适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《6高考专题导数及其应用》.doc
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1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级: 辅导科目:数学 课时数:课 题导数及其应用教学目的教学内容一、 知识网络二、命题分析导数是中学选修内容中较为重要的知识,近几年高考对导数的考查每年都有,选择题、填空题、解答题都曾出现过,而且近几年有加强的趋势,预测2012年对本单元的考查为:(1)导数的概念、导数的几何意义主要以小题的形式出现(2)导数的运算是每年必考的,但不会对其进行单纯考查,多与导数的应用综合,以考查函数的单调性、极值、最值问题,以大题形式出现(3)以实际应用为背景,考查导数在生活中的最优化问题的应用,以及与函数、不等式、解析几何等知识网络的交汇命题,以大题形式出现 (4)(理)
2、定积分也是微积分的核心概念之一,它能解决自然科学和生产实践中的许多问题,如一般平面图形的面积、变速直线运动的路程、变力所做的功等实际上微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等科学领域中都有广泛而重要的应用,因此导数及其应用成为近几年高考的热点三、复习建议1重视对导数概念的理解,熟练掌握导数的计算公式和导数的几何意义,为导数的应用打下坚实的基础2在复习中,要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习,而忽视它的思想和价值3导数的应用较为灵活,是高考中必考的一道解答题,难度为中档题,故复习时要重视求函数的解析式、求函数值域、解决单调性问题、求函数的极值(最值)、构造函数证明不等式等问题函数是高中
3、数学的重点内容,而函数的性质又是高考命题的热点,而利用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便许多,因此在复习时一定要重视此外,导数与解析几何或函数的图像的混合问题也是一种重要类型,是高考中考查综合能力的一个方向,应引起重视四、知识讲解第一节 导数及导数的运算(一)高考目标考纲解读1了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3(文)能根据导数定义,求函数yc(c为常数),yx,yx2,y的导数(理)能根据导数定义,求函数yc(c)为常数,yx,yx2,yx3,y,y的导数4(文)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数(理)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数
4、的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数考向预测1导数的几何意义是高考考查的重点内容,常以选择题、填空题的形式出现,有时也出现在解答题中2导数的运算每年必考,一般不单独考查,在考查导数应用的同时考查导数的运算(二)课前自主预习知识梳理1导数的概念(1)函数yf(x)在x处的导数定义:称函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率 = 为函数y=f(x)在x=处的导数,记作f(x0)或y|x=,即f(x0)= = 。几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点 处的 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地
5、,切线方程为(2)函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xn(nN*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)3.导数的四则运算法则u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)(v(x)0)4.复合函数求导复合函数yf(g(x)的导数和yf(u),ug(x)的导数之间的关系为yxf(u)g(x)(三)
6、基础自测1(2010新课标文)曲线yx32x1在点(1,0)处的切线方程为()Ayx1Byx1 Cy2x2 Dy2x2答案A解析本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,在解题时应首先验证点是否在曲线上,然后通过求导得出切线的斜率,题目定位于简单题由题可知,点(1,0)在曲线yx32x1上,求导可得y3x22,所以在点(1,0)处的切线的斜率k1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线yx32x1的切线方程为yx1,故选A.2已知函数f(x)在x1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为()Af(x)(x1)33(x1) Bf(x)2(x1)Cf(x)2(x1)2 Df(x
7、)x1答案A解析先求f(x)的导函数,再代入验证当f(x)(x1)33(x1)时,f(x)3(x1)23且f(1)3(11)233.3与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是()A2xy30 B2xy30 C2xy10 D2xy10答案D解析直线2xy40的斜率为k2.由yx2得y2x,令2x2,得x1.所以切点为(1,1),斜率k2,则所求切线为y12(x1),即2xy10为所求4(文)若函数f(x)x2bxc的图像的顶点在第二象限,则函数f (x)的图像是() 答案C解析由题意可知在第二象限b0,又f (x)2xb,故选C.(理)设函数f(x)x3x2tan,其中,则导数f(1)的取
