适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《14数列（一）》.doc

1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题数列的定义教学目的教学内容一、 知识网络二、命题分析数列一直是高考的重点和热点，有时甚至是难点历年来，数列在高考中的题型有如下特征：1每年必出一道选择题或填空题，主要考查等差、等比数列的概念和性质，以及通项公式、前n项和公式的灵活运用，题目具有“小、巧、活”的特点2每年必出一道解答题，题目往往与函数、导数、三角不等式、方程、平面向量、解析几何等知识综合起来考查，难度中等或中等偏难，突出考查对数列知识的理解、分析能力，创新能力，运算能力以及化归转化能力相对于理科的命题，文科更注重基本解法、基本能力的考查3从新考纲的要求来看

2、，2012年高考仍将延续这些特征，并将更侧重于考查学生的创新能力与逻辑思维能力三、复习建议针对新课标考试“强调基础，淡化技巧，提高能力”的特征，复习本单元时应注意以下几点：1重视对等差数列、等比数列的概念的理解，掌握它们的通项公式，前n项和公式及其性质2重视运算能力的提高，涉及的解不等式、解方程问题以及等式的相加减、相乘除等运算，力求熟练而准确3重视知识的综合，深刻领悟蕴藏在数列概念及方法中的数学思想，对其中的函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想要在解题中进行感受和体会四、知识讲解第一节 数列的概念与简单表示法（一）高考目标考纲解读1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像

3、、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类函数考向预测1已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项2以数列的前几项为背景，考查“归纳推理”思想3由数列的递推关系式求数列的通项公式的是本节重点，也是本节难点（二）课前自主预习知识梳理1数列的定义按照 排成的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )2数列与函数的关系在函数意义下，数列是定义域为N(或它的)的函数，f(n)是当自变量n从1开始依次取 时所对应的一列f(1)，f(2)，f(n)通常用an代替f(n)，故数列的一般形式为，简记为an，其中an是数列的第 项3数列的分类分类原则类型

4、满足条件项数有穷数列项数无穷数列项数项与项间的大小关系递增数列 其中nN*递减数列 常数列an1an其他标准摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项4.数列的表示法(1)数列的一般形式可以写成： (2)数列的表示法分别为、 5数列的通项公式如果数列an的第n项an与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式6数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用an与an1的关系式表示(如an2an11，n1)，则这个关系式就称为数列的递推公式（三）基础自测1(2010安徽文)设数列n的前n项和Snn2，则a8的值为()A15B16 C49 D64答案A解析

5、a8S8S7644915，a815.2数列，的一个通项公式是()Aan(1)n1 Ban(1)nCan(1)n1 Dan(1)n答案C3若数列an(nN*)的首项为14，前n项的和为Sn，点(an，an1)在直线xy20上，那么下列说法正确的是()A当且仅当n1时，Sn最小 B当且仅当n8时，Sn最大C当且仅当n7或8时，Sn最大 DSn有最小值，无最大值答案C解析由题意得：anan120，则an1an2，所以数列an是以a114，d2的等差数列，则Sn14n(2)n215n，所以当且仅当n7或8时，Sn最大4数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1 B. C. D.答案B解析S5

6、 1.5将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为_解析前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3个，即为. 答案6已知数列an的首项a1，且满足5(nN*)，则a2012_.答案解析由5知，数列是以3为首项，以5为公差的等差数列，故2011d31005510058.7写出分别满足下列条件的数列的前4项，并归纳出通项公式：(1)a10，an1an(2n1)(nN)；(2)a13，an13an(nN)解析(1)由条件得a10，a201112，a31(221)422，a44(231)932，归纳通项

7、公式为an(n1)2.(2)由条件得a13，a23a132，a33a233，a43a334，归纳通项公式为an3n.（四）典型例题1.命题方向：有数列的前几项探索数列的通项公式例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)，；(2)1,3,6,10,15，；(3)，；(4)3,33,333,3333，.分析先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数的关系及项与前后项之间的联系解析(1)注意到前四项中两项分子均为4，不妨把分子都统一为4，即，因而有an.(2)注意到623,1025,1535，规律还不明显，再把各项同乘以2，即，因而有an.(3)各项的分母分别为21,22

8、,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3，因此把第1项变为，至此原数列已化为，an(1)n.(4)将数列各项改写为：，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，an(10n1)点评根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，解决这一问题的关键是通过观察、分析、比较去发现项与项之间的关系如果关系不明显，可将项适当变形，让规律突显出来以便于找出通项公式跟踪练习1：根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，(2)，(3)，；(4)，1，.(5)1,3,7,15,31，解析(1)将数列写成：，观察分子、分母与项数n之间的联系，易知：其通项公式为an.(

