适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《16数列（三)》.doc

1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题数列求和与数列综合应用教学目的教学内容第四节 数列求和（一）高考目标考纲解读1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法考向预测1以考查等差、等比数列的求和公式为主，同时考查转化的思想2常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，作为高考的中档题或压轴题（二）课前自主预习知识梳理1当已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用求数列的通项an.2当已知数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用求数列的项通an.3.等差数列前n项和=

2、 = ，推导方法： （5）= 5(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法（三）基础自测1(2011威海模拟)设f(n)2242723n1(nN*)，则f(n)等于()A.(8n1)B.(8n11) C.(8n21) D.(8n31)答案B解析由题意发现，f(n)即为一个以2为首项，公比q238，项数为n1的等比数列的和由公式可得f(n)Sn1(8n11)2(2011

3、滨州模拟)已知数列2011,1，2010，2011，1，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2012项之和S2012等于()A2010 B2011 C1 D2012答案D解析a12011，a21，a32010，a42011，a51，a62010，a72011，a81，该数列是周期为6的周期数列且S60，S2012S2201112012.3数列an的通项公式是an(nN*)，若前n项的和为10，则项数n为()A11 B99 C120 D121答案C解析an，a11，a2，an，Sn110，n120.4(2009广东理)已知等比数列an满足an0，n1,2，且a

4、5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1()An(2n1) B(n1)2 Cn2 D(n1)2答案C解析考查等比数列的性质、通项、等差数列求和及对数的运算法则an为等比数列，且a5a2n522n，an222n，an0，an2n，a2n122n1.log2a1log2a3log2a2n1135(2n1)n2.5(2011济南模拟)数列1,12,1222，12222n1，的前n项和为_答案2n12n解析该数列的前n项和Sna1a2an，而an12222n12n1.Sn(211)(221)(231)(2n1)(2222n)nn2n12n.6(教材改编题)数列1，

5、2，3，4，的前n项和为_答案(n2n2)解析数列的通项公式为：ann，Sn(123n)(n2n2).7求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1，(a0)的前n项和解析当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)，Sn1357(2n1)n2；当a1时，有Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSna3a25a37a4(2n1)an，令，得SnaSn12a2a22a32a42an1(2n1)an，(1a)Sn12(2n1)an，1a0，Sn.（四）典型例题1.命题方向：公式法求和例1已知函数f(x)x22(n1)xn25n7(nN*)(1)若函数f(x)的图像的顶点的横坐标构成数列an

6、，试证明数列an是等差数列；(2)设函数f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列bn，试求数列bn的前n项和Sn.解析f(x)x22(n1)xn25n7x(n1)23n8.(1)由题意，ann1，故an1an(n1)1(n1)1，故数列an是等差数列(2)由题意，bn|3n8|.当1n2时，bn3n8，数列bn为等差数列，b15，Sn；当n3时，bn3n8，数列bn是等差数列，b31.SnS2.Sn.点评用等差数列或等比数列的求和公式时，一定要看清数列的哪些项构成等差数列或等比数列在第(2)问的求解中，1n2或n3时，都可以用等差数列的前n项和公式，但当1n2时，不要误求为数列的前2项和；当n

7、3时，数列的首项为b3，项数为n2，不要误求为n项的和，也不要误求为n3项的和跟踪练习1在等差数列an中，a16a17a18a936，其前n项和为Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；(2)求Tn|a1|a2|an|.解析a16a17a183a1736.a1712.又a936，d3，首项a1a98d60，(1)方法一：设前n项和Sn最小，则即得n20或n21.故n20或n21时Sn的值最小，且最小值为S20S21630.方法二：Sn60n3(n241n)2.nN*，当n20或21时，Sn取最小值，最小值为630.(2)由an3n630，得n21.当n21时，TnSn(41nn

8、2)；当n21时，Tna1a2a21a22anSn2S21(n241n)1260.2.命题方向：分组求和例2(2008陕西)已知数列an的首项a1，an1，n1,2，.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和Sn.分析(1)由已知条件利用等比数列的定义证明，即从an1得到1与1的等式关系(2)充分利用(1)的结论得出1.欲求数列的前n项和Sn可先求出Tn的值解析(1)an1，1，又a1，1，数列是以为首项，为公比的等比数列(2)由(1)知1，即1，n.设Tn，则Tn，得Tn1Tn2.又123n.数列的前n项和Sn2.跟踪练习2(2011浙江省金丽衢联考)已知在数列an中，a13，an

