2019届高考数学一轮复习第八章立体几何层级快练48（文科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 层级快练 (四十八 ) 1 (2017 唐山模拟 )正三棱锥的高和底面边长都等于 6， 则其外接球的表面积为 ( ) A 64 B 32 C 16 D 8 答案 A 解析 如图 ， 作 PM 平面 ABC 于点 M， 则球心 O 在 PM 上 ， PM 6， 连接AM， AO， 则 OP OA R(R 为外接球半径 )， 在 Rt OAM 中 ， OM 6 R， OA R， 又 AB 6， 且 ABC 为等边三角形 ， 故 AM 23 62 32 2 3， 则 R2 (6 R)2 (2 3)2， 则 R 4， 所以球的表面积 S 4 R2 64 . 2 已知各

2、顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4， 体积为 16， 则这个球的表面积是 ( ) A 16 B 20 C 24 D 32 答案 C 解析 由 V Sh， 得 S 4， 得正四棱柱底面边长为 2.画出球的轴截面可得 ， 该正四棱柱的对角线即为球的直径 ， 所以球的半径为 R 12 22 22 42 6.所以球的表面积为 S 4 R2 24 .故选 C. 3 若一个正方体的体积是 8， 则这个正方体的内切球的 表面积是 ( ) A 8 B 6 C 4 D 答案 C 解析 设正方体的棱长为 a， 则 a3 8. 因此内切球直径为 2， S 表 4 r2 4 . 4 (2017 课标全国 ) 已知圆

3、柱的高为 1， 它的两个底面的圆周在直径长为 2 的同一个球的球面上 ， 则该圆柱的体积为 ( ) A B.34 C. 2 D. 4 答案 B 解析 根据已知球的半径长是 1， 圆柱的高是 1， 如图 ， 所以圆柱的底面半径 r=【 ;精品教育资源文库 】 = 22 122 32 ， 所以圆柱的体积 V r2h ( 32 )2 1 34 .故选 B. 5 (2018 安徽合肥模拟 )已知球的直径 SC 6， A， B 是该球球面上的两点 ， 且 AB SA SB 3， 则三棱锥 S ABC 的体积为 ( ) A.3 24 B.9 24 C.3 22 D.9 22 答案 D 解析 设该球球心为

4、O， 因为球的直径 SC 6， A， B 是该球球面上的两点 ， 且 AB SA SB 3， 所以三棱锥 S OAB 是棱长为 3 的正四面体 ， 其体积 VS OAB 13 12 3 3 32 6 9 24 ，同理 VO ABC 9 24 ， 故三棱锥 S ABC 的体积 VS ABC VS OAB VO ABC 9 22 ， 故选 D. 6 已知直三棱柱 ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上 ， 若 AB 3， AC 4， AB AC， AA1 12， 则球 O 的半径为 ( ) A.3 172 B 2 10 C.132 D 3 10 答案 C 解析 如图 ， 由球心作平

5、面 ABC 的垂线 ， 则垂足为 BC 的中点 M. 又 AM 12BC 52， OM 12AA1 6， 所以球 O 的半径 R OA （ 52） 2 62 132. 7 (2018 广东惠州一模 )已知 一个水平放置的各棱长均为 4 的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计 )， 现从该三棱锥形容器的顶端向内注水 ， 小球慢慢上浮 ， 当注入的水的体积是该三棱锥体积的 78时 ， 小球与该三棱锥各侧面均相切 (与水面也相切 )， 则小球的表面积等于 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.76 B.43 C.23 D.12 答案 C 解析 由题知 ， 没有水的部分的体积是三棱锥形容器的

6、体积的 18， 三棱锥形容器的体积为1334 42 63 416 23 ， 所以没有水的部分的体积为2 23 .设其棱长为 a， 则其体积为1334 a2 63 a2 23 ， a 2， 设小球的半径为 r， 则 413 3 r2 23 ， 解得 r66 ， 球的表面积为 4 16 23， 故选 C. 8.如图 ， ABCD A1B1C1D1是棱长为 1 的正方体 ， S ABCD 是高为 1 的正四棱锥 ， 若点 S， A1， B1， C1， D1在同一个球面上 ， 则该球的体积为 ( ) A.2516 B.4916 C.8116 D.243128 答案 C 解析 如图所示 ， O 为球心

7、， 设 OG1 x， 则 OB1 SO 2 x， 同时由正方体的性质可知 B1G1 22 ， 则在 Rt OB1G1中 ， OB12 G1B12 OG12， 即 (2 x)2x2 ( 22 )2， 解得 x 78， 所以球的半径 R OB1 98， 所以球的表面积 S 4 R2 8116 ， 故选C. 9 (2018 郑州质检 )四棱锥 P ABCD 的五个顶点都在一个球面上 ， 该四棱锥的三视图如图所示 ， E， F 分别是棱 AB， CD 的中点 ， 直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2， 则该球的表面积为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 9 B 3 C 2 2 D 1

8、2 答案 D 解析 该几何体的直观图如图所示 ， 该几何体可看作由正方体截得 ， 则正方体外接 球的直径即为 PC.由直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2， 可知正方形 ABCD对角线 AC的长为 2 2， 可得正方形 ABCD的边长 a 2， 在 PAC中 ， PC 22（ 2 2） 2 2 3， 球的半径 R 3， S 表 4 R2 4 ( 3)2 12 . 10 (2014 湖南 )一块石材表示的几何体的三视 图如图所示 将该石材切削、打磨 ， 加工成球 ， 则能得到的最大球的半径等于 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 此几何体为一直三棱柱 ， 底面是边长为