8、值范围为()A2,2 B, C,2 D,2解析f(x)sinx2cosx,f(1)sincos2sin.,.sin,f(1),2,故选D.5(2009湖北理)已知函数f(x)fcosxsinx,则f的值为_答案1解析主要考查导数及函数的求值f(x)fsinxcosx,ffsincos,f,f,ffcossin1.6(2011辽宁重点高中联考)函数f(x)在点(x0,f(x0)处的切线平行于x轴,则f(x0)_.答案解析f(x),f(x),切线斜率f(x0)0,x0e,f(x0)f(e).7已知曲线S:y3xx3及点P(2,2)求过点P的切线方程解析设切点为(x0,y0),则y03x0x03.又
9、f(x)33x2,切线斜率k33x02,即3x0x032(x02)(33x02)(x01)(x01)230,解得x01或x01,相应的斜率k0或k96.切线方程为y2或y(96)(x2)2.(四)典型例题1.命题方向:导数的概念例1(1)若f (x0)2,则 的值为_;(2)若f (x0)A,则 _.解析(1)令kx,则kx,原式 f (x0)1.(2)原式 AA2A.跟踪练习1:设函数f(x)在x0点可导,则下列极限等于f (x0)的是 ()A. B. C. D. 答案C解析解法1:令x0xx0,则当x0时,x0x0,2.命题方向:导数公式及其运算法则例2求下列函数的导数:(1)yx5x33
10、x2; (2)y(3x34x)(2x1);(3)y; (4)y3xex2xe;(5)y; (6)yxcosxsinx.(7)y(1sinx)2; (8)(理)yln;(9)(理)ycos32xex; (10)(理)ylg.解析可利用导数公式和导数运算法则求导(1)y(3x2)()x44x26x.(2)y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x,y24x39x216x4,或y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x216x4.(3)y(4)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln3ex3xex2xln2(
11、ln31)(3e)x2xln2.(5)y(6)y(xcosx)(sinx)cosxxsinxcosxxsinx.(7)y2(1sinx)(1sinx)2cosx(1sinx)(8)(理)y(x21).(9)(理)y3cos22x(cos2x)ex6sin2xcos22xex.(10)(理)y(1x2).跟踪练习2求下列函数的导数:(1)y; (2)y(x1)(x2)(x3);(3)ysin; (4)y;(5)y.解析(1)yxx3x2sinx,y(x)(x3)(x2sinx)x3x22x3sinxx2cosx.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6,y3x212x11.(3)ysin
12、sinx,ycosx.(4)y,y.(5)y2.命题方向:导数公式及其运算法则例2求下列函数的导数:(1)yx5x33x2; (2)y(3x34x)(2x1);(3)y; (4)y3xex2xe;(5)y; (6)yxcosxsinx.(7)y(1sinx)2; (8)(理)yln;(9)(理)ycos32xex; (10)(理)ylg.解析可利用导数公式和导数运算法则求导(1)y(3x2)()x44x26x.(2)y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x,y24x39x216x4,或y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x2
13、16x4.(3)y.(4)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln3ex3xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2.(5)y.(6)y(xcosx)(sinx)cosxxsinxcosxxsinx.(7)y2(1sinx)(1sinx)2cosx(1sinx)(8)(理)y(x21).(9)(理)y3cos22x(cos2x)ex6sin2xcos22xex.(10)(理)y(1x2).跟踪练习2求下列函数的导数:(1)y; (2)y(x1)(x2)(x3);(3)ysin; (4)y;(5)y.解析(1)yxx3x2sinx,y(x)(x3)(x2sinx
14、)x3x22x3sinxx2cosx.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6,y3x212x11.(3)ysinsinx,ycosx.(4)y,y.(5)y.3.命题方向:导数的几何意义例3已知曲线方程为yx2,(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程;(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程解析(1)A(2,4)在yx2上,由yx2得y2x,y4.因此所求直线的方程为y44(x2),即4xy40.(2)方法1:设过B(3,5)与曲线yx2相切的直线方程为y5k(x3),即ykx53k.由,得:x2kx3k50.4(3k5)0,整理得(k2)(k10)0,k2或k10.所
15、求的直线方程为:2xy10,或10xy250.方法2:设切点P的坐标为(,),由得y=2x, y=2 ,由已知=2,即=2,将代入上式整理得: 1或5,切点坐标为(1,1),(5,25),所求直线方程为2xy10,10xy250.点评(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”,还是“过某点的切线”的问法(2)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标为P(, ),然后求其切线斜率kf(),写出其切线方程而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,当曲线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确跟踪练习3.
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