适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《16平面解析几何（二）》.doc

1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题平面解析几何（二）教学目的教学内容第三节 圆的方程（一）高考目标考纲解读1掌握确定圆的几何要素2掌握圆的标准方程与一般方程考向预测1利用待定系数法求圆的方程和已知圆的方程确定圆心和半径是考查的重点2本部分内容在高考中常以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题（二）课前自主预习知识梳理1圆的定义(1)在平面内，到的距离等于的点的集合叫圆(2)确定一个圆最基本的要素是和 2圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，其中为圆心，r为半径3圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是 ，其中圆心为，半径r.4点与圆的位

2、置关系点和圆的位置关系有三种圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(1)点M在 (x0a)2(y0b)2r2；(2)点M在 (x0a)2(y0b)2r2；(3)点M在 (x0a)2(y0b)2r2.（三）基础自测1(2010福建理)以抛物线y24x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()Ax2y22x0 Bx2y2x0Cx2y2x0 Dx2y22x0答案D解析抛物线y24x的焦点是(1,0)圆的标准方程为(x1)2y21，即x2y22x0.2(2009辽宁理)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(

3、y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22答案B解析考查两平行直线的距离公式、直线与圆相切的性质及圆的标准方程解：直线yx与yx4均与圆相切，设两直线间距离为d，则圆的半径r，设圆心坐标为(a，a)，则a1，当a1时，圆不与直线yx4相切，a1.圆的方程为(x1)2(y1)22，选B.3(教材改编题)方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是()A.m1 Cm Dm1答案D解析原方程表示圆(4m)2(2)245m0，解得m1.4已知x2y24x2y40，则x2y2的最大值为()A9 B14 C146 D146答案D解析方程表示以(2,1)为圆心，半径r3的圆，令d，则d为

4、点(x，y)到(0,0)的距离，dmaxr3，x2y2的最大值为(3)2146.5圆x2(y1)21的圆心坐标是_，如果直线xya0与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是_答案(0，1)，1a1解析可知圆心坐标为(0，1)直线xya0与该圆有公共点，则1，1a1.6已知BC是圆x2y225的动弦，且|BC|6，则BC的中点的轨迹方程是_答案x2y216解析设BC中点为P(x，y)，则OPBC，|OC|5，|PC|3，|OP|4，x2y216.7根据下列条件求圆的方程：(1)经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x10y90上；(2)经过P (2,4)，Q(3，1)两点，并且在x轴

5、上截得的弦长等于6.解析(1)解法1：AB的中垂线方程为3x2y150，由解得圆心为C(7，3)，又|CB|.故所求圆的方程为(x7)2(y3)265.解法2：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得，解得所以所求圆的方程为(x7)2(y3)265.(2)设圆的方程为x2y2DxEyF0.将P、Q点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0设x1，x2是方程的两根由|x1x2|6有D24F36由得D2，E4，F8或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.（四）典型例题1.命题方向：求圆的方程例1根据下列条件，求圆的方程(1)圆心在原点且圆周被直线3x

6、4y150分成12两部分的圆的方程；(2)求经过两已知圆C1x2y24x2y0与C2x2y22y40的交点，且圆心在直线l2x4y1上的圆的方程分析用直接法或待定系数法解析(1)如图，因为圆周被直线3x4y150分成12两部分，所以AOB120.而圆心到直线3x4y150的距离d3，在AOB中，可求得OA6.所以所求圆的方程为x2y236.(2)由题意可设圆的方程为(x2y24x2y)(x2y22y4)0，(1)即(1)x2(1)y24x(22)y40，圆心坐标为(，)，代入l2x4y1，得3.所以所求圆的方程为x2y23xy10.点评无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此

7、求圆的方程，应用三个条件来求一般地，已知圆心或半径的条件，选用圆的标准式，否则选用一般式另外，还有几何法可以用来求圆的方程要充分利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径，弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等跟踪练习1求与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截得的弦长为2的圆的方程分析因题中涉及圆心及切线，故设标准形式较简单解析解法1设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线yx0的距离为，r2()2()2，即2r2(ab)214.由于所求的圆与x轴相切，r2b2.又所求圆心在直线3xy0上，3ab0.联立解得a1，b3，r29或a1，

