适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《23立体几何（三）几何》.doc

1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题立体几何（三）教学目的教学内容第六节 空间直角坐标系（一）高考目标考纲解读1了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2会推导空间两点间的距离公式考向预测1以考查空间点的坐标的求法为载体，考查空间想象能力2通过求两点间的距离考查运算能力（二）课前自主预习知识梳理1空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做 x轴，y轴，z轴叫做 通过每两个坐标轴的平面叫做 2.空间两点间的距离公式 设A(，)，B(，)，则=

2、 . （三）基础自测1点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()Ay轴上BxOy平面上 CxOz平面上 D以上答案都不对答案C解析因为点的y坐标为0，所以点在xOz平面上2已知点A(3,1，4)，则点A关于原点的对称点的坐标为()A(1，3，4) B(4,1，3) C(3，1,4) D(4，1,3)答案C解析空间中的一点关于原点对称的点的坐标应为原先每个点的坐标的相反数，故所求的点是(3，1,4)3(2011宝鸡模拟)在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为()A(1,2,3) B(1，2，3) C(1，2,3) D(1,2，3)答案B解析关于x轴对称的两点的横坐标

3、相等，纵坐标、竖坐标分别互为相反数4在空间直角坐标系中，所有点P(x,1,2)(xR)的集合表示()A一条直线 B平行于平面xOy的平面C平行于平面xOz的平面 D两条直线答案A解析点P的y坐标与z坐标不变，只有x坐标发生变化，在空间中表示一条直线5(2009安徽)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且M与A与B的距离相等，则M的坐标是_答案(0，1,0)解析本题考查空间两点间距离公式由题意可设M(0，y,0)，又|MA|MB|，解得y1.6已知A(3,5，7)和点B(2,4,3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为_答案解析求线段AB在坐标平面

4、yOz上的射影长，可先求A、B两点在yOz上的射影，然后再用两点间距离公式，A(3,5，7)在yOz上的射影是A(0,5，7)，B(2，4,3)在yOz上的射影是B(0,4,3)，故|AB|.7已知长方体的长、宽、高分别为AB4，BC3，BB15，以长方体的一个顶点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，将长方体的各个顶点的坐标表示出来. 解析根据题干所示的空间直角坐标系，由AB4，BC3，BB15，所以各点的坐标为O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,5)，A1(3,0,5)，B1(3,4,5)，C1(0,4,5)（四）典型例题1.命题方向：空间

5、中点的坐标例1设正四棱锥SP1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标分析建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜解析正四棱锥SP1P2P3P4如图所示，其中O为底面正方形的中心，P1P2Oy轴，P1P4Ox轴，SO在Oz轴上d(P1，P2)a，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，P1，P2.在面xOy内，P3与P1关于原点O对称P4与P2关于原点O对称，P3，P4.又d(S，P1)a，d(O，P1)a，在RtSOP1中，d(S，O)a，S.点评1.建立恰当的直角坐标系的原则：(1)充分利用几何体中的垂直关系；(2)尽可能的让

6、点落在坐标轴或坐标平面上提醒：不同的建系方法，求出的点的坐标也不同2求空间中点P的坐标的方法方法一：过点P作与x轴垂直的平面，垂足即为横坐标，同理可求纵、竖坐标方法二：从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，进而可求点P的坐标跟踪练习1：已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为A1C1的中点，N为AB1的中点，建立适当的坐标系，写出M，N两点的坐标解析如图，以A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系从M点分别向平面yAz，平面xAz，平面xAy作垂线正方体的棱长为2，M点到三个平面的距离分别为1,1,2.M点的坐

7、标为(1,1,2)同理，N点坐标为(1,0,1).2.命题方向：空间中两点的距离公式例3(1)给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；(2)在xOy平面内的直线xy1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小分析由坐标轴上坐标的特点设出所求点的坐标，然后由两点间的距离公式，列出方程求解解析(1)设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，得|P0P|，即，(x4)225，解得x9或x1.所以点P坐标为(9,0,0)或(1,0,0)(2)设点M(x,1x,0)，则|MN|，当x1时，|MN|min.所以点M坐标为(1,0,0)跟踪练习2空间坐标系中，A(1t,1

8、t，t)，B(2，t，t)，求|AB|的最小值解析|AB|，即|AB|的最小值为.（五）思想方法点拨：2空间坐标系中的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式(1)已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2的中点P的坐标为.(2)已知ABC的三个顶点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则ABC的重心G的坐标为，.(六)课后强化作业1已知A(1,0,1)、B(x，y,4)、C(1,4,7)，且A、B、C三点在同一条直线上，则实数x、y分别等于()Ax0，y1 Bx0，y2 Cx1，y1 Dx1，y2答案B解析由条件和，(x1，y,3)，(2,4

