适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《22平面解析几何（一）》.doc

1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题平面解析几何（一）教学目的教学内容一、 知识网络平面直角坐标系二、命题分析从近几年各省份的高考信息可以看出，高考对本单元的命题呈现如下特点：(1)高考题型中选择、填空、解答题均有所涉及，分值约占20分左右，比重较高(2)在命题中，主要考查圆的方程的求法及直线与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质，直线与圆锥曲线的位置关系，也是本单元的重点内容(3)与以往的高考相比，命题方向趋于稳定，难度有所下降，但对于计算能力的考查有所提高三、复习建议1本单元知识特点：(1)直线与方程、圆与方程是解析几何的基础圆锥曲线是解析几

2、何的核心，也是高考重点考查的内容之一(2)概念、公式较多，用坐标法研究平面几何的思想在解题中显得内容多、难度大、综合性较强(3)注重常规题型及常规方法在解决问题中的作用2在复习过程中应特别注意：(1)与直线有关的各种题型解题方法的熟练应用(2)与圆锥曲线有关的定义、方程、图像、几何性质及应用(3)重视直线与直线位置关系的灵活应用，在解决直线与圆锥曲线有关问题时，注意与“距离”、“中点”、“弦长”相关的问题的解法(4)注意数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类整合思想在解题中的渗透(5)加强计算能力的强化训练，力求解题的准确率，进一步提升得分能力四、知识讲解第一节 直线方程（一）高考

3、目标考纲解读1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直；3掌握确定直线位置的几何要素；4掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系考向预测1直线的倾斜角和斜率、直线的方程以及两直线的位置关系是高考的热点；2高考题主要以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题目；3直线也常和圆锥曲线结合，以解答题的形式出现，属中高档题（二）课前自主预习知识梳理1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫做直

4、线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为 .倾斜角的范围为.(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan，倾斜角是90的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.2直线方程的五种形式3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为；(2)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为；(3)若x1x20，且y1y2时，直线即为y轴，方程为；(4)若x1x2，且y1y20时，直线即为x轴，方程为.（三）基

5、础自测1设直线l的方程为xycos30(R)，则直线l的倾斜角的范围是()A0，)B. C. D.答案C 解析当cos0时，方程变为x30，其倾斜角为；当cos0时，由直线方程可得斜率k.cos1,1且cos0，k(，11，)，即tan(，11，)，又0，)，.综上知倾斜角的范围是，故选C.2经过点A(1,2)，并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有()A1条 B2条 C3条 D4条答案B解析设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则ab若ab0，则直线方程为ykx直线过A(1,2)，k2，直线方程为y2x若a0，b0，则直线方程为1直线过A(1,2)，则1若ab，则ab3，直线方程为xy30满

6、足条件的直线有2条，故选B.点评本题引起分类讨论的因素是直线是否过原点. 容易漏解的原因是忽略直线过原点的情况. 3点P(x，y)在以A(3,1)，B(1,0)，C(2,0)为顶点的ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是()A. B. C. D.答案D 解析令k，则k可以看成过点D(1,2)和点P(x，y)的直线斜率，显然kDA是最小值，kBD是最大值由于不包含边界，所以k.4若点A(2，3)是直线a1xb1y10和a2xb2y10的公共点，则相异两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是()A2x3y10 B3x2y10 C2x3y10 D3x2y10答案A解析2a13b1

7、10,2a23b210，(a1，b1)，(a2，b2)是直线2x3y10上的点5已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于_答案3解析线段AB的方程为1(0x3)，y4x，代入y得xyx24x，由二次函数性质知，当x0,3时，xy的最大值为3.6直线xsiny20(R)的倾斜角的取值范围为_解析由已知，直线的斜率ksin，R.所以k.当0k时，直线的倾斜角满足：0；当k0时，直线的倾斜角满足：.直线倾斜角的取值范围为.7求下列直线l的方程：(1)过点A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是(2)过点A(2,1)，它的倾斜角是直线l1：3x4y50的倾斜角的一

8、半；(3)过点A(2,1)和直线x2y30与2x3y20的交点解析(1)设直线l的倾斜角为，则sin，tan，由斜截式得yx2，即3x4y80或3x4y80.(2)设直线l和l1的倾斜角分别为，则.又tan，则，解得tan3或tan(舍去)由点斜式得y13(x2)，即3xy50.(3)解方程组，得，即两条直线的交点为(5，4)由两点式得，即5x7y30.（四）典型例题1.命题方向：直线的倾斜角与斜率例1已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,1)和Q(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围分析求m的范围，关键是能够画出它们的图像，结合图像求解，能够知道直线l过定点(0

