高考数学复习专题32《利用均值和方差解决风险评估和决策型问题》教师版.docx

1、专题32 利用均值和方差解决风险评估和决策型问题一、多选题 1某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况用茎叶图记录，下列四个结论中，正确的是（ ）A甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【答案】ABC【分析】对各个选项分别加以判断：根据极差的定义结合图中的数据，可得出A正确；根据中位数的定义结合图中的数据，可得出B正确；通过计算平均数的公式结合图中的数据，可得出C正确；通过计算方差的公式，结合图中的数据，可得出D不正确由此可以得出答案【详解】首先将茎叶图的数据还

2、原：甲运动员得分：18 20 35 33 47 41乙运动员得分：17 19 19 26 27 29对于选项A，极差是数据中最大值与最小值的差，由图中的数据可得甲运动员得分的极差为，乙运动员得分的极差为，得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A正确；对于选项B，甲数据从小到大排列：18 20 33 35 41 47处于中间的数是33、35，所以甲运动员得分的中位数是34，同理求得乙数据的中位数是22.5，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；对于选项C，甲运动员的得分平均值约为，乙运动员的得分平均值为，因此甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故C正确；对

3、于选项D，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定.可以算出甲的方差为：，同理，得出乙的方差为：因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了茎叶图、极差、平均数与方差等统计中常的几个知识点，属于中档题值得注意的是数据的稳定性与数据的方差有关，方差越小的数据稳定性越好二、解答题22020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3

4、个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；（2）选择方案一，

5、计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为；（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、.，.故的分布列为，所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）.因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.【点睛】方法点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题步骤如下：（1）判断随机变量的可能取值；（2）说明随机变量取各值的意义（即表示什么事件）并求出取该值的概率；（3）

6、列表写出随机变量的分布列；（4）利用期望公式求值3某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元.方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元.额外聘请工人的成本为万元.问：（1）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；（2）该基地是否应该外聘工人？请说明理由.【答案】（1）分布列见解析；期望为万元；（2）答案不唯一，具体

7、见解析.【分析】（1）求出每种收益情况的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式进行求解即可；（2）根据题意求出基地额外聘请工人情况下的数学期望，结合（1）中数据，利用比较法分类讨论进行判断即可.【详解】（1）基地收益的可能值为2，1，0.75，因为两天每天无雨的概率都为0.8，所以两天每天有雨的概率都为，则，故的分布列为210.750.640.320.04则.（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益，当时，即时，不外聘工人；当时，即时，外聘工人；当时，即时，是否外聘工人均可以，综上可得，当额外聘请工人的成本高于0.17万元时，不外聘工人，当成本低于0.17万元时，外聘工人，当成本恰

8、为0.17万元时，是否外聘工人均可以.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列，考查了数学期望的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.4目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，我国的“新冠肺炎”疫情在今年二月份已得到控制甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下图所示的折线图：（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，分别从均值与方差的角度比较甲乙两地新增确诊人数的统计结论（不用计算数据，给出判断即可）；（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划

9、对甲地区的项目或乙地区的项目投入研发资金经过评估，对于项目，每投资十万元，一年后利润是1.38万元，1.17万元，1.16万元的概率分别为，；对于项目，产品价格在一年内需进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是，且产品价格的下调次数为0，1，2时，每投资十万元，一年后相应利润是1.4万元，1.25万元，0.6万元对项目投资十万元，一年后利润的随机变量记为，对项目投资十万元，一年后利润的随机变量记为（）求，的分布列和数学期望，；（）如果你是该企业投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由【答案】（1）甲地区比乙地区的新增人数的均值小；甲地区比乙地区的方差大；（2）（）分布列见

10、解析，；（）当时，投资项目，当时，两个项目都可以，当时，投资项目【分析】（1）甲地区比乙地区的新增人数的均值小；甲地区比乙地区的方差大；（2）（）根据数据直接列出分布列，再由期望公式计算出期望；（）比较和的大小可得结论【详解】解：（1）甲地区比乙地区的新增人数的均值小；甲地区比乙地区的方差大；（2）（）由题意得的概率分布列为：1.381.171.16所以，所以的概率分布列为：1.41.250.6所以，（）当时，得，即，解得；当时，；当时，；所以，当时，投资项目，当时，两个项目都可以，当时，投资项目【点睛】本题考查统计图表的认识，考查随机变量的概率分布列和数学期望，考查统计数据的应用，旨在考查学