9、,6)，x0，y2.2已知向量a(1,0,1)，b(1,2,3)，kR，若kab与b垂直，则k()A5 B6 C7 D8答案C解析kab(k1，2，k3)，kab与b垂直，1(k1)2(2)3(k3)0，k7.3在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成的角的大小为()A60 B90 C105 D75答案B解析如图，设|1，cos12010.AB1BC1.4在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设a，b，c，则下列向量与相等的是()Aabc B.abc C.abc Dabc答案A解析()()abc.5a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)

10、，则ab与ab的夹角为()A0 B30 C60 D90答案D解析(ab)(ab)|a|2|b|20，(ab)(ab)6直线l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量n(2，0，4)，则()Al Bl Cl Dl与斜交答案B解析n2a，na，l.7已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则与的夹角为()A30B45C60D90答案C解析(0,3,3)，(1,1,0)设，则cos，60.8已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M分的比为，点N为B1B的中点，则|MN|()A. B. C. D.答案A解析.|.二、填空题9(2010广东理)若向量a(1,1，x)，b(1,

11、2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则x_.答案2解析ca(1,1,1)(1,1，x)(0,0,1x)(ca)(2b)(0,0,1x)(2,4,2)22x2.x2.10向量(a3b)(7a5b)，(a4b)(7a2b)，则a和b的夹角是_答案解析由已知得，即，即ab.cos，.11已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)，则以AB与AC为边的平行四边形的面积_答案7解析由题意可得：(2，1,3)，(1，3,2)，cos，.sin，以，为边的平行四边形面积为：S|sin，147.三、解答题12已知a(2，1,3)，b(1,0，2)(1)计算a2b；(2

12、)是否存在实数，使ab与z轴垂直，若存在求之，若不存在，说明你的理由解析(1)a2b(2，1,3)2(1,0，2)(0，1,7)(2)ab(2，1,3)(1,0，2)(2，1,32)，z轴的一个方向向量为e(0,0,1)，由(2，1，32)(0,0,1)320得，.存在实数，使向量ab与z轴垂直13如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求与夹角的余弦值解析记a，b，c，则|a|b|c|1，60，abbcca.(1)|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|.(2)bca，ab，|，|，(bca)

13、(ab)b2a2acbc1.cos.与夹角的余弦值为.14如图所示，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60，N是CM的中点(1)以，为基向量表示出向量，并求CM的长；(2)求BN的长解析(1)()，|2()2222222b2a2a22bacos602bacos602a2cos902a22abb2.CM|.(2)()()，|2(222222)(2a2b2)BN|.15如图，已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若ABOC，求证PMQN.证明()，()()()()()()()()()()

14、()(|2|2)由ABOC得|.0，即，PMQN.点评向量a垂直于向量b的充要条件是ab0，据此可以证明直线与直线垂直，在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为0.第七节 空间向量及运算（一）高考目标考纲解读1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直考纲解读4能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系5能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)6能用向量方

15、法解决直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何中的作用考向预测1以选择、填空的形式考查空间向量的概念、数量积及其运算性质2利用向量法判断或证明线面垂直、平行问题3利用空间向量来求空间角、距离等问题4运用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、点共面、线共面问题5空间向量的数量积及其坐标运算，是高考考查的重点，多以选择、填空题为主6利用空间向量证明或判断线面平行、垂直问题7利用空间向量求空间角、空间距离是重中之重，多以解答题形式出现（二）课前自主预习知识梳理1空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同加减运算遵循 ，数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数

16、量积运算 ；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标2共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在唯一的实数，使 .推论 如图所示，点p在l上的充要条件是： =+ta其中a叫做直线l的方向向量，,在l上取=a,则可化为= ，或=（1t）+t.(2)共面向量定理的向量表达式为：P= ，其中x,yR, ,为不共线向量，推论的表达式为 =+或对空间任意一点O有，= .(3)空间向量基本定理如果向量，是不共面的向量，是空间任意向量，那么存在唯一一组实数，使得= ，把 ，叫做空间的一个基底。 3.空间向量的数量积及运算律（1