9、，1)解析当m0时，直线l的方程为x0，显然l与PQ相交当m0时，kPA2，kQA，l：y1x.因为l与线段PQ相交，或2，m或m.所以m的取值范围为.点评解答已知直线过定点A且与已知线段PQ有交点，求其中参数的取值范围问题时，常用数形结合法，求出定点A与线段PQ的两个端点连线的斜率，根据图形列出不等式组，解不等式组即可注意：研究两直线的位置关系时，一定要注意斜率不存在的情况跟踪练习1：函数yasinxbcosx的一条对称轴方程为x ，则直线axbyc0的倾斜角为()A45B60 C120 D135答案D解析令f(x)asinxbcosx，f(x)的一条对称轴为x，f(0)f，即ba，1.直线

10、axbyc0的斜率为1，倾斜角为135.2.命题方向：直线方程例2根据所给条件求直线的方程(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin(00，b0)，A(a,0)，B(0，b)，解得所求的直线方程为1，即2x3y120.方法二设直线l的方程为y2k(x3)，令y0，得直线l在x轴上的截距a3，令x0，得直线l在y轴上的截距b23k.(3)(23k)24.解得k.所求直线方程为y2(x3)即2x3y120.点评求直线的方程

11、，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法确定其中的参数，待定系数法求直线方程的步骤：设所求直线的方程的某种形式；由条件建立所求参数的方程(组)；解这个方程(组)求出参数；把参数的值代入所设的方程.（五）思想方法点拨：1倾斜角和斜率的关系(1)斜率k是一个实数，每条直线存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90的直线无斜率，当倾斜角90时，ktan.(2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数ktan的单调性，当取值为0，)，由0增大到()时，k由0增大到，当(，)时，在此区间内由()增大到()时，k由负无穷大趋近于0.解决此类问题时，也可采用数形结合思想

12、，借助图形直观作出判断2各种形式的直线方程的特点当直线没有斜率(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式求直线方程，但都可以写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)的形式直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的面积比较方便直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式3求直线方程要理解和掌握不同形式的直线方程之间互化的方法和用途在建立直线方程时，通常根据给出的两个独立条件，采用适当的形式例如，已知一点的坐标，求过

13、这点的直线，可用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距等根据条件建立直线的方程，根据方程研究直线的性质，体现了数形结合的思想，有利于培养学生数形转化的意识与能力，提高思维的灵活性和严密性在学习过程中，找到知识的“生长点”，善于将未知转化为已知善于发现问题、提出问题、解决问题，弄清知识间的联系与转化4“截距”与“距离”是两个不同的概念，x轴上的截距是直线与x轴的交点的横坐标，y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标，它们可能是正实数，也可能是负实数或零，而距离则是大于或等于零的实数(六)课后强化作业一、选择题1(2011聊城模拟)关于直线的倾斜角与

14、斜率，下列说法正确的是()A所有的直线都有倾斜角和斜率B所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C直线的倾斜角和斜率有时都不存在D所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角答案B解析所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90的直线不存在斜率2已知直线的方程分别为l1：xayb0，l2：xcyd0，它们在坐标系中的关系如图所示，则()Ab0，d0，a0，dcCb0，ac Db0，a0，0，从而ca0，b0.3若直线2axby40(a、bR)始终平分圆x2y22x4y10的周长，则ab的取值范围是()A(，1 B(0,1 C(0,1) D(，1)答案A解析由题意知直线过圆心(1，2)，2a2b40，ab2，a

15、b，ab1.4已知直线l1yx，l2axy0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在(0，)内变动时，a的取值范围是()A(，1)(1，) B(，) C(，1) D(1，)答案A解析因为k11，k2a，由数形结合知，直线l2的倾斜角(，)(，)，所以直线l2的斜率a(，1)(1，)5过点P(1,2)且方向向量为a(1,2)的直线方程为()A2xy0 Bx2y50 Cx2y0 Dx2y50答案A解析因为方向向量a(1,2)，所以直线的斜率k2，又过点P(1,2)，所以由点斜式求得直线方程为2xy0.6(2011山东济宁)已知点A(1,3)，B(2，1)，若直线lyk(x2)1与线段AB相交，则k的取