9、12an1(nN*)(1)求证：数列an1是等比数列；(2)设数列2nan的前n项和为Sn，求Sn的大小解析(1)a13，an12an1，an112(an1)，an1是以a112为首项，以2为公比的等比数列(2)由(1)知an122n12n，an2n1，2nan2n(2n1)n2n12n，Sn2(211)4(221)6(231)2n(2n1)(2214226232n2n)(2462n)设Tn2214226232n2n，Tn21426222n2n1，两式相减，得Tn222232n12n2n2n2n2n2n2n2n12，Tn4(n1)2n4，Sn4(n1)2n4n2n.3.命题方向：错位相减求和例

10、3(2009山东文)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图像上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1所以bn.Tn.Tn，两式相减得Tn，故Tn.跟踪练习3：(2010新课标理)设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通

11、项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解析本小题主要考查数列的基础知识，即数列的通项公式与前n项和的求法以及分析问题与解决问题的能力(1)由已知得，当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1.从而22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1.即Sn(3n1)22n12.4.命题方向：裂项相消求和例4(2008江西)等差数列an的各项均为正数，a13，前n项和为Sn，bn为等比

12、数列，b11，且b2S264，b3S3960.(1)求an与bn；(2)求.解析(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数，an3(n1)d，bnqn1，依题意有解得，或(舍去)故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)Sn35(2n1)n(n2)，.跟踪练习4求数列，的前n项和Sn.解析，Sn1.5.命题方向：倒序相加法求和例5设函数f(x)图像上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P为P1P2的中点，且P点的横坐标为.(1)求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；(2)求fff.分析(1)由已知函数图像上两点P1P2可得y1，y2，设P(x，y)，根据中点坐标公式去

13、求y.(2)根据(1)的结论：若x1x21，则由f(x1)f(x2)1可以得到ff1，利用倒序相加进行求解解析(1)证明：P为P1P2的中点，x1x21，yp.又y1y2112211，yp.(2)由x1x21，得y1y2f(x1)f(x2)1，f(1).设Snffff，又Snffff，2Sn111112f(1)n2，即Sn.（五）思想方法点拨1常见数列求和的类型及方法(1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解，但要注意对q分q1与q1两种情况进行讨论；(3)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组转化法求an前n项

14、和；(4)anbncn，bn是等差数列，cn是等比数列，采用错位相减法求an前n项和；(7)an(1)nf(n)，可采用相邻两合并求解，即采用“并项法”(8)求出S1，S2，S3，然后猜出Sn，用数学归纳法证明2求和时应注意的问题(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和（六）课后强化作业一、选择题1等差数列an的前n项和为Sn，若S22，S410，则S6等于()A12 B18 C24 D42答案C解析由题意设SnAn2Bn，又S22，S410，4A2B2,16A4B10，解得A，B

15、，S636324.2数列an的前n项和为Sn，若an，则S8等于()A. B. C. D.答案A解析an，而Sna1a2an，S8.3数列1，2，3，4，的前n项和为()A2 B2C.(n2n2) D.n(n1)1答案B解析S1234n123n，则S123(n1)n，得Sn1.S2.4.的值为()A. B.C. D.答案C解析.Sn.5(2011汕头模拟)已知anlog(n1)(n2)(nN*)，若称使乘积a1a2a3an为整数的数n为劣数，则在区间(1,2002)内所有的劣数的和为()A2026 B2046 C1024 D1022答案A解析a1a2a2anlog2(n2)k，则n2k2(kZ

16、)令12k22002，得k2,3,4，10.所有劣数的和为18211222026.6(2011威海模拟)已知数列an的前n项和Snn24n2，则 |a1|a2|a10|()A66 B65 C61 D56答案A解析当n2时，anSnSn12n5；当n1时，a1S11，不符合上式，an|an|从第3项起构成等差数列，首项|a3|1，末项|a10|15.|a1|a2|a10|1166.7(文)(2009江西)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S832，则S10等于()A18 B24 C60 D90答案C解析由题意可知，S1010(3)260，选C.(理)(200