9、6， 8， 10 的直角三角形 ， 侧棱为 12， 故其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径 ， 故其半径为 r 12 (6 8 10) 2， 故选 B. 11 (2017 天津 )已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 ， 若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 _ 答案 92 解析 设正方体的棱长为 a， 则 6a2 18， 得 a 3， 设该正方体外接球的半径为 R， 则 2R 3a 3， 得 R 32， 所以该球的体积为 43 R3 43 (32)3 92 . 12 若一个正四面体的表面积为 S1， 其内切球的表面积为 S2， 则 S1S2 _ 答案 6 3 解析 设正四面体

10、的棱长为 a， 则正四面体的表面积 为 S1 4 34 a2 3a2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 其内切球半径为正四面体高的 14， 即 r 14 63 a 612a， 因此内切球表面积为 S2 4 r2 a26 ，则 S1S2 3a26a2 6 3 . 13已知一圆柱内接于球 O， 且圆柱的底面圆的直径与母线长均为 2， 则球 O 的表面积为_ 答案 8 解析 圆柱的底面圆的直径与母线长均为 2， 所以球的直径为 22 22 8 2 2， 即球半径为 2， 所以球的表面积为 4 ( 2)2 8 . 14 (2017 衡水中学调研卷 )已知正三棱锥 P ABC， 点 P， A， B，

11、C 都在半径为 3的球面上 ，若 PA， PB， PC 两两相互垂直 ， 则球心到截面 ABC 的距离为 _ 答案 33 解析 方法一：先在一个正方体中找 一个满足条件的正三棱锥 ， 再利用正方体的性质解题如图 ， 满足题意的正三棱锥 P ABC 可以是正方体的一部分 ， 其外接球的 直径是正方体的体对角线 ，且面 ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点 ， 所以球心到平面 ABC 的距离等于体对角线长的 16， 故球心到截面 ABC 的距离为 16 2 3 33 . 方法二：用等体积法： VP ABC VA PBC求解 ) 15.(2018 四川成都诊断 )已知一个多面体的三视图如

12、图所示 ， 其中正视图与侧视图都 是直 角边长为 1 的等腰直角三角形 ， 俯视图是边长为 1 的正方形 ， 若该多面体的顶点都在同一个球面上 ， 则该球的表面积为 _ 答案 3 解析 由三视图知几何体为四棱锥 ， 且四棱锥的一条侧棱垂直于底面 ， 高等于 1， 其底面是边长为 1 的正方形 ， 四棱锥的外接球即是边长为 1 的正方体的外接球 ， 外接球的直径为 3， 外接球的表面积 S 4 ( 32 )2 3 . 16 (2018 河北唐山模拟 )已知矩形 ABEF 所在的平面与矩形 ABCD 所在平面互相垂直 ， AD 2， AB 3， AF 3 32 ， M 为 EF 的中点 ， 则多面

13、体 M ABCD 的外接球的表面积为 _ 答案 16 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 记多面体 M ABCD 的外接球的球心为 O， 如图 ， 过点 O 分别作平面 ABCD 和平面 ABEF的垂线 ， 垂足分别为 Q， H， 连接 MH 并延长 ， 交 AB 于点 N， 连接 OM， NQ， AQ， 设球 O 的半径为 R， 球心到平面 ABCD 的距离为 d， 即 OQ d， 矩形 ABEF 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直 ， AF 3 32 ， M 为 EF 的中点 ， MN 3 32 ， AN NB 32， NQ 1， R2 ( 4 92 )2 d2 12 (3

14、 32 d)2， d 32 ， R2 4， 多面体 M ABCD 的外接球的表面积为 4 R2 16 . 1 (2017 课标全国 ， 文 )长方体的长 ， 宽 ， 高分别为 3， 2， 1， 其顶点都在球 O 的球面上 ， 则球 O 的表面积为 _ 答案 14 解析 依题意得 ， 长方体的体对角线长为 32 22 12 14， 记长方体的外接球的半径为 R，则有 2R 14， R 142 ， 因此球 O 的表面积等于 4 R2 14 . 2 (2018 湖南长沙一中模拟 )如图 ， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图 ， 则该多面体外接球的表面积为 ( )

15、 A 8 B.252 C 12 D.414 答案 D 解析 根据三视图得出 ， 几何体是正方体中的一个四棱锥 O ABCD， 正方体的棱长为 2， A， D 为所在棱的中点 根据几何体可以判断 ， 球心应该在过 A， D 的平行于正方体底面的中截面上 ， 设球心到平面 BCO 的距离为 x， 则到 AD 的距离为 2 x， 所以 R2 x2 ( 2)2， R2 12 (2 x)2， 解得 x 34， R 414 ，该多面体外接球的表面积为 4 R2 414 ， 故选 D. 3 (2014 陕西 ， 理 )已知底面边长为 1， 侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面=【 ;精品教育资源文库 】 = 上 ， 则该球的体积为 ( ) A.323 B 4 C 2 D.43 答案 D 解析 因为该正四棱柱的外接球的半径是