8、b3，r29.故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29.解法2设所求的圆的方程是x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心为(，)，半径为.令y0，得x2DxF0.由圆与x轴相切，得0，即D24F.又圆心(，)到直线yx的距离为.由已知，得()2()2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圆心(，)在直线3xy0上，3DE0.联立解得D2，E6，F1或D2，E6，F1.故所求圆的方程是x2y22x6y10或x2y22x6y10.点评求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法，即用“待定系数法

9、”求圆的方程.2.命题方向：与圆有关的最值问题例2已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值分析根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解解析(1)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为

10、2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.点评与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题跟踪练习2已知点P(x，y)是圆(x2)2y21上任意一点(1)求P点到直线3x4y120的距离的最大值和最小值；(2)求x2y的最大值和最小值；(3)求

11、的最大值和最小值解析(1)圆心C(2,0)到直线3x4y120的距离为d.P点到直线3x4y120的距离的最大值为dr1，最小值为dr1.(2)设tx2y，直线x2yt0与圆(x2)2y21有公共点1.2t2，tmax2，tmin2.(3)设k，直线kxyk20与圆(x2)2y21有公共点，1.k，kmax，kmin.3.命题方向：与圆有关的轨迹问题例3如图，已知点A(1,0)与点B(1,0)，C是圆x2y21上的动点，连结BC并延长至D，使|CD|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程解析设动点P(x，y)，由题意可知点P是ABD的重心，A(1,0)、B(1,0)，令动点C(x0，y0)，则

12、D(2x01,2y0)，由重心坐标公式得：，代入x2y21得，所求轨迹方程为2y2(y0)点评本题求轨迹方程的方法叫相关点法用相关点法求轨迹方程的基本步骤：(1)设所求点的坐标为P(x，y)(若x，y与题中已知的字母有冲突，则将这些已知字母全部替换成其他字母)，与P相应的符合某已知曲线的点的坐标设为Q(x0，y0)；(2)建立二者之间的等量关系，从而求得x0f(x，y)，y0g(x，y)；(3)将Q(x0，y0)的坐标代入点Q满足的方程进行求解，等价化简得所求轨迹方程注意：求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形跟踪练习3点P(4，2

13、)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21答案A解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，则x02y024，又设P、Q连线中点为M(x，y)，则，代入x02y024中得，(x2)2(y1)21，故选A.4.命题方向：圆方程的综合问题例4如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线yx分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线yx分别相切于C、D两点(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度分析求圆M的半径求圆M的方程求圆N的半径求圆N

14、的方程求弦长解析(1)M的坐标为(，1)，M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M的方程为(x)2(y1)21.设圆N的半径为r，连接MA，NC，OM，则MAx轴，NCx轴，由题意知：M，N点都在COD的平分线上，O，M，N三点共线由RtOAMRtOCN可知，OMONMANC，即r3，则OC3，则圆N的方程为(x3)2(y3)29.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦的方程是y(x)，即xy0，圆心N到该直线的距离d，则弦长为2.点评1.解决有关圆的问题，常利用数形结合的方法，结合圆的有关性质可简化运算，解题时注意转化与化归的数学思想的应用2直

15、线与圆相交所截得的弧，以及弧所对的圆周角或圆心角的有关问题，可转化为由弦心距、半弦长和半径所构成的直角三角形的三边之间的关系求解跟踪练习4已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y22x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的外接圆(点C为圆心)，求圆的方程解析解法1：设A、B两点坐标分别为，.由题设知.解得y12y2212，所以A(6,2)，B(6，2)或A(6，2)，B(6,2)设圆心C的坐标为(r,0)，则r64.因此，圆C的方程为(x4)2y216.解法2：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由题设知x12y22x22y22.又y122x1，y222x2，所以x122x1x

16、222x2，即(x1x2)(x1x22)0，由x10，x20，可知x1x2，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上设C点的坐标为(r,0)，则A点坐标为，于是有22r，解得r4，所以圆C的方程为(x4)2y216.（五）思想方法点拨1求圆的方程通常用待定系数法，若已知条件和圆心、半径有关，可先用已知条件求出圆心、半径，用圆的标准方程求解；若已知条件涉及圆过几点，往往用圆的一般方程；若所求的圆过已知两圆的交点(或一直线与一圆的交点)一般用圆系方程2确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a、b、r或

17、D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程3圆系方程(1)同心圆系(xx0)2(yy0)2r2，点(x0，y0)为定点，r为参数(2)过两已知圆C1：x2y2D1xE1yF10和C2：x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1yE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)注意：此圆系方程代表的圆不包含圆x2y2D2xE2yF20，因此用此方程时要注意检验C2是否符合题，当1时，方程变成一直线(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.这条直线是相交两圆的公共弦所在的直线(六)课后强化作业一、选择题1若曲线x2y22x6y10上相异两点P、Q关于直