16、值范围()Ak Bk2 Ck或k2 D2k答案D解析如图，l过P(2,1)，kPAkkPB，kPA2，而kPB，2k.7过抛物线y24x的焦点，且与圆x2y22y0相切的直线方程是()A.xy30，y0B.xy30，y0C.xy30，xy30D.x3y30，x3y30答案A解析抛物线焦点F(，0)，圆的方程x2(y1)21，由图知过焦点F且与圆相切的直线有两条，其中一条是y0故排除C、D.另一条斜率小于0，故选A.8已知f(x)log2(x1)，且abc0，则，的大小关系是()A. B.C. D.答案B解析作函数f(x)log2(x1)的图像，易知表示直线的斜率，故选B.二、填空题9一条直线l

17、过点P(1,4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则AOB的面积最小时直线l的方程为_答案4xy80解析设l：1(a，b0)因为点P(1,4)在l上，所以1.由12ab16，所以SAOBab8.当，即a2，b8时取等号故直线l的方程为4xy80.10(2009江西理)设直线系M：xcos(y2)sin1(02)，对于下列四个命题：AM中所有直线均经过一个定点B存在定点P不在M中的任一条直线上C对于任意整数n(n3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号)答案BC解析考查直线系方程及直线恒过定点问

18、题因为xcos(y2)sin1，所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d1.即M为圆C：x2(y2)21的全体切线组成的集合，从而M中存在两条平行直线，所以A错误又因为点(0,2)不在任何直线上，所以B正确对任意n3，存在正n边形使其内切圆为圆C，故C正确M中的直线能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误，故命题中正确的序号是B，C.11已知aR，直线(1a)x(a1)y4(a1)0过定点P，点Q在曲线x2xy10上，则PQ连线斜率的取值范围是_答案3，)解析P(0,4)，设Q(x，y)，则y(x0)，k241233.三、解答题12过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l12xy

19、20与l2xy30之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程分析设点A(x，y)在l1上，则点A关于点P的对称点B(6x，y)在l2上，代入l2的方程，联立求得交点，从而求得直线方程解析方法一设点A(x，y)在l1上，由题意知，点B(6x，y)，解方程组得，k8.所求的直线方程为y8(x3)，即8xy240.方法二设所求的直线方程yk(x3)，则，解得由，解得P(3,0)是线段AB的中点，yAyB0，即0，k28k0，解得k0或k8.又当k0时，xA1，xB3，此时3，k0舍去，所求的直线方程为y8(x3)，即8xy240.方法三设点A(x1，y1)在l1上，点B(x2，y2)在l2上，则，解

20、得或kkAB8，所求的直线方程为8xy240.13已知i(1,0)，j(0,1)，经过原点O以uimj为方向向量的直线与经过定点A(0,1)，以vmij为方向向量的直线相交于点P，其中mR，当点P变动时，试问是否存在一个定点Q，使得|PQ|为定值？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由解析uimj(1,0)m(0,1)(1，m)，vmijm(1,0)(0,1)(m，1)，设P(x，y)，则(x，y)，(x，y1)u，v，mxy0，m(y1)x0，消去m得x22，即，故存在一点Q，使得|PQ|为定值.14已知抛物线y24x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为

21、M、N.求证：直线MN必过一定点解析由题设知F(1,0)，直线AB的斜率存在且不为零，设lAByk(x1)(k0)，代入y24x，得k2x22(k22)xk20，得xM，又yMk(xM1)，故M(，)因为CDAB，所以kCD，同理可得N(2k21，2k)所以直线MN的方程为(2k21)(y2k)(2k)(x2k21)，整理得yk2(x3)ky0，因为该方程对任意的k(k0)恒成立，故解得x3，y0.故直线MN恒过定点(3,0)点评有些题目在解答时要引入参数，参数的个数可以是一个，也可以是多个，基本的原则是在便于解答问题的前提下，参数的个数越少越好15有一个附近有进出水管的容器，每单位时间进出的

22、水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系分析本题是一个实际应用问题，综合性较强，通过分析题意可知是一个分段函数问题，每一段都是一次函数，即直线的方程因此，由直线的点斜式方程即可求出解析当0x10时，直线段过点O(0,0)，A(10，20)，所以kOA2，可得点斜式方程为y2x.当10x40时，直线段过点A(10,20)，B(40,30)，所以kAB，可得点斜式方程为y20(x10)，即yx.当0x40时，由物理知识可知，直线的斜率就是相应注水或放水的速度设

