适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《12平面向量（二）》.doc

1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题平面向量（二）教学目的教学内容第三节 平面向量的数量积（一）高考目标考纲解读1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系考向预测1平面向量数量积的运算、模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题2数量积的几何运算与数量积的坐标运算及其几何意义，及数量积的变形应用均为常规应用，也是考查重点关注数形结合思想的应用（二）课前自主预习知识

2、梳理1两个向量的夹角(1)定义已知两个 向量a和b，作 a， b，则AOB叫做向量a与b的夹角(2)范围向量夹角的范围是 ，a与b同向时，夹角；a与b反向时，夹角 .(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作ab.2平面向量的数量积(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作.规定：零向量与任一向量的数量积为 .两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ，两个非零向量a与b平行的充要条件是 .(2)向量的投影定义：设为a与b的夹角，则 (|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影(3)平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|

3、a|与b在a方向上的射影的乘积3平面向量数量积的重要性质(1)eaae ；(2)非零向量a，b，ab ；(3)当a与b同向时，ab ，当a与b反向时，ab ,aa ，|a| (4)cos (5)|ab| |a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)ab (交换律)；(2)(a)b= (为实数)；(3)(ab)c .5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量， ，则= （1）若=,则= 或= （2）设，则A、B两点间的距离= （3）设， ，则 （4）向量与的夹角为，则cos= （三）基础自测1(2010安徽)设向量a(1,0)，b(，)，则下列结论中正确的是()A|a|b|Bab Cab与b垂

4、直 Dab答案C解析ab(，)(ab)b(，)(，)0.即ab与b垂直，故选C.2(2010新课标)a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A. B C. D答案C解析本题考查了平面向量的坐标运算和数量积的坐标运算，在解决问题时需要先设出向量坐标，然后求得参数，该题较为简单由题可知，设b(x，y)，则2ab(8x,6y)(3,18)，所以可以解得x5，y12，故b(5,12)，所以cosa，b，故选C.3已知下列各式：a2|a|2(ab)2a2b2(ab)2a22abb2其中正确的有_个()A1 B2 C3 D4答案B解析正确错，错错正确，选B.4已

5、知两单位向量a，b的夹角为60，则两向量p2ab与q3a2b的夹角为()A60B120 C30D150答案B分析本题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法解析pq(2ab)(3a2b)6a2ab2b26a2|a|b|cos602b2，|p|2ab|，|q|3a2b|，而cosp，q.即p与q的夹角为120.5(2010江西文)已知向量a，b满足|b|2，a与b的夹角为60，则b在a上的投影是_答案1解析本题考查了向量的投影问题，l|b|cos601，属概念性考查6(08天津)如图，在平行四边形ABCD中，(1,2)，(3,2)，则_.答案3解析()(1,2)，143.7

6、已知i，j为互相垂直的单位向量，ai2j，bij，且a与b的夹角为锐角，求实数的取值范围解析设a与b的夹角为，则，ab0且a，b不同向由ab0，得|i|22|j|20得0)，得2.的取值范围为0，|ab|2cosx.(2)f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx122.x，cosx1，当cosx时，f(x)取得最小值；当cosx1时，f(x)取得最大值1.点评与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.2.命题方向：模与垂直问题例2已知|a|4，|b

7、|8，a与b的夹角是120.(1)计算|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)?分析(1)利用公式|a|和|ab|求解；(2)利用向量垂直的充要条件，通过坐标表示列方程求k.解析由已知，ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)4643162，|4a2b|16.(2)若(a2b)(kab)，则(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640，k7.点评1.当a与b是坐标形式给出时，若证明ab，则只需证明ab0x1x2y1y20.2当向量a，b

8、是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明ab0.跟踪练习2已知向量m(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且mn1.(1)求向量n；(2)设向量a(1,0)，向量b，若na0，试求|nb|的取值范围解析(1)设n(x，y)，由已知得，即解得或n(1,0)或(0，1)(2)a(1,0)，na0，n(0，1)，nb，故|nb|2cos2xcos2=11111cos，|nb|2，故|nb|.3.命题方向：平面向量的夹角问题例3已知a，b都是非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角分析由公式cos可知，求两个向量的夹角关键是求数量积

9、及模的积本题中|a|b|ab|的充分利用是求数量积的关键，考虑怎样对条件进行转化解析方法一：由|a|b|ab|得|a|2|b|2，|b|2a22abb2，所以aba2.而|ab|2|a|22ab|b|22|a|22|a|23|a|2，所以|ab|a|.设a与ab的夹角为，则cos，由于0180，所以30.方法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由|a|b|ab|得，|a|2|b|2，|ab|2a22abb2，所以x12y12x22y22x12y12x22y222x1x22y1y2，即x1x2y1y2(x12y12)，所以|ab|2(x1x2)2(y1y2)2x12y12x22y222x1