17、9重庆)设an是公差不为0的等差数列，a12且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn()A. B. C. Dn2n答案A解析设等差数列公差为d，a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比数列，a32a1a6，即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.d0，d，Snna1dn.故选A.8在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn等于()A2n12 B3n C2n D3n1答案C解析解法1：由an为等比数列可得an1anq，an2anq2由an1为等比数列可得(an11)2(an1)(an21)，故(anq1)2(an1)(anq21)，

18、化简上式可得q22q10，解得q1，故an为常数列，且ana12，故Snna12n，故选C.解法2：设等比数列an的公比为q，则有a22q且a32q2，由题设知(2q1)23(2q21)，解得q1，以下同解法1.二、填空题9设f(x)，则f(9)f(8)f(0)f(9)f(10)的值为_答案5解析f(n)f(n1)，f(9)f(8)f(0)f(9)f(10)5.10(2011启东模拟)对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项为2n，则数列an的前n项和Sn_.答案2n12解析an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n1

19、2n2222222n222n，Sn2n12.11(2011江门模拟)有限数列Aa1，a2，an，Sn为其前n项的和，定义为A的“凯森和”；如果有99项的数列a1，a2，a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a1，a2，a99的“凯森和”为_答案991解析a1，a2，a99的“凯森和”为1000，S1S2S99100099，数列1，a1，a2，a99的“凯森和”为：991.三、解答题12(2010重庆文)已知an 是首项为19，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和(1)求通项an及Sn；(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.解析本

20、题主要考查等差数列的基本性质，以及通项公式的求法，前n项和的求法，同时也考查了学生的基本运算能力(1)因为an为首项a119，公差d2的等差数列，所以an192(n1)2n21，Sn19n(2)n220n.(2)由题意知bnan3n1，所以bn3n12n21Tnb1b2bn(133n1)Snn220n.13已知数列an的前n项和Sn2n23n.(1)求证：数列an是等差数列；(2)若bnan2n，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)证明：a1S11，当n2时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5.又a1适合上式，故an4n5(nN*)当n2时，anan14n54(n1)54，所

21、以an是等差数列且d4，a11.(2)bn(4n5)2n，Tn21322(4n5)2n，2Tn22(4n9)2n(4n5)2n1，得Tn2142242n(4n5)2n124(4n5)2n118(4n9)2n1，Tn18(4n9)2n1.14设数列an的前n项和为Sn，已知a11，且an2SnSn10(n2)，(1)求数列Sn的通项公式；(2)设Sn，bnf()1.记PnS1S2S2S3SnSn1，Tnb1b2b2b3bnbn1，试求Tn，并证明Pn.解析(1)解：an2SnSn10(n2)，SnSn12SnSn10.2.又a1，Sn(nN)(2)证明：Sn，f(n)2n1.bn2()11()n

22、1.Tn()0()1()1()2()n1()n()1()3()5()2n11()nSn(nN)Pn180，故舍去4有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6秒钟 B7秒钟 C8秒钟 D9秒钟答案B解析设至少需要n秒钟，则121222n1100，100，n7.故选B.5(2011安徽合肥模拟)秋末冬初，流感盛行，某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列an，已知a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有_答案255解析由于an2an1(

23、1)n，所以a1a3a291，a2，a4，a30构成公差为2的等差数列，所以a1a2a29a30151522255.6设等差数列an的前n项和为Sn，S410，S515，则a4的最大值是_答案4解析由题意，得，即，也即，又a4a13d(2a13d)3(a12d)5334，故a4的最大值为4.7某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员第1名得全部资金的一半加一千元，第二名得剩下的一半加一千元，以名次类推都得到剩下的一半加一千元，到第10名恰好资金分完，求此科研单位共拿出多少千元资金进行奖励解析设单位共拿出x千元资金，第1名到第10名所得资金构成数列an，前n项和为Sn，则a11，an(xSn1)1

24、(n2)，2anxSn12,2an1xSn2，两式相减得2an12anan，2an1an.an是首项为1，公比为的等比数列，S10x，解得x2046.故单位共拿出2046千元资金进行奖励（四）典型例题1.命题方向：等差数列与等比数列的综合应用例1设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中m为常数，m3，且m0.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比满足qf(m)且b1a1，bnf(bn1)(nN*，n2)，求证：为等差数列，并求bn.分析对于已知的条件运用Sn与an之间的关系式：an，求出an、an1之间的关系，以及、之间的关系，再进行判定证明(1)由(

