2019届高考数学一轮复习第八章解析几何课堂达标48定点定值探索性问题(文科)新人教版.doc
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1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课堂达标 (四十八 ) 定点、定值、探索性问题 A 基础巩固练 1 (2018 北京西城区模拟 )已知椭圆 C: x2a2y2b2 1(ab0)的离心率 e22 ,短轴长为2 2. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)如图,椭圆左顶点为 A,过原点 O 的直线 (与坐标轴不重合 )与椭圆 C 交于 P, Q 两点,直线 PA, QA 分别与 y 轴交于 M, N 两点试问以 MN 为直径的圆是否经过定点 (与直线 PQ 的斜率无关 )?请证明你的结论 解 (1)由短 轴长为 2 2,得 b 2, 由 e ca a2 b2a 22 ,得 a2 4, b2 2.
2、 所以椭圆 C 的标准方程为 x24y22 1. (2)以 MN 为直径的圆过定点 F( 2, 0) 证明如下: 设 P(x0, y0),则 Q( x0, y0), 且 x204y202 1,即 x20 2y20 4, 因为 A( 2,0),所以直线 PA 方程为 y y0x0 2(x 2), 所以 M? ?0, 2y0x0 2,直线 QA 方程为 y y0x0 2(x 2), 所以 N? ?0, 2y0x0 2,以 MN 为直径的圆为 (x 0)(x 0) ? ?y 2y0x0 2 ? ?y 2y0x0 2 0, 即 x2 y2 4x0y0x20 4y 4y20x20 4 0, 因为 x20
3、 4 2y20,所以 x2 y2 2x0y0y 2 0, 令 y 0,则 x2 2 0,解得 x 2. 所以以 MN 为直径的圆过定点 F( 2, 0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 2已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的左焦点 F1( 1,0),长轴长与短轴长的比是 2 3. (1)求椭圆的方程; (2)过 F1作两直线 m, n 交椭圆于 A, B, C, D 四点, 若 m n,求证: 1|AB| 1|CD|为定值 解析 (1)由已知得? 2a 2b 2 3,c 1,a2 b2 c2.解得 a 2, b 3. 故所求椭圆方程为 x24y23 1. (2)证明:由已知 F1(
4、 1,0),当直线 m 不垂直于坐标轴时, 可设直线 m 的方程为 y k(x 1)(k0) 由? y k x ,x24y23 1,得 (3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0. 由于 0,设 A(x1, y1), B(x2, y2),则有 x1 x2 8k23 4k2, x1x24k2 123 4k2 , |AB| k2 x1 x2 2 4x1x2 k2 ? ? ? 8k23 4k22 4 4k2 123 4k2 k23 4k2 . 同理 |CD| k23k2 4 . 所以 1|AB| 1|CD| 3 4k2 k2 3k2 4 k2 k2 k2 712. 当直线 m 垂直于坐标轴时,此
5、时 |AB| 3, |CD| 4; 或 |AB| 4, |CD| 3,所以 1|AB| 1|CD| 13 14 712. 综上, 1|AB| 1|CD|为定值 712. 3 (2018 安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测 )椭圆 E: x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为33 ,=【 ;精品教育资源文库 】 = 点 ( 3, 2)为椭圆上的一点 (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若斜率为 k 的直线 l 过点 A(0,1),且与椭圆 E 交于 C, D 两点, B 为椭圆 E 的下顶点,求证:对于任意的 k,直线 BC, BD 的斜率之积为定值 解 (1)因为 e 33 ,所以 c 33
6、a, a2 b2 ? ?33 a 2. 又椭圆过点 ( 3, 2),所以 3a2 2b2 1. 由 ,解得 a2 6, b2 4, 所以椭圆 E 的标准方程为 x26y24 1. (2)证明:设直线 l: y kx 1,联立? x26y24 1,y kx 1,得 (3k2 2)x2 6kx 9 0. 设 C(x1, y1), D(x2, y2),则 x1 x2 6k3k2 2, x1x2 93k2 2, 易知 B(0, 2), 故 kBC kBD y1 2x1 y2 2x2 kx1 3x1 kx2 3x2 k2x1x2 3k x1 x2 9x1x2 k2 3k x1 x2x1x2 9x1x2
7、k2 3k 2k3 (3k2 2) 2. 所以对于任意的 k,直线 BC, BD 的斜率之积为定值 4 (高考全国 卷 )在直角坐标系 xOy 中,曲线 C: y x24与直线 l: y kx a(a 0)交于 M, N 两点, (1)当 k 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有 OPM OPN?说明理由 解 (1)由题设可得 M(2 a, a), N( 2 a, a), 或 M( 2 a, a), N(2 a, a) =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 y x2,故 y x24在 x 2 a处的导数值为 a, C 在点
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