10、x22y1y23(x12y12)，故|ab|.设a与ab的夹角为，则cos，由于0180，所以30.点评1.求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系3若已知a与b的坐标，则可直接利用公式cos来求夹角跟踪练习3：(2009全国卷)设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b()A150B120 C60D30答案B解析本题主要考查向量运算的几何意义|a|

11、b|c|0，且abc如图所示就是符合的向量，易知OACB是菱形，OBC和OAC都是等边三角形a，b120.（五）思想方法点拨1两个向量的数量积(1)数量积概念的理解两个向量的数量积是一个数量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，结果可正、可负、可为零，其符号由夹角的余弦值确定计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则要通过平移，使两向量符合以上条件两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”b在a上的投影是一个数量，它可正，可负，也可以等于0.(2)对数量积运算律的理解当a0时，由ab0不一定推出b0，这是因为对任一个与a垂

12、直的向量b，都有ab0.当a0时，abac也不一定推出bc，因为由abac，得a(bc)0，即a与(bc)垂直也就是向量的数量积运算不满足消去律对于实数a，b，c，有(ab)ca(bc)，但对于向量来说，(ab)c与a(bc)不一定相等，这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(ab)c与a(bc)不一定相等2向量的应用(1)向量在几何中的应用证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件ababx1y2x2y10(b0)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：abab0x1x2y1y20.求夹角问题利用夹角公式：co

13、s.求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|或|AB|.(2)向量在物理中的应用向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；向量在速度的分解与合成中的应用（六）课后强化作业一、选择题1(2010湖南理)在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16 B8 C8 D16答案D解析因为C90，所以0，所以()()216.2(2010广东文)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x()A6 B5 C4 D3答案C解析本题考查了向量的基本坐标运算及内积定义，把向量问题转化为坐标问题，(8ab)c183x30.x4.故选C.3(2009重庆理)已知|a|1

14、，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角是()A. B. C. D.答案C解析考查向量的运算以及两个向量夹角的求法a(ba)aba2|a|b|cosa，b|a|26cosa，b12，cosa，b，故a与b的夹角为.4(2009辽宁理)平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|()A. B2 C4 D12答案B解析考查向量的数量积的定义及性质a(2,0)，|a|2，|a2b|2|a|24|b|24ab44421cos6012，|a2b|2，选B.5(2009全国理)已知a、b、c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为()A2 B.2 C1 D1答案D解析本题

15、考查数量积的运算(ac)(bc)abaccbc20(ab)c11(ab)c1|ab|c|cosab，c11cosab，c最小值为1，即ab与c同向共线时取得最小值6在ABC中，3，ABC的面积S，则与夹角的取值范围是()A. B. C. D.答案B解析sin，sin，S|sin，又|cos，3，|.将代入得tan，又两向量夹角的范围为0，故选B.7(2010北京理)a、b为非零向量，“ab”是“函数f(x)(xab)(xba)为一次函数”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析f(x)(xab)(xba)(ab)x2(|b|2|a|2)xab

16、，若ab，则有ab0，如果同时有|b|a|，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f(x)为一次函数，则ab0，因此可得ab，故该条件必要8已知向量ae，|e|1，对任意tR，恒有|ate|ae|，则()Aae Ba(ae)Ce(ae) D(ae)(ae)答案C解析由条件可知|ate|2|ae|2对tR恒成立，又|e|1，t22aet2ae10对tR恒成立，即4(ae)28ae40恒成立(ae1)20恒成立，而(ae1)20，ae10.即ae1e2，e(ae)0，即e(ae)二、填空题9已知A(，0)，B(0,1)，坐标原点O在直线AB上的射影为点C，则_.答案解析由射影定理求出|，与

17、成角60，|cos60.10(2010江西理)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|_.答案解析|ab|2|a|22ab|b|21212cos 6043，则|ab|，11已知向量m(sin，2cos)，n，当0，时，函数f()mn的值域为_答案1,2解析由f()mn，得f()sincos2sin，0，f()的值域为1,2三、解答题12(2009江苏)设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tantan16，求证：ab.解析本题主要考查了向量的平行、垂直和

