数()212fxx=则()1f xx=+所以()12f xx+=+，显然其图象

14、不关于0 x=对称 所以 D错误 故选：A 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列函数是指数函数的有（）A.4yx=B.1()2xy=C.22xy=D.3xy=【答案】BC【解析】【分析】根据指数函数的定义逐一判断即可.【详解】解：对于 A，函数4yx=不是指数函数，对于 B，函数1()2xy=是指数函数；对于 C，函数224

15、xxy=是指数函数；对于 D，函数3xy=不是指数函数.故选：BC.10.关于 x 的不等式2ax-10(其中 xZ，aN+)的解集中元素的个数可能有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个【答案】AC【解析】【分析】在限定条件下讨论a的取值情况，从而判断解集中 x的个数【详解】由题21xa(其中 xZ，aN+)，当1a=时，21x，解得1,0,1x=，即解集中有 3 个元素；当2a 时，1102a0，都有 mx+10”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.1m B.1m C.0m=D.2m 【答案】BCD【解析】【分析】对任意 x0，都有 mx+10，即1mx，求得m的范围，即可得解.【

16、详解】解：因为对任意 x0，都有 mx+10，所以1mx，又0 x，所以10 x，所以0m.故选：BCD.12.对于定义在 D函数 f(x)若满足:对任意的 xD，f(x)+f(-x)=0;对任意的1xD，存在2x D，使得()()122f xf x+=122xx+.则称函数 f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（）A.()220110 xxf xxx=，B.()1f xx=C.()f xx=D.()11xf xx=+【答案】ABC【解析】【分析】对于四个选项中的函数，分别验证是否满足题干中的两个条件，特别是条件，A选项，对任意的()11,0 x ，存在()2101,1xx

17、=+满足要求；B选项，对任意的()10,1x，则存在()2111,0 xx=满足要求；C选项，对任意的1xR，存在2xR满足要求.【详解】A选项，()22,01,10 xxf xxx=，若()0,1x，则()1,0 x ，则()()()220f xfxxx+=，同理()1,0 x，则()0,1x，则()()()220f xfxxx+=+=，对任意的()11,0 x ，存在()2101,1xx=+，使得()()()()2212212112212222f xf xxxxxxxxx+=，对任意的()10,1x，则存在()2111,0 xx=，使得()()()()2212211212212222f x

18、f xxxxxxxxx+=，综上：()22,01,10 xxf xxx=，32yt=在定义域内单调递增，()f x在在3,)+单调递增，故答案为：)3,+16.已知,0a b c 且24abcbc+=，则3bca+的最小值为_.【答案】52 64+【解析】【分析】将已知等式化为24abc+=，由31324bcbcaaabc+=+得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由24abcbc+=得：24abc+=，3132161652 65254444bcbcaabcabcaabcabcabc+=+=+=（当且仅当6abcabc=，即6abc=时取等号），3bca+的最小值为52

19、64+.故答案为：52 64+.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤骤 17.计算:（1）02021+3416+21()8+431()27（2）lg15+2lg(2)+9log 43-1lg236【答案】（1）154 （2）3【解析】【分析】（1）利用指数幂运算求解；（2）利用对数的运算求解.【小问 1 详解】解：423304112021+16+827+，186481154=+=；小问 2 详解】()92log 41 lg15lg23lg362+，3log 2lg15lg

20、4?3lg6lg1023=+=+=.18 已知集合 A=x|2|x|m，B=3|x x-26x+8x0，C=2|x x-2x-15=0.（1）若 AC=A，求实数 m的最小值;（2）若AB=，求实数 m的取值范围.【答案】（1）5 （2）(,4【解析】【分析】（1）由并集结果得到3,5A，从而得到不等式组，求出 m 的取值范围，得到 m 的最小值；（2）由交集结果分A=与A 进行分类讨论，求出 m 的取值范围.【小问 1 详解】由题有3,5C=，若ACA=，则3,5A，则 可知2325mm ，解得：5m，所以m的最小值为5.【小问 2 详解】()()()()|2400,24,Bx x xx=+

21、，由AB=，则 当A=时，2m；的【.当A 时，2m，有|22Axmxxm=或，从而有24m 综上：数 m的取值范围是(,4.19.冬季来临，为了预防流行性感冒，某工厂对厂区进行药物喷洒消毒，厂区空气中每立方米的药物含量y(单位:克)随时间 x(单位:小时)的变化情况如图所示，在药物的喷洒过程中，y与 x成幂函数关系;药物喷洒完毕后，y 与 x 的函数关系为 y=2.9xa+(0a （2）至少需要经过 1 1 小时后工人才能回到厂区【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出两段函数的函数解析式，即可得出答案；（2）根据题意应该在药物喷洒完成，药物释放一定时间方可进入厂区，可得0.0001y

