2019届高考数学一轮复习第八章解析几何课堂达标47最值范围证明问题（文科）新人教版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课堂达标 (四十七 ) 最值、范围、证明问题 A 基础巩固练 1已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 F? ?12， 0 ，点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)，D(x4， y4)在抛物线上，直线 AB， CD 均过点 M(3,0)，且均不垂直于 x 轴，直线 PQ 过点 M 且垂直于 x 轴，交 AC 于点 P，交 BD 于点 Q. (1)求 y1y2的值； (2)求证： |MP| |MQ|. 解 (1)由题意得 p2 12，则 p 1，抛物线的方程为 y2 2x. 设直线 AB 的方程为 x my 3，将 x my 3 代

2、入抛物线的方程得， y2 2my 6 0，则由根与系数的关系得 y1y2 6. (2)证明：由题意可知，直线 AC 的斜率为 y1 y3x1 x3 y1 y3y212y232 2y1 y2， 直线 AC 的方程为 y 2y1 y3(x x1) y1， 直线 PQ 过点 M 且垂直于 x 轴， 点 P 的 纵坐标 yP 2y1 y3(3 x1) y1 6 2x1 y21 y1y3y1 y3 6 y1y3y1 y3 6 ? ? 6y2y3 6y2 y3 y2 y3y2y3 6. 同理可得点 Q 的纵坐标 yQ y3 y2y2y3 6， yP yQ 0，又 PQ x 轴， |MP| |MQ|. 2

3、(2018 成都七中一诊 )抛物线 y2 4x 的焦点为 F，点 P(x， y)为该抛物线上的动点，若点 A( 1,0)，求 |PF|PA|的最小值 解 抛物线 y2 4x 的准线方程为 x 1，如图， =【 ;精品教育资源文库 】 = 过 P 作 PN 垂直 x 1 于 N， 由抛物线的定义可知 |PF| |PN|，连接 PA， 在 Rt PAN 中， sin PAN |PN|PA|， 当 |PN|PA| |PF|PA|最小时， sin PAN 最小， 即 PAN 最小，即 PAF 最大， 此时， PA 为抛物线的切线，设 PA 的方程为 y k(x 1)， 联立? y k x ，y2 4x

4、， 得 k2x2 (2k2 4)x k2 0， 所以 (2k2 4)2 4k4 0，解得 k 1 ， 所以 PAF NPA 45 ， |PF|PA| |PN|PA| cos NPA 22 . 3已知双曲线 C 的两个焦点分别为 F1( 2,0)， F2(2,0)，双曲线 C 上一点 P 到 F1， F2的距 离差的绝对值等于 2. (1)求双曲线 C 的标准方程； (2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A， B 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线l 的方程； (3)已知定点 G(1,2)，点 D 是双曲线 C 右支上的动点，求 |DF1| |DG|的最小值 解 (1

5、)依题意，得双曲线 C 的实半轴长为 a 1， 半焦距 c 2，所以其虚半轴长 b c2 a2 3. 又其焦点在 x 轴上，所以双曲线 C 的标准方程为 x2 y23 1. (2)设 A， B 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)， 则? 3x21 y21 3，3x22 y22 3. 两式相减，得 3(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y2) 0. 因为 M(2,1)为 AB 的中点， 所以? x1 x2 4，y1 y2 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 12(x1 x2) 2(y1 y2) 0， 即 kAB y1 y2x1 x2 6， 故 AB 所在

6、直线 l 的方程为 y 1 6(x 2)， 即 6x y 11 0. (3)由已知，得 |DF1| |DF2| 2， 即 |DF1| |DF2| 2， 所以 |DF1| |DG| |DF2| |DG| 2| GF2| 2， 当且仅当 G， D， F2三点共线时取等号， 因为 |GF2| 2 22 5， 所以 |DF2| |DG| 2| GF2| 2 5 2， 故 |DF1| |DG|的最小值为 5 2. 4已知中心在原点的双曲线 C 的右焦 点为 (2,0)，右顶点为 ( 3， 0) (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线： y kx m(k0 ， m0) 与双曲线 C 交于不同的两点 M

7、， N，且线段 MN 的垂直平分线过点 A(0， 1)，求实数 m 的取值范围 解 (1)设双曲线 C 的方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0) 由已知得 a 3， c 2，又 a2 b2 c2，得 b2 1， 双曲线 C 的方程为 x23 y2 1. (2)联立? y kx m，x23 y2 1， 整理得 (1 3k2)x2 6kmx 3m2 3 0. 直线与双曲线有两个不同的交点， ? 1 3k20 ， m2 1 3k2 ， 可得 m23k2 1 且 k2 13， 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， MN 的中点为 B(x0， y0) 则 x1 x2 6km1 3k2，