9、2)这是一个与(1)n有关的数列，可将数列写成，可知分母组成以3为公差的等差数列，分子为以3为首项，1为公差的等差数列，因此其通项公式为：an(1)n.(3)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，所以an.(4)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(1)n1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是321,421,521,621，按照这样的规律第1、2两项可改写为，所以an(1)n1.(5)考虑数列的差分数列an1ana2a12a3a24，a4a38，an2n1.(n2)将这n1个式子累加，得 an22223

10、2n12n2(n2) an2n212n22n1.(n2)当n1时，此式仍成立，故所求通项公式为an2n1.点评根据数列的前几项写通项时，所求的通项公式不是惟一的其中常用方法是观察法观察an与n之间的联系，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律联想与转换是有效的思维方法，它是由已知认识未知、将未知转化为已知的重要思维方法.2.命题方向：由与的关系求通项例2已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)求an的通项公式及S10.解析(1)由a1S1(a11)得a1.又a1a2S2(a21)，解得a2.同理a3(2)n2时，anSnSn1(

11、an1)(an11)，得.数列an是首项为，公比为的等比数列即an()n，S10.(2)n2时，anSnSn1(an1)(an11)，得.数列an是首项为，公比为的等比数列即an()n，S10.点评数列的通项an与前n项和Sn的关系是：an.此公式经常使用，应引起重视当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示跟踪练习2：已知数列an的前n项和Sn，求an的通项公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.解析利用数列的通项an与前n项和Sn的关系an.解(1)当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn14n5.又

12、a11，适合，an4n5，an4n5.(2)当n1时，a1S13b.n2时，anSnSn123n1，因此，当b1时，a12适合an23n1，an23n1.当b1时，a13b不合适an23n1，an.综上可知，当b1时，an23n1；当b1时，an3.命题方向：根据递推公式求通项公式例3根据下列条件，写出数列的通项公式(1)a12，an1ann；(2)a11,2n1anan1.分析(1)将递推关系写成n1个等式累加(2)将递推关系写成n1个等式累乘，或逐项迭代也可解析(1)当n1,2,3，n1时，可得n1个等式：anan1n1，an1an2n2，a2a11，将其相加，得ana1123(n1)，a

13、na12.(2)方法一：ana1n1n221a112(n1)，an.方法二：由2n1anan1得ann1an1ann1an1n1n2an2=n1n21a1(n1)(n2)21.点评1.已知a1且anan1f(n)(n2)，可以用“累加法”，即anan1f(n)，an1an2f(n1)，a3a2f(3)，a2a1f(2)所有等式左右两边分别相加，代入a1得an.2已知a1且f(n)(n2)，可以用“累乘法”，即f(n)，f(n1)，f(3)，f(2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a1得an.提醒：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个跟踪练

14、习3：根据下列各个数列an的首项和基本关系式，求其通项公式(1)a11，anan13n1(n2)；(2)a11，anan1(n2)解析(1)anan13n1，anan13n1，an1an23n2，an2an33n3，a2a131.以上n1个等式两边分别相加得ana131323n113323n1.a2a1.以上n1个式子等式两边分别相乘得ana1.4.命题方向：函数与方程思想在数列中的应用例4已知数列an的通项公式an(n1)()n，求n为何值时，an取最大值分析已知数列an的通项公式，要求n为何值时an取最大值，则需满足.因为涉及an1，所以应先讨论a1是否为最大值，然后再由不等式组去求使an

15、最大时n的取值解析易知a1不是数列an中的最大的项，an若取最大值应满足(n2)，由已知中an(n1)()n，则有anan1(n1)()n(n2)()n1()nn1(n2)()n.由anan10，即()n0，解不等式，得n8；anan1(n1)()n(n11)()n1()n1(n1)n()n1，当anan10，即()n10，解不等式，得n9；同时满足不等式组的正整数n的取值只能是8,9，又a89()8，a910()9，即a8a9.当n8或n9时，a8a9两项都是数列an中的最大项点评数列是特殊的函数，因此数列中一些问题的研究与函数有一定的联系如：数列中的最大、最小项问题；数列的单调性问题等都可

