2019届高考数学一轮复习第八章解析几何课堂达标45抛物线（文科）新人教版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课堂达标 (四十五 ) 抛物线 A 基础巩固练 1 (2016 四川卷 )抛物线 y2 4x 的焦点坐标是 ( ) A (0,2) B (0,1) C (2,0) D (1,0) 解析 y2 4x 焦点 (1,0)，故选 D. 答案 D 2 (2018 哈尔滨九中二模 )已知抛物线 C： y2 8x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 FP 4FQ ，则 |QF|等于 ( ) A.72 B 3 C.52 D 2 解析 设 Q 到 l 的距离为 d，则 |QF| d， FP 4FQ ， |PQ| 3d， 不

2、妨设直线 PF 的斜率为 2 2dd 2 2， F(2,0)， 直线 PF 的方程为 y 2 2(x 2)， 与 y2 8x 联立可得 x 1， |QF| d 1 2 3， 故选： B. 答案 B 3 (2018 山西高三考前质量检测 )已知抛物线 C1： x2 2py(p0)的准线与抛物线 C2：x2 2py(p0)交于 A， B 两点， C1的焦点为 F，若 FAB 的面积等于 1，则 C1的方程是 ( ) A x2 2y B x2 2y C x2 y D x2 22 y 解析 由题意得， F? ?0， p2 ，不妨设 A? ?p， p2 ， B? ? p， p2 ， S FAB 122

3、p p 1，则 p 1， 即抛物线 C1的方程是 x2 2y，故选 A. 答案 A 4 (2018 广东广州质检 )如图，从点 M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线 y2 8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点 P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点 Q，再经抛物线反射后射向直线 l： x y 10 0 上的点 N，经直线反射后又回到点 M，则 x0 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 5 B 6 C 7 D 8 解析 由题意可知， p 4， F(2,0)， P(2,4)， Q(2， 4)， QN： y 4，直线 QN， MN关于 l： x y 10 0 对称， 即直线 l

4、平分直线 QN， MN 的夹角， 直线 MN 垂直于 x 轴解? y 4，x y 10 0 得 N(6， 4)，故 x0 6. 答案 B 5已知 P为抛物线 y 12x2上的动点，点 P在 x 轴上的射影为点 M，点 A的坐标是 ? ?6， 172 ，则 |PA| |PM|的最小值是 ( ) A 8 B.192 C 10 D.212 解析 依题意可知焦点 F? ?0， 12 ， 准线方程为 y 12，延长 PM 交准线于点 H(图略 ) 则 |PF| |PH|， |PM| |PF| 12， |PM| |PA| |PF| |PA| 12， 即求 |PF| |PA|的最小值 因为 |PF| |PA

5、| FA|， 又 |FA| 62 ? ?172 12 2 10. 所以 |PM| |PA|10 12 192 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故选 B. 答案 B 6 (2018 南昌二模 )已知抛物线 C： y2 4x，过焦点 F 且斜率为 3的直线与 C 相交于P， Q 两点，且 P， Q 两点在准线上的投影分别为 M， N 两点，则 S MFN等于 ( ) A.83 B.8 33 C.163 D.16 33 解析 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，所以 S MFN 12 p| y1 y2| 122| y1 y2| |y1y2|，直线方程是 y 3(x 1)与抛物线方程联

6、立， y 3? ?y24 1 ，整理为： 3y2 4y 4 3 0， y1 y2 43， y1y2 4， 所以 |y1 y2| y1 y2 2 4y1y2 163 16 83 3，故选 B. 答案 B 7 (2018 江西重点高中模拟考试 )已知圆 C 过抛物线 y2 4x 的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆 C 的圆心不在 x 轴上，且与直线 x 3y 3 0 相切，则圆 C 的半径为_ 解析 因抛物线的准线方程为 x 1，焦点坐标为 F(1,0)，故设圆心坐标为 C( 1，t)(t0) ，由题意圆的半径 r 4 t2 | 4 3t|2 ，解之得 t 8 3，所以圆的半径 r 4 t2

7、196 14， 应填答案 14. 答案 14 8已知点 M( 3,2)是坐标平面内一点，若抛物线 y2 2x 的焦点为 F，点 Q 是该抛物线上的一动点，则 |MQ| |QF|的最小值是 _ 解析 抛物线的准线方程为 x 12，当 MQ x 轴时， |MQ| |QF|取得最小值， 此时点 Q 的纵 坐标 y 2，代入抛物线方程 y2 2x 得 Q 的横坐标 x 2， 则 |QM| |QF| |2 3| ? ?2 12 52. 答案 52 9已知抛物线 C： y2 2px(p0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于=【 ;精品教育资源文库 】 = 点 A，与 C 的一个