8、x0 x1 x22 3km1 3k2， =【 ;精品教育资源文库 】 = y0 kx0 m m1 3k2. 由题意， AB MN， kABm1 3k2 13km1 3k2 1k(k0 ， m0) 整理得 3k2 4m 1， 将 代入 ，得 m2 4m0， m4. 又 3k2 4m 10(k0) ，即 m 14. m 的取值范围是 ? ? 14， 0 (4， ) B 能力提升练 1 (2018 威海模拟 )已知圆 x2 y2 1 过椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线 l： y kx m 与圆 x2 y2 1 相切，与椭圆 x2a2y2b2 1 相交于

9、 A， B两点记 OA OB ，且 23 34. (1)求椭圆的方程； (2)求 k 的取值范围； (3)求 OAB 的面积 S 的取值范围 解 (1)由题意知 2c 2，所以 c 1. 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而 b 1，故 a 2， 所以所求椭圆方程为 x22 y2 1. (2)因为直线 l： y kx m 与圆 x2 y2 1 相切， 所以原点 O 到直线 l 的距离为 |m|12 k2 1， 即 m2 k2 1. 由? y kx m，x22 y2 1 得 (1 2k2)x2 4kmx 2m2 2 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 4km1

10、2k2， x1x2 2m2 21 2k2. =【 ;精品教育资源文库 】 = OA OB x1x2 y1y2 (1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2 k2 11 2k2， 由 23 34，得 12 k21 ， 即 k 的取值范围是 ? ? 1， 22 ? ?22 ， 1 . (3)|AB|2 (x1 x2)2 (y1 y2)2 (1 k2)(x1 x2)2 4x1x2 2 22k2 1 2， 由 12 k21 ， 得 62 | AB| 43. 设 OAB 的 AB 边上的高为 d， 则 S 12|AB|d 12|AB|，所以 64 S 23. 即 OAB 的面积 S 的最值范围是 ?

11、?64 ， 23 . 2已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点 (1)若 AF 2 FB ，求直线 AB 的斜率； (2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边 形 OACB 面积的最小值 解 (1)依题意知 F(1,0)，设直线 AB 的方程为 x my 1. 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 得 y2 4my 4 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，所以 y1 y2 4m， y1y2 4. 因为 AF 2 FB ，所以 y1 2y2. 联立 和 ，消去 y1， y2，得 m 24

12、 . 所以直线 AB 的斜率是 2 2. (2)由点 C 与原点 O 关于 点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点，从而点 O 与点 C 到直线 AB的距离相等，所以四边形 OACB 的面积等于 2S AOB. 因为 2S AOB 2 12| OF| y1 y2| =【 ;精品教育资源文库 】 = y1 y2 2 4y1y2 4 1 m2， 所以当 m 0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4. C 尖子生专练 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，上顶点为 B， Q 为抛物线 y2 12x 的焦点，且 F1B QB 0,2 F1F2 Q

13、F1 0. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过定点 P(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M， N 两点 (M 在 P， N 之间 )，设直线 l 的斜率为 k(k0)，在 x 轴上是否存在点 A(m,0)，使得以 AM， AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 解 (1)由已知 Q(3,0)， F1B QB， |QF1| 4c 3 c，所以 c 1.在 Rt F1BQ 中， F2为线段 F1Q 的中点， 故 |BF2| 2c 2，所以 a 2. 于是椭圆 C 的标准方程为 x24y23 1. (2)设 l： y kx 2(k0)， M

14、(x1， y1)， N(x2， y2)，取 MN 的中点为 E(x0， y0) 假设存在点 A(m,0)使得以 AM， AN 为邻边的平行四边形为菱形，则 AE MN. ? y kx 2，x24y23 1?(4k2 3)x2 16kx 4 0， 0?k214，又 k0，所以 k12. 因为 x1 x2 16k4k2 3，所以 x0 8k4k2 3， y0 kx0 2 64k2 3. 因为 AE MN，所以 kAE 1k， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即64k2 3 0 8k4k2 3 m 1k，整理得 m 2k4k2 3 24k 3k. 因为 k 12时， 4k 3k4 3， 14k 3k ? ?0， 312 ， 所以 m ? ? 36 ， 0 .