11、生的数据处理能力，运算求解能力5疫情过后，为了增加超市的购买力，营销人员采取了相应的推广手段，每位顾客消费达到100元以上可以获得相应的积分，每花费100积分可以参与超市的抽奖游戏，游戏规则如下：抽奖箱中放有2张奖券，3张白券，每次任取两张券，每个人有放回的抽取三次，即完成一轮抽奖游戏；若摸出的结果是“2张奖券”三次，则获得10100积分，若摸出的结果是“2张奖券”一次或两次，则获得300积分，若摸出“2张奖券”的次数为零，则获得0积分；获得的积分扣除花费的100积分，则为该顾客所得的最终积分；最终积分若达到一定的标准，可以兑换电饭锅.洗衣机等生活用品.（1）求一轮抽奖游戏中，甲摸出“2张奖券

12、”的次数为零的概率；（2）记一轮抽奖游戏中，甲摸出“2张奖券”的次数为，求的分布列以及数学期望；（3）试用概率与统计的相关知识，从数学期望的角度进行分析，多次参与抽奖游戏后，甲的最终积分情况.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）多次参与抽奖活动后，可以估计中的最终积分会越来越少.【分析】（1）先求出摸出“2张奖券”的概率，再根据重复实验的概率公式可计算；（2）可知的可能取值为0，1，2，3，分别求出概率即可得出分布列，求出数学期望；（3）记一轮抽奖游戏后，甲的最终积分为，则可得出分布列，求出的期望，可得期望为负，从而判断最终积分会越来越少.【详解】（1）每次抽取，摸出“2

13、张奖券”的概率，故一轮游戏中，甲摸出“2张奖券”的次数为零的概率.（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，故，故的分布列为：0123故.（3）记一轮抽奖游戏后，甲的最终积分为，则的分布列为20010000故，可知一轮游戏过后，甲的最终积分的期望为负数，故多次参与抽奖活动后，可以估计中的最终积分会越来越少.【点睛】本题考查独立重复事件概率的求法，考查分布列和数学期望的求法，属于中档题.6某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品；当时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为配方和配方）做实验，各生产了100件这种产品，

14、并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：配方的频数分布表指标值分组频数10304020配方的频数分布表指标值分组频数510153040（1）从配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率与质量指标满足如下条件：，其中，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大?【答案】（1）（2）配方生产的产品平均利润率为，配方生产的产品平均利润率为，投资配方的产品平均利润率较大【分析】（1）按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为，有3件为一级品，记为，可得从这

15、5件产品中任取3件的取法及恰好取到1件的取法，可得答案；（2）分别将与用表示，计算出的值，由可得哪种配方的产品平均利润率较大.【详解】解：（1）由题知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为，有3件为一级品，记为，从5件产品中任取3件共有10种取法，枚举如下：，其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到1件二级品的概率为.（2）由题知配方生产的产品平均利润率，配方生产的产品平均利润率，所以，因为，所以，所以投资配方的产品平均利润率较大.【点睛】本题主要考查概率的求法，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，属于中档题.7某企业拥有三条相同的且相互独立的生产线据统计，每条生产

16、线每月出现故障的概率为，且至多可能出现一次故障（1）求该企业每月有且只有条生产线出现故障的概率；（2）在正常生产的情况下，每条生产线每月的利润是万元；如果一条生产线出现故障能及时维修，还能创造万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线就没有利润为提高生产效益，企业决定安排维修工人对出现故障的生产线进行维修如果一名维修工人每月只能及时维修一条生产线，且一名工人每月所需费用为万元，以该企业每月实际利润的期望值为决策依据，你选择安排几名维修工？（实际利润生产线创造利润维修工人费用）【答案】（1）；（2）安排二名维修工.【分析】（1）由题知服从二项分布，直接利用二项分布的概率计算公式.（2）分类讨

17、论思想，分别计算安排1名，2名，3名维修工时，每月的实际获利润期望值，并比较，选出安排几名维修工合适【详解】（1）设3条生产线中出现故障的条数为，则服从二项分布因此该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率：（2）若安排一名维修工时，设该企业每月的实际获利为万元若，则；若，则；若，则；若，则；又， ，此时，实际获利的均值.若安排二名维修工时，设该企业每月的实际获利为万元若，则；若，则；若，则；若，则；此时，实际获利的均值，可知若安排三名维修工时，设该企业每月的实际获利为万元若，则；若，则；若，则；若，则；此时，实际获利的均值，可知.由于利润期望值最大化是决策的依据，在上述情形中最大，由计算过程

