适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《17不等式（一》.doc

1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题不等式 (一)教学目的教学内容一、 知识网络二、命题分析1单纯考查不等式的题有，但很少，多数是以函数、方程、三角函数、数列、解析几何、向量、导数知识为载体综合考查不等式，突出不等式的工具性2所有对不等式的考查，关注的都是不等式的基础知识、基本技能和基本方法，不要求很强的技巧性，也不会出现过繁、过难的计算、变形. 3解不等式的试题与分式、根式和参数讨论常联系在一起，考查我们等价变换和分类整合的能力4推理与证明是新课程中非常重要的内容，在2012年高考中有可能成为考查的重点，三种题型都有可能若以选择题和填空题出现，则主要考查

2、归纳和类比推理的运用以及推理的有关概念问题等；而对常用的证明方法的考查主要以解答题的形式出现，可能是某个解答题中的一问，单独考查的可能性不大题目的难度会以中档题为主5探索性命题是近几年高考中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，通过归纳推理得到一个般性的结论，然后再要求给出证明归纳、猜想、证明是数学中发现新规律的一种主要方法，是归纳推理的一种重要体现，此类题型可能成为2012年高考的重点题型三、复习建议1不等式的学习应立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，因此在学习中应重点注意以下几点：(1)学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和

3、“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数运算法则为依据来解决问题(2)解某些不等式时，要与函数的定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想；解含参数不等式时要注重分类整合的思想(3)利用均值不等式求最值时，要满足三个条件：“一正，二定，三相等”(4)要强化不等式的应用意识，同时要注意不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数与方程思想、数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此力求画图解决问题2在推理证明的复习中，要准确把握概念，把握好各种证法的特点和步骤，注意灵活运用(1)对于合情推理，主要是掌握相关概念，会进行类比推理，能判断推理的类型(2)直接证明与间接证明主要渗透到其他知识板块中

4、，要注意在复习相应的板块时，培养选择合理证明方法的能力四、知识讲解第一节 不等式关系与不等式（一）高考目标考纲解读1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景考向预测1以考查不等式的性质为重点，同时考查不等式关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题2常以选择题的形式考查不等式的性质，主要在其他知识交汇点处命题（二）课前自主预习知识梳理1比较两个实数大小的法则设a，bR，则(1)ab；(2)ab；(3)ab；(2)ab，bc ；(3)ab；(4)ab，c0；ab，cb，cd；(6)ab0，cd0；(7)ab0 (nN且n2)；(8)ab0(nN且n2)3不等式

5、的一些常用性质(1)倒数性质ab，ab0b0,0c.0axb或axb0b0，m0，则真分数的性质：(bm0)假分数的性质：；0)（三）基础自测1(2009安徽)“acbd”是“ab且cd”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析“acbd”/ “ab且cd”，充分性不成立；又“ab且cd”“acbd”，必要性成立，故选A.2(2011浙江泉州模拟)若a、b、c为实数，则下列命题正确的是()A若ab，则ac2bc2 B若ababb2C若ab0，则 D若ab答案B解析对于选项A，c0时，ac2bc2；取a2，b1知选项C、D错，故选B.3(2011

6、吉林长春一模)使不等式ab成立的一个充要条件是()Aa2b2 B.lgb D.b2和，但algbab但0bb/ lgalgb.4设a、b为非零实数，若ab，则下列不等式成立的是()Aa2b2 Bab2a2b C. D.答案C解析abb2排除A；当a1，b2时ab2a2b，排除B；当ba0时，排除D；因为，a2b20，又ab，所以ab0，即0，所以，故选C.5(教材改编题)已知，则的取值范围是_答案(，0)解析，0，0.6(2011高密模拟)设a2，b2，c52，则a，b，c之间的大小关系为_答案abc解析a20，c520，且bc370，ab0，f(x)g(x)（四）典型例题1.命题方向：比较大

7、小例1(1)若xy0，b0且ab，试比较aabb与abba的大小解析(1)(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)22xy(xy)xy0，xy0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(2)根据同底数幂的运算法则aabbba()ab当ab0时，1，ab0，则()ab1，于是aabbabba.当ba0时，01，ab1，于是aabbabba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabbabba.点评实数大小的比较问题常常利用不等式的基本性质或“1，且b0ab”来解决，比较法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的判断跟踪练习1已知a、b、c满足：