18、线kx2y40对称，则k的值为()A1B1 C. D2答案D解析由条件知直线kx2y40是线段PQ的中垂线直线过圆心(1,3)，k2.2以双曲线1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是()Ax2y210x90 Bx2y210x160Cx2y210x160 Dx2y210x90答案A解析c291625，圆心C(5,0)，渐近线方程为yx，半径r4，圆方程(x5)2y216.3(2010广东文)若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是()A(x)2y25 B(x)2y25C(x5)2y25 D(x5)2y25答案D解析考查了圆的标准方程及点到直线的距离，

19、设圆心为(a,0)，由题意r，|a|5，a0，a5，方程为(x5)2y25.4(2009陕西理)过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为()A. B2 C. D2答案D解析本小题主要考查直线与圆的位置关系由题意得直线方程为xy0，圆是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，圆心到直线xy0的距离d1，弦长l22，故选D.5已知直线ykx1与圆x2y21相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，则k的值为()A B1 C D答案A解析直线ykx1过定点(0,1)，可以将直线方程代入圆的方程，求出点P，Q的坐标，根据向量数量积的坐标运算公式列出方程解决设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联

20、立两个方程得x2(kx1)21，即(1k2)x22kx0，解得x10，x2，则y11，y2k()1，故x1x2y1y20()1，即k23，故k.6若圆(x3)2(y5)2r2上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1，则半径r的取值范围是()A(4,6) B4,6) C(4,6 D4,6答案A解析圆心到直线的距离为5，故只有4r6时，圆上才有两点到直线的距离为1.7(2011潍坊模拟)对于aR，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，以为半径的圆的方程为()Ax2y22x4y0 Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0答案C解析直线方程可化为(x1)axy10，

21、易得直线恒过定点(1,2)故所求圆的方程(x1)2(y2)25，即为x2y22x4y0.8已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为12，则圆C的方程为()A.2y2 B.2y2Cx22 Dx22答案C解析由题意知，圆心在y轴上且被x轴所分劣弧所对圆心角为.设圆心(0，a)，半径为r，则rsin1，rcos|a|，解得r，|a|，即a.二、填空题9(2008重庆)已知圆C：x2y22xay30(a为实数)上任意一点关于直线l：xy20的对称点都在圆C上，则a_.答案2解析由条件知，圆心在直线l：xy20上，代入得a2.10过点C(1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的

22、方程是_答案(x2)2y210解析由圆心在x轴上，可设圆心为(a,0)，圆的方程为(xa)2y2r2，圆心过C、D两点，将其坐标代入圆的方程，得，解得所求圆的方程为(x2)2y210.11(文)一条光线从点A(1,1)出发，经x轴反射到C：(x2)2(y3)21上，则光路的最短路程为_答案4解析A(1,1)关于x轴的对称点B(1，1)，C(2,3)，|BC|14.(理)(2010江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_答案(13,13)解析本题主要考查了直线与圆的位置关系，求解的关键在于根据图形进行合理的转化，突出

23、考查考生分析问题、解决问题的能力因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即1，解得13c0，解得b0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交D r 0相切D r 0相离D r 02.圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r12(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20).位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1r2无解相外切dr1r2一解相交|r1r2|d0)上，则以P为切点

24、的切线方程为.（三）基础自测1(2010江西理)直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范是 （ ）A. B.0，)C. D.答案A解析如图，取MN中点为H，连CH、CN，则CHN为Rt，又HN.R2，故CH1.由HN知圆心到直线的距离等于CH1.k0，故斜率范围是，0，选A.2直线axy0(a0)与圆x2y29的位置关系是()A相离 B相交 C相切 D不确定答案B解析圆心O(0,0)到直线axy0的距离d13.3圆x2y24y0在点P(，1)处的切线方程为 ()A.xy20 B.xy40 C.xy40 D.xy20答案A解析解法1：设切线y1k(x)，