17、）数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量，在空间任取一点O，作=，=，则 叫做向量与的夹角，记作 ，其范围是 ，若 = ，则称与 ，记作 。 两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则 叫做向量a，b的数量积，记作 ，即 (2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b ；交换律：ab ；分配律：a(bc) .4.空间向量的坐标表示及应用（1）数量积的坐标运算若=，=，则= 。 （2）共线与垂直的坐标表示设非零向量=，=，则 ， 。 （2）模、夹角的距离公式设=，=，则 。 5平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有 个，它们是 向量(

18、2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是 确定的6直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用直线的方向向量，直线的方向向量为如果 如果 直线l的方向向量为平面的法向量为平面的法向量为平面的法向量为7.利用空间向量求空间角（1）两条异面直线的夹角范围：两异面直线夹角的取值范围是 。 向量求法：设直线a,b的方向向量为，其夹角为，则有= = 。 (2)直线与平面的夹角定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的投影的夹角范围：直线和平面夹角的取值范围是 。向量求法：设直线l的方向向量为 ，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为 ，

19、则有 = 或=。(3)二面角二面角的取值范围是 二面角的向量求法：()若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图)()设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图) 8.利用空间向量求空间距离（1）点面距离的求法已知AB为平面的法向量，则B到平面的距离为= = .(2)线面、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解。（3）点到直线的距离设l是过点P平行与向量s的直线，A是直线l外一定点。设垂足为，则点A到直线l的距离d等于线段的长度，而向量在s上的投影的大小

20、等于线段的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d= . （三）基础自测1如图，空间四边形OABC中，a，b，c.点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则()A.abc Babc C.abc Dabc答案B解析由向量加法法则可知 2ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD等于()A5 B. C4 D2答案A3已知A(2,3，1)，B(2,1,3)，则与向量共线的单位向量是_答案(， )或(，)解析(4，2,4)，|6.与共线且同向时，单位向量e(，)，与共线且反向时，单位向量e(，)4(2010江西理)过正方体ABCDA1B1C1D1的

21、顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A1条B2条 C3条 D4条答案D解析如图，连接AC1，可知AC1与三边AB，AD，AA1所成角相等，由对称性知，另有3条直线过A且与三边所成角相等故选D.5设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k()A2 B4 C4 D2答案C解析，(2，4，k)(1,2，2)2，k2，k4.6如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A45B60 C90D120答案B解析以B点为坐标原点

22、，以BC、BA、BB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则B(0,0,0)，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，(0，1,1)，(2,0,2)，cos.EF与BC1所成的角为60.7.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A45 B135 C45或135 D90答案C解析cos，即45，其补角为135，两平面所成的二面角为45或135.（四）典型例题1.命题方向：空间向量的线性运算与基本定理例1已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且2，求满足xyz的

23、实数x，y，z的值分析结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用，表示出来，即可求出x，y，z的值解析方法一：如图所示取PC的中点E，连接NE，则.， 连接AC，则，().x，y，z.方法二：如图所示，在PD上取一点F，使F分所成比为2，连接MF，则，而，()，.x，y，z.方法三：()()()，x，y，z.点评(1)平面向量是空间向量的一种特殊情况，因此平面向量的重要运算法则及解题方法均可引申到空间向量中来(2)在向量的加减法运算中应注意其几何意义的应用(3)应注意数形结合的数学思想和方法跟踪练习1(1)如图所示，已知在空间四边形ABCD中，向量a，b，c，若M为B

24、C中点，G为BCD的重心，试用a、b、c表示下列向量：；.解析在ADM中，由线段中点的向量表示知()(ab)，由相反向量的概念知c.所以(ab)c(ab2c)ADG中，注意到三角形重心的性质，得cc(ab2c)(abc)(2)已知空间四边形ABCD中，G为BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点化简下列各表达式，并标出化简结果的向量；()分析本题是向量算式的化简问题，要注意观察所涉及的向量在图形中的位置特点，运用数形结合思想，选择恰当的解答方法解析如图(1)，G是BCD的重心，|，.又， 由向量加法的三角形法则可知.向量如图(1)所示如图(2)，分别取AB，AC的中点P，Q，连P

25、H，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有，而.又，().向量如图(2)所示点评(1)在向量运算中，要注意向量的方向，也就是要明确向量的起点和终点(2)平面向量仅是空间向量的一种特殊情况，其中的有关定义、定理、公式以及重要法则，均可引伸到空间向量中去.2.命题方向：数量积、模、夹角例3如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M、N分别是A1B1、A1A的中点(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；(3)求证：A1BC1M.分析建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示出各向量，利用两向量的数量积的夹角公式极模长公式求解解析如

