高考数学复习专题10《数列求和方法之错位相减法》讲义及答案.docx
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1、专题10 数列求和方法之错位相减法一、单选题1已知等比数列an的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则数列nan的前n项和为( )A-3+(n+1)2nB3+(n+1)2nC1+(n+1)2nD1+(n-1)2n二、解答题2在公差不为零的等差数列中,前五项和,且,依次成等比数列,数列的前项和满足().(1)求及;(2)设数列的前项和为,求.3已知数列an的前n项和为Sn,且Sn2n1. (1)求数列an的通项公式,(2)设函数f(x)()x,数列bn满足条件b1f(1),f(bn+1)求数列bn的通项公式, 设cn,求数列cn的前n项和Tn4数列的前项和,数列的前项和,满足.(1)求及;(
2、2)设数列的前项和为,求并证明:.5已知数列是公差不为零的等差数列,若,且、成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.6已知数列an的前n项和为Sn,且满足2Sn3an3,其中nN*(1)证明:数列an为等比数列;(2)设bn2n1,cn,求数列cn的前n项和Tn7已知等比数列中,.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前项和.8已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.(3)若存在正整数,使得成立,求实数的取值范围.9已知数列满足,.设.(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前项和为.10已知等比数列满足,.(1)定义:首项为1且公比为
3、正数的等比数列为“数列”,证明:数列是“数列”;(2)记等差数列的前项和记为,已知,求数列的前项的和.11已知等比数列的公比,且满足,数列的前项和,.(1)求数列和的通项公式;(2)设,求数列的前项和.12已知各项都大于1的数列an的前n项和为Sn,4Sn4n1an2:数列bn的前n项和为Tn,bnTn1.(1)分别求数列an和数列bn的通项公式;(2)设数列cn满足cnanbn,若对任意的nN*.不等式5(n3bn)2bnSnn(c1c2c3cn)恒成立,试求实数的取值范围.13已知等差数列的前n项的和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.14记等比数列的前n项和为,
4、已知.(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前n项和.15已知数列的前n项的和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.16已知数列中,.(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;(2)数列满足,数列的前n项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围.17已知数列an的首项为0,且2anan+1+an+3an+1+20.(1)证明数列是等差数列,并求an的通项公式;(2)已知数列bn的前n项和为Sn,且,若不等式(-1)nSn+32n+1对一切nN*恒成立,求的取值范围.18已知等比数列an的公比大于1,且满足a3+a590,a427(1)求an的通项公式;(2)记bnlog
5、3an,求数列an(bn+1)的前n项和Tn.19已知在等差数列中,其前8项和.(1)求数列的通项公式(2)设数列满足,求的前项和.20已知等差数列的前项和为,和的等差中项为.(1)求及;(2)设,求数列的前项和.21甲乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清,具体如下等比数列的前n项和为,已知_,(1)判断的关系并给出证明.(2)若,设,的前n项和为,证明.甲同学记得缺少的条件是首项的值,乙同学记得缺少的条件是公比q的值,并且他俩都记得第(1)问的答案是成等差数列.如果甲乙两名同学记得的答案是正确的,请通过推理把条件补充完整并解答此题.22已知数列中,且
6、满足(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;(2)求证:对于数列,的充要条件是.23数列的前n项和为,若,点在直上.(1)求证:数列是等差数列,并求的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和;24已知数列,满足,.(1)令,证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;(2)若,证明:.25已知是递增的等差数列,、是方程的根(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和三、填空题50求和_. (用数字作答)专题10 数列求和方法之错位相减法一、单选题1已知等比数列an的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则数列nan的前n项和为( )A-3+(n+1)2nB3+(n+1)2nC1+(n
7、+1)2nD1+(n-1)2n【答案】D【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得,求出数列an的通项公式,再利用错位相减法求和即可.【详解】设等比数列an的公比为q,易知q1,所以由题设得,两式相除得1+q3=9,解得q=2,进而可得a1=1,所以an=a1qn-1=2n-1,所以nan=n2n-1.设数列nan的前n项和为Tn,则Tn=120+221+322+n2n-1,2Tn=121+222+323+n2n,两式作差得-Tn=1+2+22+2n-1-n2n=-n2n=-1+(1-n)2n,故Tn=1+(n-1)2n.故选:D.【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法
8、求和的问题.属于较易题.二、解答题2在公差不为零的等差数列中,前五项和,且,依次成等比数列,数列的前项和满足().(1)求及;(2)设数列的前项和为,求.【答案】(1),;(2).【分析】(1)设等差数列的公差为,利用等差数列的性质结合等比中项的应用,列方程求出公差,进而得出数列;当时,由可得,两式作差并利用等比数列的通项公式计算出;(2)利用错位相减法计算出数列的前项和为【详解】(1)设等差数列的公差为,则.因为,所以;又,依次成等比数列,所以,所以.即,解得(舍)或,所以,即.当时,即,所以;当时,由可得,相减得,即,所以数列是首项为,公比的等比数列,所以.(2),所以,则,相减得,所以.