8、a、b、cR，a2b2c2，当nN，n2时，比较cn与anbn的大小解析a、b、cR，an、bn、cn0.而nn.a2b2c2，01,02，n2，n2，nn1，anbnb，则acbc；(2)若ab，则ac2bc2；(3)若ababb2；(4)若ab；(5)若ab；(6)若cab0，则.分析考查不等式性质及举例说明，简单变形推导或证明，抽象归纳等利用相关知识解决有关问题的能力运用实数的基本性质及不等式的基本性质判断解析(1)因未知c的正负或是否为零，无法判断ac与bc的大小，为假命题(2)因c20时正确，c0不正确，为假命题(3)ab；aab，ab，bb2，为真命题(4)由性质定理：ab，为真命

9、题(5)例如：320，；命题是假命题ab.(6)ab0abcaab00ca0，命题为真点评不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，还要注意不等式性质定理中的条件是否为充要条件，不能用充分不必要条件的性质定理解不等式跟踪练习2设a0，b0，则以下不等式不恒成立的是()A(ab)4 Ba3b32ab2Ca2b222a2b D.答案B解析a0，b0，A中，(ab)24.当且仅当ab时，取“”号，A恒成立对于B：a3b32ab2a(a2b2)b2(ba)(ab)(a2abb2)(ab)0，不恒成立对于C：有a3b322a2b(a1)2(b1)20恒成立对于D：若，则D显然成立，若，

10、则|ab|()2.()()()20，显然成立.3.命题方向：利用不等式性质求范围例3设f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围分析易知1ab2,2ab4，只要将f(2)4a2b用ab和ab表示出来，再利用不等式性质求解4a2b的取值范围即可解析方法一：设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，Sf(2)10.53f(1)f(1)10，即5f(2)10.方法二：由得f(2)4a2b3f(1)f(1)f(2)4a2b3f(1)f(1

11、)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，5f(2)10.跟踪练习3：已知，求，的取值范围解析，得，.，.得，.又，0，0.（五）思想方法点拨：1不等式的性质对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用“似乎”、“是”、”很显然“的理由代替不等式的性质注意：不等式的性质应用很广泛，使用时要注意和等式的性质进行比较，要搞清性质成立的条件是否具备，做到有根有据，严谨科学2比较两个实数的大小要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，

12、至于确切值是多少无关紧要)在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如因式分解、配方法等对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定(六)课后强化作业一、选择题1若1a3，4b2，那么a|b|的取值范围是()A(1,3) B(3,6) C(3,3) D(1,4)答案C解析由4b20|b|4，4|b|0，又1a3.3a|b|3.故选C.2如果a、b、c满足cba，且acac Bbcac Ccb2ab2 Dac(ac)0答案C解析cba，且ac0，c0，bcac(ba)c0，ac(ac)0，A、B、D均正确b可能等于0，也可能不等于0.cb20，则

13、下列不等式成立的是()A|ba|1B2a2b Clg0 D0b001.故选D.(理)设ab0，则()Aa2abb2 Bb2aba2 Ca2b2ab Dabb2a2答案A解析ab0，则0ab，则a2abb0，则下列不等式中总成立的是()A. BabCab D.答案C解析解法1：由ab00b，故选C.解法2：(特值法)令a2，b1，排除A、D，再令a，b，排除B.5已知1a0，A1a2，B1a2，C，比较A、B、C的大小结果为()AABC BBAC CACB DBCA答案B解析不妨设a，则A，B，C2，由此猜想BAC.由1a0，AB(1a2)(1a2)2a20得AB，CA(1a2)0，得CA，BA

14、C.6设0ab，且ab1，则四个数，a,2ab，a2b2中最小的数是()A. B.a C2ab Da2b2答案B解析由0ab，且ab1，易知a，2aba2b2，又a2a2ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1，其中能推出“a、b中至少有一个大于1”的条件是()A B C D答案D解析必符合题意，中ab1，满足ab2，但a、b都等于1，排除A、B.中取a1，b2满足ab1，但a、b都小于1，排除C.8若ab1，P，Q(lgalgb)，Rlg，则()ARPQ BPQR CQPR DPRQ，即PQb1，lgalgb0.PQ，Q(lgalgb)lglgR，PQ0；bcad.若以其中两个为条件，余下