18、向量的模；考查了三角函数公式和学生的运算能力(1)a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)由a与b2c垂直，得a(b2c)ab2ac04sin()8cos()0，tan()2.(2)由bc(sincos，4cos4sin)|bc|2sin22sincoscos216cos232cossin16sin21730sincos1715sin2，最大值为32，|bc|的最大值为4.(3)由tantan16得sinsin16coscos即4cos4cossinsin0，ab.13已知向量(cosx，sinx)，(sinx，sinx)，定义函数f(x).(1)求f(x)的最小

19、正周期和最大值及相应的x值；(2)当时，求x的值解析(1)f(x)sinxcosxsin2xsin2x(1cos2x)sin，周期T.由2x2k得xk(kZ)，当xk(kZ)时，f(x)取最大值.(2)当时，f(x)0，即sin0.解得xk或k，kZ.点评向量知识与三角、数列、不等式、解析几何、函数等的结合是高考命题的主要方向，向量平行或垂直的条件是结合的主要方面14在平行四边形ABCD中，A(1,1)，(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.(1)若(3,5)，求点C的坐标(2)当|时，求点P的轨迹解析(1)设点C的坐标为(x0，y0)(3,5)(6,0)(9,5)，即(x

20、01，y01)(9,5)，x010，y06，即点C的坐标为(10,6)(2)设P(x，y)，则(x1，y1)(6,0)(x7，y1)，33()3(3(x1)，3(y1)(6,0)(3x9,3y3)|，平行四边形ABCD为菱形，(x7)(3x9)(y1)(3y3)0，x2y210x2y220(y1)故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y1的两个交点15已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增函数，求t的取值范围分析先求出f(x)的表达式，然后利用导数与函数单调性的关系及增函数的性质求解，注意x的取值范围解析因为f(x)abx2(1x)t

21、(x1)x3x2txt，所以f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增函数，则在(1,1)上f(x)0，所以f(x)0t5.而当t5时，f(x)在(1,1)上满足f(x)0，即若f(x)在(1,1)上是增函数，则t的取值范围为5，)第四节 平面向量的应用举例（一）高考目标考纲解读1会用向量的方法解决简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题考向预测1以向量为载体考查平面几何、三角函数、解析几何等问题是高考考查的热点与重点2题目多以解答题形式出现，此时注意两个问题，一个是数形结合思想、函数与方程思想的应用，另一个是实际问题，要考虑实际的背景及其意义（二）课前自主

22、预习知识梳理1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题(2)通过向量运算，研究几何元素之间的平行、垂直和距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系2向量在三角中的应用(1)以向量为载体研究三角函数中的最值、单调性、周期等三角函数性质问题(2)通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系3向量与解析几何直线与向量平行的条件：(1)设直线l的倾斜角为，斜率为k，若向量a(a1，a2)平行于l，则可得ktan.(2)如果直线l的斜率k ，则向量(a1，a2)一定与该直线

23、(3)设直线l的一般方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l，向量(B，A)与l4向量在物理学中的应用由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的 相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中的数量积的一种体现（三）基础自测1设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a,3b2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c的坐标为()A(1，1)B(1,1) C(4,6) D(4，6)答案D解析设c(x，y)，表示向量4a,3b2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，4a3b2ac0，即2(1，3)3(2,4)c0，所以c(4，6)2已知ABC中，a，b，且ab0，则ABC的形状为

24、()A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形答案A解析ab|cos0，即cos0，所以角A为钝角3若向量(2,2)，(2,3)分别表示两个力F1与F2，则|F1F2|为()A2.5 B4 C2 D5答案D解析因为F1F2(2,2)(2,3)(0,5)，所以|F1F2|5，故选D.4某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，则ab表示()A向东南走3km B向东北走3kmC向东南走3km D向东北走3km答案B解析要求ab，可利用向量和的三角形法则来求解如图所示作a“向东走3km”，b“向北走3km”，则ab，ab，|3(km)，又与的夹角为45，所以

25、ab表示向东北走3km.5过点A(2,1)且与向量a(3,1)平行的直线方程为_答案x3y50解析设P(x，y)是所求直线上任一点，(x2，y1)a，(x2)13(y1)0，所求直线方程为x3y50.6设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的单位向量，且4i2j，3i4j，则三角形OAB的面积为_答案5解析4i2j(4,2)，3i4j(3,4)，OAB的面积为S|sinAOB5. 7已知直角梯形ABCD中，ABCD，CDADAB90，CDDAAB，求证：ACBC.解析以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示设AD1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1