25、3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3，两式相减，得(3m)an12man(m3)，m是常数，且m3，m0，故是不为0的常数an是等比数列(2)由b1a11，qf(m)，bnf(bn1)，nN*且n2，得bnbn13bn3bn1.是1为首项，为公差的等差数列，1，当n1时也符合此式，故有bn.跟踪练习1(2011广东深圳调研)设数列an的前n项和为Sn，其中an0，a1为常数，且a1，Sn，an1成等差数列(1)求an的通项公式；(2)设bn1Sn，问是否存在a1，使数列bn为等比数列？若存在，则求出a1的值；若不存在，请说明理由 解析(1)由题意可得2Snan1a1，当n2时

26、，有两式相减，得an13an(n2)，又a22S1a13a1，an0，an是首项为a1，公比为3的等比数列，ana13n1.(2)方法一：Sna1a13n，bn1Sn1a1a13n，要使bn为等比数列，当且仅当1a10，即a12，此时bn3n，bn是首项为3，公比为3的等比数列bn能为等比数列，此时a12.方法二：设数列bn能为等比数列，则b1，b2，b3成等比数列，b22b1b3，Sna1a2an，ana13n1，bn1Sn，b214a1，b11a1，b3113a1，(14a1)2(1a1)(113a1)，又an0，得a12，此时bn1Sn3n，bn是首项为3，公比为3的等比数列，bn能为等

27、比数列，此时a12.方法三：设数列bn能为等比数列，即满足bn2bn1bn1(n2，nN*)，又bn1Sn，bn11(Snan)，bn11(Snan1)，(1Sn)2(1Snan)(1Snan1)，(1Sn)2(1Sn)2(anan1)(1Sn)anan1，即2ananan1，将ana13n1代入得a12，此时bn1Sn3n.2.命题方向：数列与函数的综合应用例2已知f(x)logax(a0且a1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)(nN*)是首项为4，公差为2的等差数列(1)设a为常数，求证：an成等比数列；(2)若bnanf(an)，bn的前n项和是Sn，当a时，求Sn.分析利用函数的

28、有关知识得出an的表达式，再利用表达式解决其他问题解析(1)f(an)4(n1)22n2，即logaan2n2，可得ana2n2.a2(n2)，为定值an为等比数列(2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2.当a时，bn(2n2)()2n2(n1)2n2.Sn223324425(n1)2n22Sn224325426n2n2(n1)2n3得Sn22324252n2(n1)2n316(n1)2n3162n324n2n32n3n2n3.Snn2n3(nN*)点评数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题；已知数列

29、条件，解决函数问题解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形跟踪练习2在数列an中，a14，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线yx2上(1)求数列an的通项公式；(2)已知b1b2bnan，试比较an与bn的大小解析(1)点(，)在直线yx2上，2，即数列是以2为首项，公差d2的等差数列22(n1)2n，an4n2.(2)b1b2bnan，当n2时，bnanan14n24(n1)28n4，当n1时，b1a14，满足上式bn8n4，anbn4n2(8n4)4(n1)20，anbn.点评第(2)问可由b1b2bnan得，anbnan14(n1)20，anbn简捷明了，

30、注意观察分析常能起到事半功倍的效果.3.命题方向：数列与导数、解析几何的综合应用例3(2011山东模拟)设曲线yx2x2lnx在x1处的切线为l，数列an的首项a1m(其中常数m为正奇数)，且对任意nN*，点(n1，an1ana1)均在直线l上(1)求出an的通项公式；(2)令bnnan(nN*)，当ana5恒成立时，求出n的取值范围，使得bn1bn成立分析问题(1)可先利用求导公式求得直线的斜率，进而求出直线方程，利用累加法即求得数列的通项公式；问题(2)是恒成立问题，可转化为数列的单调性问题进而求得数列的最小值解析(1)由yx2x2lnx，知x1时，y4.又y|x1(2x1)|x12，直线l的方程为y42(x1)，即y2x2.又点(n1，an1ana1)在l上，an1anm2n，即an1an2nm(nN*)a2a12m，a3a222m，anan12(n1)m，各项相加，得an212(n1)(n1)ma1n2nnmmmn2(m1)n.通项公式ann2(m1)n(nN*)(2)m为奇数，为整数由题意，知a5是数列an中的最小项，5.m9.令f(x)x3(m