9、【点睛】方法点睛:本题考查数列的通项公式,考查数列的求和,考查学生计算能力,数列求和的方法如下:1.公式法,利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可;2.裂项相消法,通过把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求出数列的和;3.错位相减法,当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法;4.倒序相加法,如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等,可以使用此方法求和3已知数列an的前n项和为Sn,且Sn2n1. (1)求数列an的通项公式,(2)设函数f(x)()x,数列bn满足条件b1f(1),f(bn+1)求数列bn的通项公式, 设cn,
10、求数列cn的前n项和Tn【答案】(1)an2n,nN*;(2)bn3n1;Tn5【分析】(1)利用及可得通项公式;(2)化简关系式,由指数函数性质得数列是等差数列,从而得通项公式;由错位相减法求和【详解】(1)由Sn2n1,即Sn2n+12,当n1时,anSnSn1(2n+12)(2n2)2n,当n1时,a1S12,满足上式则有数列an的通项公式为an2n,nN*;(2)f(x)()x,b12,f(bn+1)可得()(),即有bn+1bn+3,可得bn以2首项和3为公差的等差数列,即有bn3n1;cn,前n项和Tn25()2+(3n4)()+(3n1)()n,Tn2()2+5()3+(3n4)
11、()n+(3n1)()n+1,相减可得,Tn()2+3()+3()(3n1)()n+1(3n1)()n+1, 化简可得,前n项和Tn5【点睛】本题考查由求,考查求等差数列的通项公式,错位相减法求和数列求和的常用方法:设数列是等差数列,是等比数列, (1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和;(2)错位相减法:数列的前项和应用错位相减法;(3)裂项相消法;数列(为常数,)的前项和用裂项相消法;(4)分组(并项)求和法:数列用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法;(5)倒序相加法:满足(为常数)的数列,需用倒序相加法求和4数列的前项和,数列的前项和,满足.(
12、1)求及;(2)设数列的前项和为,求并证明:.【答案】(1),;(2),证明见解析.【分析】(1)利用可求出,由可得,两式相减整理可得,从而可得数列是首项为,公比的等比数列,进而可求出,(2)先利用错位相法求出,再利用放缩法可证得结论【详解】(1)当时,;当时,;符合上式,所以.当时,即,所以;当时,由可得,相减得,即,所以数列是首项为,公比的等比数列,所以.(2),所以,则,相减得,所以.因为,所以,所以.【点睛】方法点睛:数列求和的方法通常有:(1)公式法;(2)错位相减法;(3)裂项相消法;(4)分组求和法;(5)倒序相加法5已知数列是公差不为零的等差数列,若,且、成等比数列.(1)求数
13、列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【分析】(1)设等差数列的公差为,利用已知条件得出关于的方程,求出的值,利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式;(2)求得,然后利用错位相减法可求得.【详解】(1)设等差数列的公差为,、成等比数列,则,即,整理得,.因此,;(2)由(1)可得.,(2).得,因此,.【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求解;(2)对于型数列,其中为等差数列,为等比数列,利用错位相减法求和;(3)对于型数列,利用分组求和法;(4)对于型数列,其中是公差为的等差数列,利用裂项相消法求和.6已知数列an的前n项
14、和为Sn,且满足2Sn3an3,其中nN*(1)证明:数列an为等比数列;(2)设bn2n1,cn,求数列cn的前n项和Tn【答案】(1)证明见解析;(2)【分析】(1)根据数列的递推关系作差法即可证明;(2)利用错位相减求和法即可求出答案【详解】(1)因为,-所以当时,解得,当时,-由-并整理得,由上递推关系得,所以,故数列是首项为3,公比为3的等比数列,(2)由(1)得:,又因为,所以,所以,两式相减得:,即:,整理可得:【点睛】关键点睛:(1)解题关键在于利用递推式得到,和,利用作差法求出;(2)解题关键在于列出,利用错位相消求和法进行求解,难度属于中档题7已知等比数列中,.(1)求数列
15、的通项公式;(2)记,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【分析】(1)用等比数列基本量计算表示出已知条件,解方程即可求得公比,代入等比数列的通项公式即可求得结果;(2)把(1)中求得的结果代入,求出,利用错位相减法求出【详解】(1)设数列的公比为,由题意知:,即.,即.(2),.得.【点睛】错位相减法求和的方法:如果数列是等差数列,是等比数列,求数列的前项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘以等比数列的公比,然后作差求解; 在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.8已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.(3
16、)若存在正整数,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)利用,求得,注意检验首项.(2),错位相减法求和得解.(3)当时,若为奇数,则,单调递增;若为偶数,则,单调递减,利用数列单调性得解.【详解】(1)因为,所以当时,所以,因为,不适合,所以.(2)由题意得当时,当时,所以,令,则,由-得 ,所以,所以.(3)由题意知,当时,若为奇数,则,单调递增;若为偶数,则,单调递减,所以,因为存在正整数,使得成立,所以当为奇数时,则,所以,所以,当为偶数时,则,所以,所以,即.【点睛】本题考查利用与的关系求通项及错位相减法求和. 已知求的三个步骤:(1)先利用求出.(
17、2)用替换中的得到一个新的关系,利用便可求出当时的表达式(3)对时的结果进行检验,看是否符合时的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分与两段来写错位相减法求和的方法:如果数列是等差数列,是等比数列,求数列 的前项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘以等比数列的公比,然后作差求解; 在写“ ”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.9已知数列满足,.设.(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前项和为.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)由递推关系式可得,从而可证明数列是等比数列;(2)先由(1),根据题中条件,
18、求出,再利用错位相减法进行求和可得【详解】(1)由,可得,即则数列是以为首项,为公比的等比数列;(2)由(1)可得,则有两式作差得:.10已知等比数列满足,.(1)定义:首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”,证明:数列是“数列”;(2)记等差数列的前项和记为,已知,求数列的前项的和.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)由等比数列的通项公式求出公比,根据题意证明数列是“数列”;(2)由等差数列的性质求出,当时,由等差数列的求和公式求出;当时,由错位相减法求出.【详解】(1)证明:由题意可设公比为,则得:得:或数列是“数列”.(2)设数列的公差为易得:得:,得:由(1)知若,则若,
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