26、图所示，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)|.BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，3，|，|.cos，.异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.(3)依题意得C1(0,0,2)，M(，2)，(1,1，2)，(，0)00.A1BC1M.点评利用向量数量积的坐标公式，求异面直线所成角的解题步骤：(1)根据几何图形的特点建立适当的空间坐标系(2)利用题设条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标(3)利用向量数量积的坐标公式，求得异面直线上有关向量的

27、夹角，并将它转化为异面直线所成的角跟踪练习2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.分析要证A1O平面GBD，只需证明直线A1O上的向量与平面GBD内的两个向量垂直即可同理可证，即A1OOG.又OGBDO，A1O平面GBD.点评证明线面垂直通常转化为证明线线垂直问题，即证明已知直线与平面内的两条相交直线垂直.3.命题方向：利用空间向量证明垂直和平行问题例1如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，ABBC，ABBC2，BB11，E为BB1的中点证明：平面AEC1平面AA1C1C.分析要证明两个平面垂直，由两个平面垂

28、直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1n20.证明由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，方向为正方向建立x，y，z轴，建立如上图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，.设平面的一个法向量为=（x,y,z）,则令x=1,得y=1,所以=（1,1,0）设平面AE的一个法向量为=（x,y,z），则令z=4,得x=1,y=-1.=（1，-1,4）=点评(1)证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直(2

29、)立体几何中的向量方法“三步曲”建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系根据运算结果的几何意义来解释相关问题跟踪练习3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：(1)平面ADE平面B1C1F；(2)平面ADE平面A1D1G；(3)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.解析以D为原点，、为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，G(0

30、,1,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)(1)设n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则n1，n1.，取y11，z12，n1(0,1，2)同理可求n2(0,1，2)n1n2，平面ADE平面B1C1F.(2)(2,0,0)(0,1，2)0，.(0,2,1)(0,1，2)0，.、不共线，D1G平面ADE.又D1G平面A1D1G，平面ADE平面A1D1G.(3)由于点M在AE上，所以可设(0,2,1)(0,2，)，M(2,2，)，(0,2，2)要使A1M平面DAE，需A1MAE，(0,2，2)(0,2,1)520，.故当AMAE时，A1

31、M平面DAE.4.命题方向：异面直线所成的角例3在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PBO60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值分析对(1)只需求出高PO，易得体积；对(2)可利用定义，过E点作PA的平行线，构造三角形再求解解析(1)在四棱锥PABCD中，在RtPOB中，BOABsin301，PO面ABCD，PBO60，POOB，POBOtan60，底面菱形的面积SABCD2.四棱锥PABCD的体积VPABCD22. (2)方法一：取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，EFP

32、A，DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)在RtAOB中，AOABcos30OP，在RtPOA中，PA，EF.在正三角形ABD和正三角形PDB中，DFDE，cosDEF.即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.方法二：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O；，由已知得，OAOC，OBOD1，A(0，0)，P(0,0，)，B(1,0,0)，D(1,0,0)，E，(0，)，|，cos.异面直线DE与PA所成角的余弦值为.点评高考中对异面直线所成的角的考查，一般出现在综合题的某一步，一般步骤为：平移：要充分挖掘图形的性质，寻找平行关系如利用“中点”特征等证明：证明所作的角是异面直线所成的角寻找：在

33、立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之取舍：因为异面直线所成的角的取值范围是090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角若用向量法，则转化为求两向量的夹角5.命题方向：线面角例4(2010新课标理)如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH为四棱锥的高，E为AD中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解析本小题主要考查空间的线面位置关系的判定，考查空间想象能力以及用向量知识解决数学问题的能力以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则

34、A(1,0,0)，B(0,1,0)(1)设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0)，则D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0)因为00，所以PEBC.(2)由已知条件可得m，n1，故C，D，E，P(0,0,1)设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，则即因此可以取n(1，0)由(1,0，1)，可得|cos，n|，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.点评在利用空间向量求线面角时，是首先求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角，再求得相应的线面角，但要注意：若平面法向量与直线方向向量的夹角为(可为锐角或钝角)，则直线与平面所成的角应满足sin|cos|.跟踪练习5 (2008宁夏、海南)如

35、图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小 解析如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)，连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以.(1)因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60，可得DP与平面AADD所成的角为30.6.命题方向：二面角例5如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF，BCFCEF90，AD，EF2.(1)求证：AE平面DCF；(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60. 解析：解法1：(1)过点E作EGCF交CF于G，连接DG.可得四边形BCGE为矩形又ABCD为矩形，所以AD綊EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AEDG.因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE平面DCF.(2)过点B作BHEF交FE的延长线