8、交点为 B，若 AM MB ，则 p _. 解析 如图，由 AB 的斜率为 3， 知 60 ，又 AM MB ， M 为 AB 的中点 过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P， 则 ABP 60 ， BAP 30 ， |BP| 12|AB| |BM|. M 为焦点，即 p2 1， p 2. 答案 2 10已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 F， A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点， A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴， 垂足为 B， OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程； (2)若过 M 作 MN FA，垂足为 N，求点 N 的坐标

9、 解 (1)抛物线 y2 2px(p0)的准线为 x p2，于是 4 p2 5， p 2， 抛物线方程为 y2 4x. (2) 点 A 的坐标是 (4,4)，由题意得 B(0,4)， M(0,2)又 F(1,0)， kFA 43. MN FA， kMN 34. 又 FA 的方程为 y 43(x 1)， 故 MN 的方程为 y 2 34x，解方程组得 x 85， y 45， N 的坐标为 ? ?85， 45 . B 能力提升练 1过抛物线 x2 4y 的焦点 F 作直线 AB， CD 与抛物线交于 A， B， C， D 四点，且 AB CD，则 FA FB FC FD 的最 大值等于 ( ) A

10、 4 B 16 C 4 D 8 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 依题意可得， FA FB (|FA | FB |) 又因为 |FA | yA 1， |FB | yB 1， 所以 FA FB (yAyB yA yB 1) 设直线 AB 的方程为 kx 1(k0) ， 联立 x2 4y，可得 x2 4kx 4 0， 所以 xA xB 4k， xAxB 4. 所以 yAyB 1， yA yB 4k2 2. 所以 FA FB (4k2 4) 同理 FC FD ? ?4k2 4 . 所以 FA FB FC FD ? ?4k2 4k2 8 16. 当且仅当 k 1 时等号成立 答案 B 2 (20

11、18 吉大附中第七次模拟 )过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F的直线与双曲线 x2 y23 1 的一条渐近线平行，并交抛物线于 A， B 两点，若 |AF|BF|，且 |AF| 2，则抛 物线的方程为 ( ) A y2 2x B y2 3x C y2 4x D y2 x 解析 抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 的坐标为 ? ?p2， 0 ，准线方程为 x p2，与双曲线 x2 y23 1 的渐近线方程为 y 3x，由于过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 的直线与双曲线 x2 y23 1 的一条渐近线平行，并交抛物线于 A， B 两点，且 |AF|BF|， 所以可设直线 AB

12、方程为： y 3? ?x p2 ， 设 A(x0， y0)? ?x0p2 ， 则 |AF| x0 p2 2， x0 2 p2， 由 x0p2可得 00)相切于点 M，且 M 为 线段 AB 的中点若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 _ 解析 如图， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)， 则? y21 4x1，y22 4x2， 两式相减得， (y1 y2)(y1 y2) 4(x1 x2) 当 l 的斜率 k 不存在时，符合条件的直线 l 必有两条 当 k 存在时， x1 x2， 则有 y1 y22 y1 y2x1 x2 2， 又 y1 y2 2y

13、0，所以 y0k 2. 由 CM AB，得 k y0 0x0 5 1， 即 y0k 5 x0，因此 2 5 x0， x0 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 M 必在直线 x 3 上将 x 3 代入 y2 4x， 得 y2 12，则有 2 34(为保证有 4 条，在 k 存在时， y00) ， 所 以 40) (1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程 ； (2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. 求证：线段 PQ 上的中点坐标为 (2 p， p)； 求 p 的取值范围 解 (1)抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 ? ?p2，

14、0 ，由点 ? ?p2， 0 在直线 l： x y 2 0上，得 p2 0 2 0，即 p 4，所以抛物线 C 的方程为 y2 8x. (2)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，线段 PQ 的中点 M(x0， y0) 因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称，所以直线 l 垂直平分线段 PQ，于是直线 PQ 的斜率为1，则可设其方程为 y x b. 由? y2 2px，y x b， 消去 x 得 y2 2py 2pb 0.(*) 因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 y1 y2， 从而 (2p)2 4( 2pb)0，化简得 p 2b0. 方程 (*)的两根为 y1,2 p p2 2pb， 从而 y0 y1 y22 p. 因为 M(x0， y0)在直线 l 上，所以 x0 2 p. 因此，线段 PQ 的中点坐标为 (2 p， p) 因为 M(2 p， p)在直线 y x b 上， 所以 p (2 p) b，即 b 2 2p. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 知 p 2b0，于是 p 2(2 2p)0，所以 p43. 因此， p 的取值范围是 ? ?0， 43 .