适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《4函数与基本初等函数(三)》.doc
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1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级: 辅导科目:数学 课时数:课 题函数与基本初等函数(三)教学目的教学内容第五节 指数与指数函数(一)高考目标考纲解读1了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算3理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型考向预测1指数函数在高中数学中占有十分重要的地位,是高考重点考查的对象,热点是指数函数的图像与性质的综合应用同时考查分类整合思想和数形结合思想2幂的运算是解决与指数有关问题的基础,常与指数函数交汇命题(二)课前自主预习知识梳理1指数幂的概念(1)根
2、式如果一个数的n次方等于a(n1且nN),那么这个数叫做a的n次方根也就是,若xna,则x叫做,其中n1且nN.式子 叫做 ,这里n叫做 ,a叫做(2)根式的性质当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号 表示当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n次方根用符号 表示,负的n次方根用符号 表示正负两个n次方根可以合写为 (a0)()n .当n为奇数时, ;当n为偶数时,|a| .负数没有偶次方根零的任何次方根都是零2有理数指数幂(1)分数指数幂的表示正数的正分数指数幂是 (a0,m,nN,n1)正数的负分数指数幂是
3、(a0,m,nN,n1)0的正分数指数幂是 ,0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质aras (a0,r,sQ)(ar)s (a0,r,sQ)(ab)r (a0,b0,rQ)3指数函数的图像与性质定义域值域过定点性质当x0时, ;x0时, ; x0且a1答案C解析由y(a23a3)ax为指数函数,可得,解得即a2.3(2011东营模拟)函数y的单调递增区间是()A(,1 B2,) C. D.答案D 解析令tx2x20,得函数定义域为1,2,所以tx2x2在上递增,在上递减根据“同增异减”的原则,函数y的单调递增区间是.4函数f(x)则f(3)_.答案 .解析f(3)f(32)f(1
4、)f(12)f(1)f(12)f(3)23.5(2009江苏文)已知a,函数f(x)ax,若实数m,n满足f(m)f(n),则m,n的大小关系为_答案mn 解析本题主要考查指数函数的图像和性质a,0af(n),mn.7若函数f(x)(a21)x在(,)上是减函数,求a的取值范围解析0a211,1a22,a1或1a0),则log a= 答案3 2.命题方向:指数函数性质的考查例2求下列函数的定义域和值域(1)y|x1|;(2)y;(3)y2分析指数函数yax(a0,a1)的定义域为R,所以yaf(x)的定义域与f(x)定义域相同;值域则要应用其单调性来求,复合函数则要注意“同增异减”的原则解析(
5、1)定义域为R.因为|x1|0,所以y|x1|01,所以值域为1,)(2)因为2x10恒成立,所以定义域为R.又因为y1,而01,所以10,解得0y0且a1)(1)求函数f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求a的取值范围,使f(x)0在定义域上恒成立分析问题的关键是考查具有哪些性质,因x3对任意xR均有意义,其奇偶性易于考查解析(1)由于ax10,则ax1,得x0,所以函数f(x)的定义域为x|x0,xR(2)对于定义域内任意x,有f(x)(x)3(x3)(x)3x3f(x)f(x)是偶函数(3)当a1时,对x0,由指函数的性质知ax1,ax10,0,又x0时,x30,x30,
6、即当x0时,f(x)0.又由(2),f(x)为偶函数,知f(x)f(x),当x0,有f(x)f(x)0成立综上知a1时,f(x)0在定义域上恒成立对于0a0时,1ax0,ax10,ax10,此时f(x)0,不满足题意;当x0,f(x)f(x)1.3.命题方向:指数函数的图像应用例3已知函数y|x1|.(1) 作出图像;(2)由图像指出其单调区间;(3)由图像指出当x取什么值时有最值分析 解析(1)解法1:由函数解析式可得y|x1|其图像由两部分组成:一部分是:yx(x0)yx1(x1);另一部分是:y3x(x0)y3x1(x1)如图:解法2:由y|x|可知函数是偶函数,其图像关于y轴对称,故先
7、作出yx的图像保留x0的部分,当x0时,其图像是将yx(x0)图像关于y轴对折,从而得出y|x|的图像将y|x|向左移动1个单位,即可得y|x1|的图像,如图所示 (2)由图像知函数在(,1上是增函数,在1,)上是减函数(3)由图像知当x1时,有最大值1,无最小值跟踪练习3:已知实数a、b满足等式ab,下列五个关系式:0ba;ab0;0ab;ba0;ab.其中不可能成立的关系式有 ()A1个 B2个 C3个 D4个答案B 解析作yx,yx的图像,如图当x0时,ab,则有ab0时,ab,则有0b0且a1)(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x1,1时,f(x)b恒成立
8、,求b的取值范围分析(1)首先看函数的定义域,而后用奇偶性定义判断;(2)单调性利用复合函数单调性易于判断,还可用导数解决;(3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值解析(1)函数定义域为R,关于原点对称又f(x)(axax)f(x),f(x)为奇函数(2)当a1时,a210,yax为增函数,yax为减函数,从而yaxax为增函数,f(x)为增函数当0a1时,a210,且a1时,f(x)在定义域内单调递增(3)由(2)知f(x)在R上是增函数,在区间1,1上为增函数f(1)f(x)f(1)f(x)minf(1)(a1a)1.要使f(x)b在1,1上恒成立,则只需b1.故b的取值范围是(,1点评
9、(1)函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题,常以指数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题(2)求参数的范围也是常考内容,难度不大,但极易造成失分,因此对题目进行认真分析,必要的过程不可少,这也是高考阅卷中十分强调的问题跟踪练习4:已知函数f(x)a2x2ax1(a0,且a1)在区间1,1上的最大值为14,求实数a的值解析f(x)a2x2ax1(ax1)22,x1,1,(1)当0a1时,aax,当ax时,f(x)取得最大值2214,0a1时,axa,当axa时,f(x)取得最大值(a1)2214,a3.综上可知,实数a的值为或3.(五)思想方法点拨:1单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图像
10、的无限伸展性,x轴是函数图像的渐近线当0a1时,x,y0;当a1时,a的值越大,图像越靠近y轴,递增的速度越快;当0a1,b0,且abab2,则abab的值等于()A.B2或2 C2 D2答案D解析a1,b0,abab.又abab2,(abab)2a2ba2b28,(abab)2a2ba2b24,abab2.2若函数yaxb1(a0,且a1)的图像经过第二、三、四象限,则一定有()A0a0 Ba1,且b0C0a1,且b1,且b0答案C解析如图所示,图像与y轴的交点在y轴的负半轴上,即a0b10,b0,又图像经过第二、三、四象限, 0a1.故选C.3设f(x)|3x1|,cbf(a)f(b),则
11、下列关系式中一定成立的是()A3c3b B3b3a C3c3a2 D3c3a2答案D解析作f(x)|3x1|的图像如图所示,由图可知,要使cbf(a)f(b)成立,则有c0,3c1f(a),13c3a1,即3a3c0,a1时,yax是定义域上的单调函数,因此其最值在x0,1的两个端点得到,于是必有1a3,a2.6若函数y4x32x3的定义域为集合A,值域为1,7,集合B(,01,2,则集合A与集合B的关系为()AAB BAB CBA DAB答案A解析y2的值域为1,7,2x2,4x1,2,即A1,2AB.7(2010陕西文)下列四类函数中,具有性质“对任意的x0,y0,函数f(x)满足f(xy
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