23、注水的速度为V1，放水的速度为V2，在第段中，是只注水，所以V12，在第段中，是既注水又放水的“合成”，所以此时的速度为V1V2，所以V2.所以当x40时，k，又过点B(40,30)，可得点斜式方程为y30(x40)，即yx.若y0，x58，此时到C(58,0)为止综上所述，y第二节 直线的位置关系与距离公式（一）高考目标考纲解读1能根据两直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离考向预测1平面内两直线的两种特殊位置关系平行、垂直的概念及性质是近几年高考的热点2对两直线位置关系的判断、两直线的交点坐标、距离公式

24、的考查主要是以选择、填空题形式出现，解决距离问题要注意转化思想的应用（二）课前自主预习知识梳理1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k2，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直2线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式3直线l1A1xB1yC10与l2A2x

25、B2yC20的交点坐标就是的 4点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：|AB|5点P(x0，y0)到直线lAxByC0的距离：d.6两平行线间距离：两平行直线l1AxByC10与l2AxByC20间的距离为d.（三）基础自测1(2010安徽文)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案A解析该题考查直线方程的求法(点斜式)所求直线斜率为，过点(1,0)由点斜式y(x1)，即x2y10.2(2009安徽文)直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()A3x2y10B3x2y70C2x3y50 D2x3y80

26、答案A解析本题考查直线方程的点斜式，以及两条的垂直关系直线l与直线2x3y40垂直，直线l的斜率k，又直线l过点(1,2)，其方程为y2(x1)，即3x2y10.3曲线yk|x|及yxk(k0)能围成三角形，则k的取值范围是()A0k1 B01 Dk1 答案C解析数形结合法在同一坐标系中作出两函数的图像，可见k1时围不成三角形，k1时能围成三角形4(2011庐江模拟)若直线1通过点M(cos，sin)，则()Aa2b21 Ba2b21 C.1 D.1答案D解析直线1通过点M(cos，sin)，点M在单位圆上，原点到直线1的距离d1，由点到直线的距离公式有11，故选D.5(2009全国文)若直线

27、m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号是_(写出所有正确答案的序号)答案解析本题主要考查直线的有关知识l1，l2之间距离d，m被l1与l2所截得的线段长为2，m与l1的夹角为30，l1，l2的倾斜角为45，m的倾斜角为15或75.6若直线L1：ax2y60与直线L2：x(a1)ya210，则L1L2时，a_，L1L2时，a_.答案1，解析当a0时，L1：y3，L2：xy10，显然L1不平行于L2，当a0时，L1L2的充要条件是，a1.L1L2的充要条件是a2(a1)0，a.综上所述，L1L2时，a1；L1L2时，

28、a.7已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a、b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解析(1)由已知可得l2的斜率必存在，k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过(3，1)，3ab40，即b3a4(不合题意)此种情况不存在，即k20.若k20，即k1，k2都存在，k1，k21a，l1l2，k1k21，即(1a)1又l1过点(3，1)，3ab40由联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2.即1a又坐标原点到这两条直线

29、的距离相等，l1l2.l1，l2在y轴上的截距互为相反数即b由联立解得或.a，b的值为2和2或和2.（四）典型例题1.命题方向：两直线的位置关系例1已知两条直线l1(3m)x4y53m，l22x(5m)y8.当m分别为何值时，l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？解析当m5时，显然l1与l2相交；当m5时，易得两直线l1和l2的斜率分别为k1，k2，它们在y轴上的截距分别为b1，b2.(1)由k1k2，得，m7且m1.当m7且m1时，l1与l2相交(2)由得解得m7.当m7时，l1与l2平行(3)由k1k21，得()1，解得m.当m时，l1与l2垂直点评运用有斜率的两直线平行或垂直的

30、条件处理两直线位置关系时，要紧紧抓住k1，k2及b1，b2之间的关系，需要注意的是“有斜率”这一前提条件，否则会使解题不严谨甚至导致错误如题：当k取何值时，两直线xky0和kx(1k)y0互相垂直？很可能漏掉解k0.判断两条直线平行、垂直、重合时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线的斜率均不存在的情况在两条直线l1、l2斜率都存在且不重合的条件下，才有l1l2k1k2与l1l2k1k21.在斜率不存在或斜率为零情况下讨论两直线位置关系宜用数形结合求解跟踪练习1已知两直线l1xysin10和l22xsiny10，试求的值，使得：(1)l1l2； (2)l1l2.解析(1)方法1：当sin0时