18、易知安排三名以上的维修工时利润还会下降，故选择安排二名维修工，此时实际利润最大【点睛】（1）考查了二项分布的判定及概率的计算.（2）离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率，期望和方差解决实际问题的能力，属于中档题.8已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：逐一化验；平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混

19、合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者（i）采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望；（ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），求不同分组方法所需化验次数的数学期望你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由【答案】（1）；（2）（i）分布列见解析，数学期望为；（ii）分类讨论，答案见解析【分析】（1）总数为，抽到感染者，则从余下5名某疾病病毒密切接触者中，再抽2人，有，从而求得抽到感染者的概率；（2）分别求出方案（i）和方案（ii）的分布列和均值，注意方案（ii）采取平均分组混合化验，又平均分成3组和平均分成2组两

20、种情况，再通过对比得出结论.【详解】（1）6名密切接触者中随机抽取3名共有种方法，抽取3名中有感染者的抽法共有种方法，所以抽到感染者的概率 ；（2）（i）按逐一化验法，的可能取值是1，2，3，4，5， ， ， ， ，表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性（即不检验可确定第6个样本为阳性），分布列如下：12345所以；（ii）平均分组混合化验，6个样本可按平均分成2组，或者按分成3组如果按分2组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，分布列如下：23 如果按分3组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，分布列如下：23 因为， 所以我认为平均分组混合化验法较好，按或分组进行化验均可【点睛】本题主要

21、考查了随机事件概率的计算,以及离散型随机变量的分布列的均值与方差,属于中档题.9某厂加工的零件按箱出厂，每箱有个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有个次品，则对剩下的个零件逐一检验已知每个零件检验合格的概率为，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为元（1）设1箱零件人工检验总费用为元，求的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为元，现有箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验

22、与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由【答案】（1）分布列见解析；（2）人工检验，详见解析【分析】（1）根据题意，工人抽查的5个零件中，分别计算出5个都是正品或者都是次品，5个不全是次品的人工费用，得出的可能值，利用二项分布分别求出概率，即可列出的分布列；（2）由（1）求出的数学期望，根据条件分别算出1000箱零件的人工检验和机器检验总费用的数学期望，比较即可得出结论.【详解】（1）的可能取值为，则的分布列为（2）由（1）知，1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为元1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为元，且，应该选择人工检验【点睛】该题考查离散型随机变量的实际应用，求离散型随机变

23、量概率、分布列和数学期望，属于简单题目.10已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名未感染，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为未感染者.（1）若从这6名密切接触者中随机抽取2名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：方法一是逐一化验；方法二是平均分组混合化验，先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒，若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.（i）采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望；（ii）采取平均分成三组混合化验（每组血液份数相同），求该分组方法所需

24、化验次数的数学期望.你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由.【答案】（1）；（2）（i）分布列见解析，；（ii），按平均分组法较合理，理由见解析.【分析】（1）由超几何分布的概率公式运算即可得解；（2）（i）先计算出分别取1，2，3，4，5时的概率，进而可得的分布列，由数学期望的公式即可得的数学期望；（ii）分别计算出时的概率，进而可得的分布列与数学期望，比较、的大小即可选出方案.【详解】（1）由题意，抽到感染者的概率；（2）（i）按逐一化验法，的可能取值为1，2，3，4，5，所以所需化验次数的分布列为12345所以数学期望；（ii）平均分成三组即按分组，记所需化验次数为，则，所以的分布列为

25、23所以数学期望，因为，所以按平均分组法较合理.【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量分布列、数学期望的求解与应用，属于中档题.11某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；（2）设甲、

26、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，求随机变量，的期望，和方差，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？【答案】（1）；（2），由甲班级代表学校参加大赛更好【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式即可求出答案；（2）结合超几何分布和二项分布，根据数学期望和方差的定义依次求出，由此可求出答案【详解】解：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为1，2，则，乙班级能正确回答题目人数为，的取值分别为0，1，2，由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好【点睛】本题主要考查超几何分布与二项分布的应用，属于基础题12某汽车租赁公司为

27、了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这两种车各50辆，分别统计每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型汽车出租天数34567车辆数330575B型汽车出租天数34567车辆数101015105（1）试根据上面的统计数据，判断这两种车在某个星期内的出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（2）如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车，并说明你的理由.【答案】（1）B型汽车在某个星期内出租天数的方差较大；（2）答案详见解析.【分析】（1）根据数据的离散程度可得到结果；（2）从利润均值和方差两方