15、的一个作为结论，请写出一个正确的命题_答案或或解析，因为ab0，两边同乘以ab，所以bcad.，因为bcad，ab0，两边同乘以，所以.，因为，即0，且bcad，所以ab0.11(2011潮州模拟)比较大小：lg9lg11_1(填“”“”或“”)答案解析lg9lg1120，m2m220.0，.13已知x、y、z是互不相等的正数，且xyz1，求证：8.分析利用已知条件及不等式性质灵活运用“1”去推证解析x、y、z互不相等的正数，且xyz1，101010将三式相乘，得8.14建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的

16、采光条件越好问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由分析要确定住宅采光条件是变好了，还是变坏了，就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大，则采光条件变好了，否则采光条件变坏或没变解析设原来的窗户面积与地板面积分别为a，b，于是原来窗户面积与地板面积之比为，且10%.窗户面积和地板面积同时增加的面积为c，则现有窗户面积与地板面积比为，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较与的大小，采用作差比较法.因为a0，b0，c0，又由题设条件可知ab，故有10%.所以同时增加

17、相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了15设f(x)1logx3，g(x)2logx2(x0且x1)，试比较f(x)与g(x)的大小解析f(x)g(x)1logx32logx2logx3xlogx4logx.(1)当logx0时，或，即x或0xg(x)；(2)当logx0时，1，x，此时f(x)g(x)(3)当logx0时，或，即1x时，f(x)或0xg(x)；当x时，f(x)g(x)；当1x时，f(x)0)，a2(a(ba0，m0)（三）基础自测1(2010全国卷)已知函数f(x)|1gx|，若ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是()A(1，)B1，) C(2，) D2，)

18、答案C解析该题考查数形结合的思想和均值不等式作出y|lgx|的图像，ab，不妨设ab.f(a)f(b)，0a1，即lgalgb，即lgab0，ab1，ab，由均值不等式ab22.2(教材改编题)在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是()Ayx Bylgx Cy Dyx22x3答案D解析对于A，yx24(当x2时取等号)；对于B，x0，lgxR，ylgx2或y2(当x10或x时取等号)；对于C，y2(当x211，即x0时取等号)，而x0，y2；对于D，y(x1)222(当x1时取等号)3(2009天津理)设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4 C1 D.答案B解析

19、本小题主要考查等比中项的概念及均值不等式的应用根据题意得3a3b3，ab1，24.当ab时“”成立故选B.4若直线2axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值为()A. B. C2 D4答案D解析圆的标准方程为(x1)2(y2)24，圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心，2a2b20，即ab1，(ab)11224(等号在ab时成立)5(2011山东威海模拟)已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则的最小值是_答案4解析由已知易得x3y1，所以(x3y)2224，当且仅当时取得等号6某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元

20、/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨答案20解析设一年总费用为y万元，则y44x4x160，当且仅当4x，即x20时取等号，所以当x20吨时，一年的总费用最小7已知x0，y0.求证：(1x2)(1y2)4xy.证明x0，y0，1x22x0(当x1时取等号)，1y22y0(当y1时取等号)，(1x2)(1y2)2x2y4xy(当xy1时取等号)（四）典型例题1.命题方向：利用基本不等式证明例1已知a0，b0，ab1.求证：9.分析由不等式左边含字母a，b右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母a，b，不等号方向又不对，因ab1，能否把左边展开，实行

21、“1”的代换解析方法一因为a0，b0，ab1.所以112.同理12.所以52549.所以9(当且仅当ab时等号成立)方法二111，因为a，b为正数，ab1，所以ab2，于是4，8，因此189(当且仅当ab时等号成立)点评为了证明的需要，常将欲证不等式的两端或一端进行变形，其目的是为了利用有关的不等式性质“变形”的形式很多，常见的是拆、并项，也可乘一个数或加上一个数，“1”的代换法等证明不等式时，除了已知基本不等式的直接使用，还应掌握由已知不等式简单变形而得到的一些常用结论，如(a0，b0)；2(ab0)或2(ab0)；(ab)4(a0，b0)；a2b2c2abbcca等跟踪练习1(1)证明：若