26、,1)，D(0,1)(1,1)，(1,1)，1(1)110.，即ACBC.（四）典型例题1.命题方向：向量在平面几何中的应用例1如图，在五边形ABCDE中，点M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，点K和L分别是MN和PQ的中点求证：.分析本题涉及条件较多，故需确定多个封闭图形才能把已知与求证结合起来解析由题意可得0000，得4，即.点评1.平面向量在平面几何中的应用，是以平面几何中的基本图形(三角形、平行四边形、菱形等)为背景，重点考查平面向量的几何运算(三角形法则、平行四边形法则)和几何图形的基本性质等2利用|a|2a2这个运算性质，可将向量的模转化为向量的数量积结合图形，找出未

27、知向量与已知向量的相互关系，也是解题过程中的一个要点同时，要有的放矢地转化已知条件，抓住已知与未知的结合点跟踪练习1如图，在平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解析|，|2|2，即2222，22221441.又|2|22224116，|.2.命题方向：向量解决三角函数问题例2已知a(2，cosx)，b，函数f(x)ab(xR)(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若f(x)，求cos的值解析(1)f(x)ab2sin2cosx2sinxcos2cosxsin2cosxsinxcosx2sin由2kx2k得2kx2k(kZ)，所以函数f(x)的单调增区间为，

28、kZ.(2)由题意得2sin，所以sin，故coscos212sin2122.点评1.平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角函数为背景的一种向量描述它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数的相关知识来解答，三角函数是考查的主体2以平面向量为载体考查三角函数问题是历年高考的重点题型多以解答题形式出现，属于中档题跟踪练习2(2009湖南)已知向量a(sin，cos2sin)，b(1,2)(1)若ab，求tan的值；(2)若|a|b|,0，求的值解析(1)因为ab，所以2sincos2sin，于是4sincos，故tan.(2)由|a|b|知，sin2(cos2sin)25，所以12sin2

29、4sin25.从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，于是sin.又由0知，2，所以2，或2.因此，或.3.命题方向：平面向量在解析几何中的应用例4在ABCD中，A(1,1)，(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.(1)若(3,5)，求点C的坐标；(2)当|时，求点P的轨迹解析(1)设点C的坐标为(x0，y0)，又(3,5)(6,0)(9,5)，即(x01，y01)(9,5)，x010，y06，即点C(10,6)(2)设P(x，y)，则(x1，y1)(6,0)(x7，y1)，333(3(x1)，3(y1)(6,0)(3x9,3y3)|，ABCD为菱形，对角线

30、互相垂直，(x7，y1)(3x9,3y3)0，即(x7)(3x9)(y1)(3y3)0，x2y210x2y220(y1)故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y1的两个交点（五）思想方法点拨用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算性质、法则，推出所要求证的结论要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件(1)用向量法求角设向量a与b的夹角为，则cos.若a(x1，y1)、b(x2，y2)，则cos；(2)用向量法处理垂直要证两线段ABCD，只需证0.(3)用向量法处理平行要证两线段ABCD，只需证存在实数0，使等

31、式成立(4)用向量法处理距离要证线段ABCD，可转化为证明22或|.(5)用向量法处理物理问题，首先要把物理问题用向量模型加以表达，然后通过求解向量模型解释相关物理现象（六）课后强化作业一、选择题1已知ABC中，|，则一定有()A. B.C()() D.答案C解析|()()|2|20，()()2已知两个力F1，F2的夹角为90，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60，那么F1的大小为()A5N B5N C10N D5N答案B解析如图所示，由向量加法的平行四边形法则知F合F1F2，四边形OABC是矩形，AOB60，|F1|F合|cos60105(N)3(08山东)已知a、b、c为ABC的

32、三个内角A、B、C的对边，向量m(，1)，n(cosA，sinA)若mn，且acosBbcosAcsinC，则角A、B的大小分别为()A.， B.， C.， D.，答案C解析解法1：mn，cosAsinA0，cos0，又0A，A，A.在ABC中，由正弦定理得sinAcosBcosBsinAsin2C，sin(AB)sin2C，又sin(AB)sinC0，sinC1，C，故B.解法2：接解法1中，A，在ABC中，由余弦定理得abcsinC，ccsinC，sinC1，C，故B.4已知点B(，0)，点O为坐标原点且点A在圆(x)2(y)21上，则与夹角的最大值与最小值分别是()A.，0 B.， C.， D.，答案C解析如图，当直线OA与圆C相切时，与夹角最小或最大；由于C(，)BOC又由于|OC|2，r1.AOC；因此与夹角的最大、小值分别为，故选C.5(2010辽宁理)平面上O、A、B三点不共线，设a，b，则OAB的面积等于()A. B.C. D.答案C解析如图，由三角形面积公式知S|a|b|sinAOB，而cosAOBS|a|b|，故选C.6一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A6 B2 C2