28、面来进行决策都是正确的.【详解】（1）由数据的离散程度，可以看出B型汽车在某个星期内出租天数的方差较大.（2）50辆A型汽车出租天数的平均数为，50辆B型汽车出租天数的平均数为，方案一：A型汽车在某个星期内出租天数的平均值为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均值为4.8，选择B型汽车的出租车的利润较大，应该购买B型汽车.方案二：A型汽车在某个星期内出租天数的平均值为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均值为4.8，而B型汽车出租天数的方差较大，所以应该购买A型汽车.（任选其一）.【点睛】本题考查了数据方差和均值的计算，以及涉及了决策问题.13受电视机在保修期内维修费等因素的影响，

29、企业生产每台电视机的利润与该电视机首次出现故障的时间有关.某电视机制造厂生产甲、乙两种型号电视机，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种型号电视机中各随机抽取50台，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x（年）电视机数量（台）3542842每台利润（千元）1231.82.8将频率视为概率，解答下列问题：（1）从该厂生产的甲种型号电视机中随机抽取一台，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（2）该厂预计今后这两种型号电视机销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种型号电视机，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种型号电视机？说明理由.【答案】（1）；（2）选择生产甲汽车.【分析】根据保修期为2年

30、，可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为，由此可求其概率；求出生产两种汽车的收益的分布列和期望，比较即得解.【详解】设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件，则（A）.依题意得，生产甲汽车的效益的分布列为 1 23 生产乙汽车的效益的分布列为 1.8 2.8 所以（万元（万元，应生产甲品牌轿车【点睛】本题考查概率的求解，考查分布列与期望，解题的关键是求出概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平14随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品

31、亏损2万元设1件产品的利润(单位：万元)为（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润(即的数学期望)；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【答案】（1）的分布列见解析；（2）4.34；（3）.【分析】本题考查的是随机变量的分布列及期望的实际运用对于（）可先将的各种可能值对应的概率求出，然后代入公式可得（）的答案【详解】（）的可能取值有;故的分布列为621-2P0.630.250.10.02（2）（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时件产品的平均利润，依题意，所以三等品率最多是.

32、15某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作.规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望；（2）试从两位考生正确完成题数的数学期望及甲，乙能通过提交的概率，分析比较两位考生的实验操作能力.【答案】（1）数学期望分别为2，2；（2）答案见解析.【分析】（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，则的取值分别为1、2、3，的取值分别，0、1、2、3，分别求出相应的

33、概率，由此能求出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望.（2）因为，从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强.【详解】（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，则的取值分别为1、2、3，的取值分别，0、1、2、3，所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：123.因为，所以考生乙正确完成实验操作的题数的期望.（2）因为，所以，从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强.【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查两人实验操作能

34、力的判断，是中档题，解题时要注意二项分布的合理运用.16某水果批发商经销某种水果（以下简称水果），购入价为150元/箱，并以180元/箱的价格售出，若前8小时内所购进的水果没有售完，则批发商将没售完的水果以110元/箱的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把水果低价处理完，且当天不再购进）.该水果批发商根据往年的销量，统计了100天水果在每天的前8小时内的销售量，制成如图所示的频数分布条形图.现以记录的100天的水果在每天的前8小40时内的销售量的频率作为水果在一天的前8小时内的销售量的概率，记表示水果一天前8小时内的销售量，表示水果批发商一天批发水果的箱数.（）求的分布列；（）以日利

35、润的期望值为决策依据，在与中选其一，应选用哪个？【答案】（）见解析；（）.【分析】（）由题意求得、，即可得解；（）分别计算出、时，日利润的数学期望，比较即可得解.【详解】（）由题意可取、，且，所以的分布列如下：（）当时，设日利润为，则的可能取值为、，且，所以的数学期望；当时，设日利润为，则可能取值为、，且，则的数学期望；因为，故选.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的求解，考查了数学期望的应用及运算求解能力，属于中档题.172020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度某市202

36、0年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）质量指标值频数2010301525（1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结

37、论；（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，并已求得该厂决定将消毒液分为，级三个等级，其中质量指标值不高于2.6的为级，高于38.45的为级，其余为级，请利用该正态分布模型解决下列问题：（）甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中级消毒液的总瓶数；（）已知每瓶消毒液的等级与出厂价（单位：元/瓶）的关系如下表所示：等级出厂价302516假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由附：若，则，【答案】（1）26