22、a1，a2是正实数，则有a1a2；(2)请你把上述不等式推广到一般情形，并证明你的结论解析(1)因为a1，a2是正实数，所以a22a1，a12a2，故a2a12a12a2，即a1a2.(2)推广：a1，a2，an都是正实数，则有a1a2an.证明如下：因为a1，a2，an都是正实数，所以a22a1，a32a2，an2an1，a12an，故a2a3ana12(a1a2an)，即a1a2an.点评利用算术平均数与几何平均数的定理证明不等式是用综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为需求问题，其特征是以“已知”

23、看“可知”，逐步推向“未知”.2.命题方向：利用基本不等式求最值例2已知x0，y0且1，求xy的最小值分析此题为条件最值，考虑从条件能否得到xy的不等式，或能否转化为只含x或只含y的函数式，或“1”的代换解析方法一122xy24，当且仅当，即x4，y6时不等式取得等号方法二整体代换法xyxy2y3x22，即xy24.当且仅当2y3x，即x4，y6时不等式取得等号方法三三角换元法令sin2，cos2，(0，)，故xy24，当且仅当sin221，即x4，y6时不等式取得等号方法四1yx0，y0，即0，x2xy33324当且仅当x22，即x4时成立x4，y6时，xy取最小值24.点评用基本不等式求函

24、数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数的最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值，不管哪种题，哪种方法，在用基本不等式求最值时都必须要验证等号是否成立跟踪练习2(1)若正数x、y满足x2y1，求的最小值；(2)若x、yR，且2x8yxy0.求xy的最小值分析(1)第一小题注意1的代换与使用，也可以三角换元注意运用基本不等式时等号成立的条件(2)第二小题可消去一个变量，将xy用一个变量表示，再配凑出能运用基本不等式的条件解析(1)x、yR，

25、x2y1，33232.等号在且x2y1即y1，x1时成立(2)由2x8yxy0得y(x8)2x.x0，y0，x80，y.uxyxx(x8)1021018.等号在x8即x12，y6时成立点评第(1)题常有以下错误解法：1x2y2，2，24.错误的原因在两次运用基本不等式的时候取等号的条件矛盾(第一次须x2y，第二次须xy)第(2)小题也可以这样解：由已知得1，xy(xy)8218，(当且仅当，即x2y12时取“”)，xy的最小值为18.求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.3.命题方向：不等式

26、在实际问题中的应用例3(2009湖北文)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)(1)将总费用y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用解析本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用基本不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力(1)如图，设矩形的另一边长为am，则y45x180(x2)1802a225x360a360由已知xa360，得a，

27、所以y225x360(x0)(2)x0，225x210800y225x36010440.当且仅当225x时，等号成立即当x24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元跟踪练习3某食品厂定期购买面粉已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由解析(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨由题意知

28、，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)62619x(x1)设平均每天所支付的总费用为y1元，则y19x(x1)900618009x1080921080910989.当且仅当9x，即x10时取等号即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则y29x(x1)900618000.909x9720(x35)令f(x)x(x35)，x2x135，则f(x1)f(x2)x2x135.x2x10，x1x20,100x1x20.f(x1)f(x2

29、)0，f(x1)f(x2)即f(x)x，当x35时为增函数当x35时，f(x)有最小值，此时y20，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4 C. D.答案B解析2xy8(x2y)，故8(x2y)()2，(x2y)24(x2y)320解得x2y4或x2y8(舍去)x2y的最小值为4.4已知a，bR，ab，且ab2，则()Aab1 B1abCab1 Dab1答案D解析1()2，且ab，1.ab2，a，b同为正或ab0.若ab0，显然ab1；若a，b同为正，可得1()2()2ab，同理，由于ab，ab1.综上可得，ab1.5已知x0、y0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是()A0 B1 C2 D4答案D解析由等差、等比数列的性质得2224.仅当xy时取等号6(2011东营模拟)已知x