22、时，2.9110 xy+=.综合()()32.9,00.11,0.110 xxxyx+=；【小问 2 详解】由题，应该在药物喷洒完成，药物释放一定时间方可进入厂区，所以有2.910.000110 xy+=，20.已知 y=f(x)满足对一切 x，yR 都有 f(x+2y)=f(x)+2f(y).（1）判断 y=f(x)的奇偶性并证明;（2）若 f(1)=2，求 f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）118【解析】【分析】（1）令yx=，结合题意根据奇偶性的定义即可得出结论；（2）令()1,Zxyn n=，可得(2)2()fnf n=，再结

23、合函数的奇偶性分别求出()()()()13,3,22,53ffff即可得出答案.【小问 1 详解】解：()yf x=为奇函数，证明：令yx=，则有()()2()fxf xfx=+，所以()()fxf x=，故()yf x=为奇函数；【小问 2 详解】解：令()1,Zxyn n=，则()(12)12()22()fnff nf n+=+=+；又(0)0f=，令()0,xyn nZ=，则()(02)(2)02()2()fnfnff nf n+=+=，即(2)2()fnf n=，所以(2)2(1)4,(3)22(1)6,(5)22(2)10ffffff=+=+=，则(3)(3)6ff=，()(13)(

24、13)(126)22(6)22 2(3)26fffff=+=，()()(22)2(11)2(125)2 22(5)44ffff=+=+=，()(53)22(26)22 2(13)106fff=+=+=，所以所求式子的值为118.21.已知函数 y=f(x)的定义域为 R，且对一切 xR都有 f(x)+2f(-x)=23ax-(2a+1)x+3a恒成立.（1）求函数 y=f(x)的解析式;（2）求关于 x的不等式 f(x)0的解集.【答案】（1）()22()1f xaxaxa=+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意有()()2222()2()3132()4()6216f xfxaxax

25、afxf xaxaxa+=+=+，消去()fx，即可得出答案；（2）()()()22()110f xaxaxaaxxa=+=+，分类讨论，即可得出答案.【小问 1 详解】解：由题()()2222()2()3132()4()6216f xfxaxaxafxf xaxaxa+=+=+，消去()fx，得()22()1f xaxaxa=+；【小问 2 详解】解：由(1)有()()()22()110f xaxaxaaxxa=+=+，当0a=时，0 x；当0a 时，1)若1aa，即1a 时，解为xa；2)若1aa，即01a时，解为1xa；当0a 时，1）若1aa，即10a 时，解为1axa ；2）若1aa

26、，即1a 时，解为1xaa；综合有：当1a 时，解集为1xxaa；当10a 时，解集为1xaxa；当01a时，解集为1x xa；当1a 时，解集为x xa.22.已知函数()1221xxf x=+.（1）判断 f(x)的单调性，并用定义法证明;（2）设函数 g(x)=f(|x|)，且存在 x-1，1，使得3(4(1)2)5xxgaa+成立，求实数 a 的取值范围.【答案】（1）单调递增，证明见解析 （2）1 7,6 3【解析】【分析】（1）定义法证明函数单调性；（2）对不等式进行变形得到存在1,1x，使得14(1)21xxaa +，即11222121xxxxa+，结合第一问函数()f x的单调

27、性，求出()f x的最小值，利用对勾函数求出1221xx+的最大值，从而得到答案.【小问 1 详解】()f x单调递增，理由如下：由题可知，()f x的定义域为 R，设12xx；12121221121111()()22(22)21212121xxxxxxxxf xf x=+（）-（）（）()()12121(22)121 21xxxx+=因为2xy=单调递增，又12xx，所以12220 xx+，所以1212()()0,()()f xf xf xf x，所以()f x单调递增【小问 2 详解】53(4(1)2)5(4(1)2)(1)3xxxxgaagaag+=，即(4(1)2)(1)xxfaaf+因为()f x单调递增，所以4(1)21xxaa+所以原名题等价于存在1,1x，使得14(1)21xxaa +即4+214+212121xxxxxxa+，11222121xxxxa+因为()1=221xxf x+单调递增，所以当1,1x 时，()min1(1)6fxf=令321,32xu=+，则112=121xxuu+可证1()=1h uuu+在3,32上递增，所以max7()(3)3h uh=，故1763a，所以实数 a的取值范围是1 7,6 3.