16、以借助于函数知识研究，当然也有差别高考对本考点的考查主要以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题的某一问中，主要同函数、不等式等内容结合，结合性较强，有一定的难度备考中应从函数的角度把握数列中最大、最小项的求法以及数列单调性的判断方法跟踪练习4：已知函数f(x)，数列an满足f()2n.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an是递减数列解析(1)解：f(x)， f(log2an)2log2an2log2anan，an2n，an22nan10.又an0，ann.(2)证明：an0，且ann，1.an1|an|(n1,2，)”是“an为递增数列”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C

17、充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析an1|an|，an1an0，且anan10，则an为递增数列，反之若an为递增数列，an1|an|不一定成立5(2011济南统考)已知数列an的通项公式an3n2(9a)n62a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数a的取值范围是()A24,36 B27,33 Ca|27a33，aN* Da|24a36，aN*答案A解析由于数列的定义域为正整数，故由二次函数知识，只需5.57.524a36即可6(2011上饶一模)已知数列an满足a10，an1an2n，那么a2012的值是()A20092010 B20112010 C2

18、0112 D20112012答案D解析解法1：a10，a22，a36，a412，考虑到所给结论都是相邻或相同两整数乘积的形式，可变形为：a101a212a323a434猜想a201220112012，故选D.解法2：anan12(n1)，an1an22(n2)，a3a222，a2a121.所有等式左右两边分别相加(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)2(n1)(n2)1ana12n(n1)ann(n1)故a201220112012.7若数列an是正项递增等比数列，Tn表示其前n项的积，且T8T4，则当Tn取最小值时，n的值等于()A5 B6 C7 D8答案B解析由T8T4，a5

19、a6a7a81，又a5a8a6a71，且数列an是正项递增数列，所以a5a61a7a8，因此T6取最小值8数列an中，若an1，a11，则a2012等于()A. B. C. D.答案B解析an1，3.是以an1为首项，3为公差的等差数列，故1(n1)33n2，an，a2012.二、填空题9定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积已知数列an是等积数列，且a12，公积为5，Tn为数列an前n项的积，则T2005_.答案251002解析T2005a1(a2a3)(a4a5)(a2004a2005)251002.10设

20、an是正项数列，其前n项和Sn满足：4Sn(an1)(an3)，则数列an的通项公式an_.答案2n1解析4Snan22an3，当n2时，4Sn1an122an13.两式相减得4anan2an122an2an1，即(anan1)(anan12)0.又an0.anan12.当n1时，由4a1a122a13，得a13，故an3(n1)22n1.11已知an(nN*)，则在数列an的前30项中，最大项和最小项分别是第_项答案109解析an1当1n9时，0，an递减最大项为a10，最小项为a9.三、解答题12已知数列an满足：a11,4n1anan1(nN，n2)(1)求数列an的通项公式；(2)这个

21、数列从第几项开始以后各项均小于？解析(1)ana1n1n22112(n1)n(n1)an()n(n1)(2)当n3时，(n1)n6，an()(n1)n当n4时，(n1)n10，an()(n1)n所以，从第4项开始各项均小于.13下图是由一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，记OA1，OA2，OA3，OA7，OA8的长度所成的数列为an(nN,1n8)(1)写出数列的前4项；(2)求an的通项公式；(3)如果把图中的直角三角形继续作下去，那么OA9，OA2012的长分别是多少？解析(1)a1OA11，由勾股定理得a2，a3，a42；(2)观察an的前几项，可以发现数列

22、的项恰好是序号的算术平方根，即有通项公式an；(3)OA9a93，OA2012a20122.点评由归纳法，找出数列的通项公式，或由数列的通项公式写出数列的项，对数列做出某种判断，是高考命题的方向，此类题对逻辑推理能力有较高的要求14已知数列an的前n项和为n2pn，数列bn的前n项和为3n22n.(1)若a10b10，求p的值；(2)取数列bn的第1项，第3项，第5项，构成一个新数列cn，求数列cn的通项公式解析(1)由已知，anSnSn1(n2pn)(n1)2p(n1)2n1p(n2)，bnSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5(n2)a1019p，b1055.由a10b10，得19p55.p36.(2)b1S11，满足bn6n5.数列bn的通项公式为bn6n5.取bn中的奇数项，所组成的数列的通项公式为b2k16(2k1)12n11.15(2010全国卷理)已知数列an中，a11，an1c.设c，bn，求数列bn的通项公式解析本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了化归与转化思想的考查an122，取倒数有2即bn14bn2，得bn14，又a11，故b11所以是首项为，公比为4的等比数列，bn4n1，即bn.15