25、即kxyk10.则圆心(0，2)到切线距离等于圆的半径2，2，k，切线方程为xy20.解法2：切点A(，1)与圆心C(0，2)的连线应与切线垂直切线斜率k，切线方程为y1(x)，即xy20.解法3：切点A(，1)在切线上，排除B、C、D.4(浙江宁波)若直线axby1与圆x2y21相交，则点(a，b)与圆的位置关系()A圆上 B圆外 C圆内 D不确定答案B解析圆心到直线的距离d1，点(a，b)在圆外5(2010天津文)已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_答案(x1)2y22解析本题考查了求解圆的方程令y0，x1，圆心坐标为(1,0)，由点到直线的

26、距离公式得，圆的半径R，圆的标准方程为(x1)2y22.6若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.答案1解析依题意，画出两圆的位置如图，公共弦为AB，交y轴于点C，连结OA，则|OA|2.两圆方程相减得，2ay2，解得y，|OC|.又公共弦长为2，|AC|.于是，由RtAOC可得OC2AO2AC2，即22()2，整理得a21，又a0，a1.7直线l经过点P(5,5)，且与圆x2y225相交，截得弦长为4，求l的方程解析若直线l的斜率不存在，直线l：x5与圆相切，所以直线l的斜率存在，设其斜率为k，则l：y5k(x5)由圆心到直线的距离、弦的一半、半径构成直角三角形

27、得：25(2)22，k或k2.所求直线方程为x2y50或2xy50.（四）典型例题1.命题方向：直线与圆的位置关系例1已知圆x2y26mx2(m1)y10m22m240(mR)(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离分析(1)用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求圆心坐标，消去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小解析(1)证明：配方得(x3m)2y(m1)225.设圆心为(x，y)，则消去m，得l：x3y30，则不论m为何值，圆心恒在直线l：x3y30上(2)设与l平行的直线是l1：x3yb0，则圆心到直线l1的距离为d.圆的半

28、径为r5，当dr，即53b53时，直线与圆相交；当dr，即b53时，直线与圆相切；当dr，即b53时，直线与圆相离跟踪练习1(2011启东调研)已知圆C：(x1)2(y2)26，直线l：mxy1m0.(1)求证：无论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时l的方程解析(1)证明：l：mxy1m0的方程可化为y1m(x1)，其恒过定点P(1,1)|PC|r，点P恒在圆C内，直线l与圆C恒交于两点(2)由(1)及平面几何知识知，当l垂直于PC时，直线l被圆C截得的弦长最小，又kPC，kl2，所求直线l的方程为y12(x1)，即2xy10.2.命题方向：弦长问题例2

29、已知点P(0,5)及圆Cx2y24x12y240.(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程分析(1)根据弦长求法，求直线方程中的参数；(2)由垂直关系找等量关系解析(1)方法1如图所示，AB4，D是AB的中点，CDAB，AD2，AC4，在RtACD中，可得CD2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式：2，得k.k时，直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所求直线的方程为3x4y200或x0.方法2设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y5kx，即y

30、kx5，联立直线与圆的方程消去y，得(1k2)x2(42k)x110，设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系得由弦长公式得|x1x2|4，将式代入，解得k，此时直线方程为3x4y200.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x0.所求直线的方程为x0或3x4y200.v(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.点评在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)若OAOB(O为原点)，则可转化为x1x2y1y20，再结合根与系数的关系等代数方法简化

31、运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的；(2)若弦AB的中点为(x0，y0)，圆的方程为x2y2r2，则 k.该法叫平方差法，常用来解决与弦的中点，直线的斜率有关的问题跟踪练习2已知圆C：x2y22x4y40，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由解析假设存在且令l为yxm圆C化为(x1)2(y2)29，圆心C(1，2)则AB中点N是两直线xym0与y2(x1)的交点即N(，)以AB为直径的圆过原点，|AN|ON|又CNAB，|CN|AN|又|ON|由|AN|ON|得m1或m4存在直线l方程为xy10和xy40.点评设

32、l：yxm与圆方程联立，其根为A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标，由条件OAOB，x1x2y1y20，可求m1或4.3.命题方向：圆与圆的位置关系例3已知圆C1：x2y22mx4y(m25)0与C2：x2y22x2my(m23)0，当m为何值时：(1)两圆外离；(2)两圆外切；(3)两圆相交；(4)两圆内切；(5)两圆内含解析欲求m的值，只要列出关于m的一个等式或不等式就可以了. 因两圆的方程已给定，那么两圆的圆心和半径就可以求出，进而获得含m的式子，问题变成了圆心距与两圆半径之和或差的关系. 把圆C1与圆C2的方程变形(xm)2(y2)29，(x1)2(ym)24.故两圆的半径分别为3和2，圆