38、.5；答案见解析；（2）（）级消毒液有81860瓶；（）甲厂能在半年之内收回投资理由见解析.【分析】（1）根据频率分布直方图和频率分布表求出平均数、众数，然后对两家工厂生产的消毒液质量指标值作比较得出方案；（2）根据模型可求出；（3）列出的分布列，可求出期望，然后再作比较可得答案.【详解】（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为，则，解得统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当；由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂

39、生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多（2）（），因为，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，级消毒液有81860瓶（）设每瓶消毒液的利润为元，则的可能取值为10，5，由（）知，所以，故的分布列为1050.158650.8186002275

40、所以每瓶消毒液的平均利润为（元），故生产半年消毒液所获利润为（千万元），而55885（千万元）4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资【点睛】本题考查了根据频率分布直方图、频率分布表求平均数、中位数，正态分布的性质及随机变量的分布列.182019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战.围绕这个目标，福建省正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战.为响应国家政策，小型杂货店店主老张在报社的帮助下代售某报纸.据长期统计分析，老张的杂货店中该报纸每天的需求量的频率分布如下表所示：需求量910111213频率0.30.3

41、60.180.090.07已知该报纸进价为每份1.5元，售价为每份2元.若供大于求，则每份报纸以每份1.2 元的价格退回报社.以频率估计概率，回答下面问题：（1）根据统计结果，老张在每日报纸进货量为9，10，11份之间犹豫不决，为了使收益最大，请为老张选择最合适的报纸进货量，并说明理由；（2）若老张以（1）中的最合适方案确定每天的进货量，在一个月（以30天计）中，多少天将报纸销售完的概率最大？【答案】（1）每日进10份报纸；（2）21天.【分析】(1) 设老张在每日报纸进货量为9， 10， 11份时的收益分别为X，Y，Z，分别求出，比较大小可得出为了使收益最大，老张选择最合适的报纸进货量；(2

42、)老张选择最合适的报纸进货量为每日进10份报纸，由老张的杂货店中该报纸每天的需求量的频率分布表知每日剩余一张的概率为0.3，卖完的概率为0.7，由此能求出在一个月(以30天计) 中，多少天将报纸销售完的概率最大.【详解】解： (1) 设老张在每日报纸进货量为9， 10， 11份时的收益分别为X，Y，Z，当老张在每日报纸进货量为9份时，当老张在每日报纸进货量为10份时，若需求量为9份时，当需求量不小于10份时，；当老张在每日报纸进货量为11份时，需求量为9份时，需求量为10份时，当需求量不小于11份时，所以，为了使收益最大，老张选择最合适的报纸进货量为每日进10份报纸.(2)由(1) 知老张选择

43、最合适的报纸进货量为每日进10份报纸，由老张的杂货店中该报纸每天的需求量的频率分布表知：每日剩余一张的概率为0.3，卖完的概率为0.7，所以在一个月(以30 天计)中，天将报纸销售完的概率最大.【点睛】本题考查离散型分布列和数学期望在实际生活中的应用，属于中档题.19某企业生产一种液体化工产品，其年产量受气温影响，该液体化工产品中含有制造高精端仪器所需的稀有金属，且提取该稀有金属后，不影响液体化工产品的销售和用途.根据以往市场经验，制造的该液体化工产品和提取的稀有金属都能完全销售.在此之前，该企业无稀有金属提取设备，经企业研究决定安装，但由于条件限制，最多能安装6台.根据最近20年统计的生产资

44、料数据，每年至少生产该液体化工产品40吨，且得到液体化工产品年产量的数据如下表：液体化工产品年产量（吨）年数31862（）对于液体化工产品，如果年产量不低于100吨，则称该年度为“优质年”，每位职工发放一等年终奖金；如果年产量不足100吨，则称该年度为“均衡年”，每位职工发放二等年终奖金.其中一名工人在统计的20年中有5年在该企业工作，问该工人恰有三年得到一等年终奖金的概率是多少？（最后结果保留分数形式）（）若液体化工产品年产量相互独立，且把液体化工产品年产量在相应段的频率作为概率.（）试求未来3年中，至少有一年液体化工产品年产量不低于100吨的概率；（最后结果保留分数形式）（）企业希望安装的稀有金属提取设备尽可能多地运行，但每年稀有金属提取设备运行的台数受液体化工产品年产量的限制，并有如下关系