31、，l1的斜率不存在，l2的斜率为0，l1显然不平行于l2，当sin0时，k1，k22sin.欲使l1l2，只要2sin，即sin.k，kZ，此时两直线截距不相等当k，kZ时，l1l2.方法2：要使l1l2，需2sin210，且1sin0，即sin，k，kZ.当k，kz时，l1l2.(2)方法1：当sin0时，l1的斜率不存在，l2的斜率为0，故l1l2.此时k(kZ)当sin0时，k1，k22sin，要使l1l2，则k1k21，即(2sin)1，显然无解，故当k(kZ)时，l1l2.方法2：要使l1l2，需2sinsin0，即sin0，k(kZ)当k(kZ)时，l1l2.2.命题方向：两直线相

32、交问题例2过点A(0,1)作直线，使其被两直线l1：x3y100，l2：2xy80所截得的线段恰被点A所平分，求此直线的方程分析(1)利用待定系数法可用点斜式求解，注意检验斜率不存在的情形；(2)也可采用设点的方法，然后利用两点式求解解析解法1：过点A与x轴垂直的直线不合题意，所以设所求的直线方程为ykx1，与l1，l2分别交于M，N两点，所以联立方程组由解得xM，由得xN，因为点A平分线段MN，所以xMxN2xA，所以0k，所以所求直线方程为x4y40.解法2：设所求直线与l1，l2分别交于两点M，N，因为点N在直线l2：2xy80上，故可设N(t,82t)，因为点A(0,1)是线段MN的中

33、点，由中点坐标公式得M(t,2t6)因为点M在直线l1：x3y100上所以t3(2t6)100.解得t4，N(4,0)，所以所求直线方程为1，即x4y40.跟踪练习2 已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段之长为5，求直线l的方程分析如右图，由点斜式得l方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标(用k表示)，再利用|AB|5可求出k的值，从而求得l的方程解析解法1：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1、l2的交点分别为A(3，4)、B(3，9)，截得的线段AB的长|AB|49|5，符合题意. 若直线l的斜率存在，则设直线l

34、的方程为yk(x3)1(k1)解方程组得A(，)解方程组得B(，)由|AB|5.得()2()252.解之得，k0，直线l方程为y1.综上可知，所求l的方程为x3或y1.解法2：因为平行线间的距离d，如图，直线l被两平行线截得的线段为5，设直线l与两平行线的夹角为，则sin，45.因为两平行线的斜率是1，故所求直线的斜率不存在或零又因为直线l过点P(3,1)，所以直线l的方程为x3或y1.3.命题方向：对称问题例3求直线l1：y2x3关于直线l：yx1对称的直线l2的方程分析转化为点关于直线的对称，利用方程组求解解析解法1：由得直线l1与l2的交点坐标为(2，1)，在l1上任取一点A(0,3)，

35、则A关于直线l的对称点B(x1，y1)一定在l2上，由得，即B(2,1)l2的方程为y1(x2)即x2y0.解法2：设所求直线上一点P(x，y)，则在直线l1上必存在一点P1(x0，y0)与点P关于直线l对称由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2在直线l上，变形得，代入直线l1：y2x3得x12(y1)3，整理得x2y0.所以所求直线方程为x2y0.解法3：由知直线l1与l的交点坐标为(2，1)，设直线l2的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得，解得k(k2舍去)，点评对称问

36、题是解析几何中的一个重要题型，是高考热点之一两条曲线关于一条直线对称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决求点P(x0，y0)关于直线l：AxByC0的对称点Q(x1，y1)的坐标，可利用PQl及线段PQ被l平分这两个条件建立方程组求解，本题解法2就是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题的这是解这类问题的一个通法直线l2的方程为x2y0.跟踪练习3在直线l3xy10上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小分析(1)在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之和最小当两定点A、B在直线l的异侧时，由两点之间线

37、段最短及三角形中任意两边之和都大于第三边可知，点P为AB连线与l的交点；点P到两定点距离之和的最小值为|AB|的长度，如图甲，|PA|PB|AB|PA|PB|，当且仅当A、B、P三点共线时等号成立当两定点A、B在直线l的同侧时，作点A关于直线l的对称点A，连结AB交直线l于点P，则点P到两定点A、B的距离之和最小(2)在直线上求一点P，使P到两定点的距离之差的绝对值最大当两定点A、B在直线l的同侧时(AB连线与l不平行)，连接A、B两点所在的直线，交直线l于点P，如图乙，在l上任取一点P，则有|PB|PA|AB|PB|PA|.当P与P两点重合时，等号成立，最大的值为|AB|.当两定点A、B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A，连接AB，交l于点P，如图丙可知|PB|PA|AB|时，达到最大|PB|PA|AB|，当P与P点重合时，等号成立，最大值为|AB|.解析(1)如图(1)所示，设点B关于l